Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo CCE)»

Revisión del 19:56 16 feb 2026

1 Introducción

Este trabajo tiene como objetivo principal profundizar en la aproximación de funciones por series de Fourier, herramienta fundamental en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. En este artículo vamos a primero visualizar la base trigonométrica y segundo obtener una aproximación mediante Series de Fourier de una función continua.

1.1 La Base Trigonométrica en [-T, T]

Para una función definida en un intervalo [math][-T, T][/math], utilizamos un conjunto de funciones que actúan como generadores del espacio. Esta familia de funciones es la denominada base trigonométrica y usamos la normalizada:

Estas funciones son las piezas fundamentales para construir cualquier función periódica con la regularidad suficiente.

1.2 Definición de la Serie de Fourier

Dada una función [math]f(x)[/math] integrable en el intervalo [math][-T, T][/math], su desarrollo en Serie de Fourier se define como:

Donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes proyecciones (integrales):

• Coeficiente constante: [math] d_0 = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} dx [/math]
• Coeficientes de cosenos: [math] d_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
• Coeficientes de senos: [math] c_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]

2 Visualizar la base trigométrica

Vamos a dibujar en una gráfica, con Matlab, los 10 primeros términos de la serie trigonométrica en [math] x\in [-1,1] [/math], para que sea más fácil visualizarla.

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

% Parámetros del intervalo [-T, T] T = 1; x = linspace(-T, T, 1000); n_max = 10; % Factores de normalización de la base ortonormal phi_0_factor = 1/sqrt(2*T); phi_n_factor = 1/sqrt(T); figure('Color', 'w'); % Subplot 1: Términos para d0 y dn (Cosenos - Pares) subplot(2,1,1); hold on; plot(x, ones(size(x)) * phi_0_factor, 'k', 'LineWidth', 2.5, 'DisplayName', 'd_0'); colors_d = lines(n_max); for n = 1:n_max y_cos = phi_n_factor * cos(n * pi * x / T); plot(x, y_cos, 'Color', [colors_d(n,:), 0.5]); end title('Funciones de la base para d_0 y d_n (Pares)'); grid on; ylabel('Amplitud'); % Subplot 2: Términos para cn (Senos - Impares) subplot(2,1,2); hold on; colors_c = jet(n_max); for n = 1:n_max y_sin = phi_n_factor * sin(n * pi * x / T); plot(x, y_sin, 'Color', [colors_c(n,:), 0.5]); end title('Funciones de la base para c_n (Impares)'); grid on; xlabel('x'); ylabel('Amplitud');

Visualización de la base ortonormal en [-1, 1].

3 Aproximación de una función continua

En este apartado, aproximamos la función continua [math]f(x) = 1 - 2|1/2 - x|[/math] en el intervalo [math][0, 1][/math].

3.1 Extensión Impar y Base de Senos

Para trabajar en el intervalo [math][-1, 1][/math], extendemos la función de forma impar. Definimos la extensión [math]g(x)[/math] como:

Sustituyendo la expresión de [math]f(x)[/math], obtenemos la función definida a trozos que es continua en todo el intervalo [math][-1, 1][/math]:

Al haber extendido la función de forma impar podemos observar que los coeficientes de los términos asociados a loss términos pares de la base trigonométrica son nulos:

Por tanto, la serie de Fourier se reduce a una suma de senos:

3.2 Estudio de Convergencia según el número de términos

Calculamos los coeficientes [math]a_k[/math] mediante la fórmula del trapecio con una división de [math]10^{-3}[/math]. Evaluamos el error en las normas [math]L^2[/math] y uniforme ([math]L^\infty[/math]) para observar la calidad de la aproximación en función del número de términos de la serie. Luego hemos dibujado en una gráfica el error en ambas normas en función de n, donde podemos ver que las gráficas obtenidas son del tipo exponencial negativa.

Implementación en MATLAB
% Parámetros iniciales dx = 1e-3; % división sugerida x = 0:dx:1; f = 1 - 2*abs(0.5 - x); % Configuración de términos para visualización valores_n = [1, 5, 10]; figure(1); plot(x, f, 'k--', 'LineWidth', 2); hold on; % Bucle para calcular aproximaciones y errores N_max = 50; err_L2 = zeros(1, N_max); err_inf = zeros(1, N_max); for n = 1:N_max fn = zeros(size(x)); for k = 1:n % Cálculo de ak mediante trapecio integrando = 2 * f .* sin(k * pi * x); ak = trapz(x, integrando); % suma de los términos impares fn = fn + ak * sin(k * pi * x); end % guardar errores en normas L2 y uniforme err_L2(n) = sqrt(trapz(x, (f - fn).^2)); err_inf(n) = max(abs(f - fn)); if ismember(n, valores_n) plot(x, fn, 'DisplayName', ['n = ' num2str(n)]); end end title('Aproximación de f(x) por Serie de Fourier (Senos)'); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend('Original', 'n=1', 'n=5', 'n=10'); grid on; % gráfica de Errores figure(2); subplot(2,1,1); plot(1:N_max, err_L2, 'bo-', 'LineWidth', 1.5); title('Evolución del Error en Norma L^2'); xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on; subplot(2,1,2); plot(1:N_max, err_inf, 'ro-', 'LineWidth', 1.5); title('Evolución del Error en Norma Uniforme'); xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on;
Resultado de la Aproximación	Estudio de Convergencia
Visualización de aproximación de f(x) en [0,1].	Errores graficados en norma L2 y uniforme.