Diferencia entre revisiones de «Modelos epidemiológicos»

Revisión del 15:20 4 mar 2013

1 Exposición del sistema

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos de individuos: los que ya han contraído la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hipótesis:

1. La poblaciónde personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas.En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas.

2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.

Consideramos las variables: t tiempo, S(t) población de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I(t) población de individuos infectados; y el sistema:

[math] dS/dt=-aSI; dI/dt=aSI-bI-cI [/math]

Donde: a, b y c son parámetros.

2 Definición de las variables

1. ’’Interpretar los diferentes parámetros en la ecuación de acuerdo a las hipótesis. ’’

Nota:aunque S no depende directamente de b ni de c si depende indirectamente pues está ligado a I que si que guarda relación con ellos

3 Estudio de poblaciones concretas mediante el método de Euler:

2. Tomar a = 0:003, b = 0:3 y c = 0:2. Usar el método de Euler para resolver el sistema con los datos iniciales (S0; I0) = (700; 1) and (S0; I0) = (5000; 5), y el tiempo t:[0; 30] días. Tomar como paso de discretización temporal h = 10^-1; 10^-2; 10^-3; 10^-4.

3. Elegir otros datos iniciales (S0; I0) e interpretar los resultados.

S0=700 I0=1

%%Establecemos valores de los parametros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.2;
t0=0;
tN=30;
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;

%%Damos la primera componente a s
s0=700;
s(1)=s0;

%%Damos la primera componente a i
i0=1;
i(1)=i0;

%%Generamos el bucle para asignar cada comoponente a los respectivos vecotres
for n=1:N
    s(n+1)=s(n)-h*a*s(n)*i(n);
    i(n+1)=i(n)+h*(a*s(n)*i(n)-(b+c)*i(n));
end


%%Representamos las gráficas correspondientes
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'-')
hold on
plot(x,s,'-b')
hold off

Con este programa representamos las funciones como líneas, para marcar cada punto se puede utilizar plot(x,s,'x') y de este modo podremos ver que aumenta la cantidad de puntos conforme dismunuímos el valor de la h

Repitiendo el mismo programa con h=10^-2;10^-3;10^-4 (en las imágenes la disposición es: arriba a la izquierda 10^-1, arriba ala derecha 10^-2; abajo a la izquierda 10^-3 y abajo a la derecha 10^-4) así como para los valores (S0; I0) = (5000; 5) nos da los siguientes valores finales y gráficas:

• 

  (s0,i0)=(700,1)

• 

  (s0,i0)=(5000,5)

Las gráficas estan ordenadas en función de sus h de mayor a menor

(s0,i0)=(700,1)

Infectados finales (h=10^-1) =Infectados finales (h=10^-2) =Infectadosfinales (h=10^-3)=Infectados finales (h=10^-4)=0

Conclusión: El número de infectados finales tenderá a 0 por lo que la epidemia acabará por extinguirse

Susceptibles finales (h=10^-1)= 9,75

Susceptibles finales (h=10^-2)= 11,02

Susceptibles finales (h=10^-3)= 11,14

Susceptibles finales (h=10^-4)= 11,16

Conclusión: La cantidad de susceptibles tiende a una cantidad ligeramente superior a 11.

(s0,i0)=(5000,5)

Infectados finales (h=10^-1) =Infectados finales (h=10^-2) =Infectados finales (h=10^-3)= Infectados finales (h=10^-4)=0

Conclusión: Igual que en el caso anterior, el número de infectados finales tenderá a 0 por lo que la epidemia acabará por extinguirse

Susceptibles finales (h=10^-1)= 27,16

Susceptibles finales (h=10^-2)= 28,55

Susceptibles finales (h=10^-3)= 28,68

Susceptibles finales (h=10^-4)= 28,7

Conclusión: La cantidad de susceptibles tiende a un número proximo a 29

¿Por qué la S queda por encima de 0 si el número de infectados si que tiende a 0?

Conclusión: Esa pequeña variación de S por encima de cero suponemos que es por el riesgo que existe a lo largo del tiempo de contraer la enfermedad por otros medios que por el contagio directo entre personas. Incluso cuando practicamente a desaparecido la epidemia.

Caso (s0,i0)=(600,600)

Conclusión: Es intuitivo ver, dada la forma en que varía la población susceptible, que esta no va a crecer en ningún momento. Al mismo tiempo la disminución de población susceptible conlleva un aumento de la población infectada. Llegado cierto punto la población infectada comenzara a decrecer pues será mayor el número de defunciones y curas que el de contagio por interacción que acaba volviendose estable.

4 Estudio de poblaciones concretas por el método Runge-Kutta

%%Introducimoslos datos:
a=0.003;
b=0.3;
c=0.2;
t0=0;
tN=30;
s0=700;
i0=1;
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;

%%Iniciamoslos vectores 's' e 'i'
s(1)=s0;
i(1)=i0;

%%Ejecutamos el bucle
for n=1:N
    K1=-a*s(n)*i(n);
    K2=-a*(s(n)+(h/2)*K1)*(i(n)+(h/2)*K1);
    K3=-a*(s(n)+(h/2)*K2)*(i(n)+(h/2)*K2);
    K4=-a*(s(n)+h*K3)*(i(n)+h*K3);
    s(n+1)=s(n)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);

    k1=a*s(n)*i(n)-(b+c)*i(n);
    k2=a*(s(n)+(h/2)*k1)*(i(n)+(h/2)*k1)-(b+c)*(i(n)+(h/2)*k1);
    k3=a*(s(n)+(h/2)*k2)*(i(n)+(h/2)*k2)-(b+c)*(i(n)+(h/2)*k2);
    k4=a*(s(n)+h*k3)*(i(n)+h*k3)-(b+c)*(i(n)+h*k3);
    i(n+1)=i(n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);

end

%%Dibujamos las dos gráficas
x=t0:h:tN;
plot(x,s,'- g')
hold on
plot(x,i,'-')

Este método es más preciso que el método de Euler pero también es más difícil de programar

Comparación Runge-Kutta con Euler No se aprecia ninguna diferencia significativa para este caso concreto. A continuación, las gráficas de ambos métodos para el valor de h=1/10:

¿Que dificultad hay en el uso de un método implícito como el método trepezoidal? Conclusión: El problema que presentan los métodos implícitos es que hay que despejar manualmente los parámetros que se buscan (y(n+1) o cualquier otra función: s, i ...); para poder programar la solución.En ciertos casos, dicho proceso puede resultar difícil o directamente no se puede.

5 Evolución temporal retrospectiva mediante el método de Euler

5. Si después de 15 días de detectar la infección el número de infectados es de 300, en una población susceptible de 20000 individuos. ¿Cuántos infectados habia en el comienzo de la infección?

Para resolver este problema, utilizaremos el método de Euler, pero procederemos en el sentido inverso. El programa utilizado es es siguiente:

clear all
%%Establecemos valores de los parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.2;
t0=0;
tN=15;
h=10^-4;
N=(tN-t0)/h;

%%Inicializamos el vector i
i0=300;
i(1)=i0;

%%Icualizamos el vector s
s0=20000;
s(1)=s0;

%%Generamos el bucle para asignar cada componente a los respectivos
%%vectores
for n=1:N
    s(n+1)=s(n)+h*a*s(n)*i(n);
    i(n+1)=i(n)-h*(a*s(n)*i(n)-(b+c)*i(n));
end

%%Dibujamos la gráfica
x=tN:-h:t0;
plot(x,s,'-g')
hold on
plot(x,i,'-')
hold off

Aplicando la escala logarítmica podemos apreciar claramente que la población infectada comienza prácticamente constante y finalmente crece exponencialmente (por esa razón se aprecia una línea recta). La poblacion susceptible comieza constante y con un decrecimiento final hasta el valor de 20000 individuos.

Dadas las ecuaciones diferenciales que indican como varían ambas poblaciones es facil apreciar en i(t) que los términos:

                                      -(b+c)*i

Son despreciables, de tal forma que la suma de las ecuaciones:

                                    i' + s' = 0

De este modo la evolución de sendas funciones será simétrica y la estabilización de una conlleva la estabilización de la otra.

Tomando unos valores iniciales mas acordes con los resultados de los apartados anteriores: con (s0,i0)=(600,5) obtendríamos en el día 15 los valores (s15,i15)=(18,1376;3,8343). En este caso, introduciendo los datos en el programa, la gráfica obtenida es similar a las gráficas anteriores:

6 Participantes

Mario Espinosa Mateo

Alfonso Sanjuan Peláez

Renato Sgrosso Carcedo

Enrique Corres Sojo