Diferencia entre revisiones de «Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)»

Revisión del 13:17 5 dic 2025

INTRODUCCIÓN

El efecto de Ekman constituye uno de los mecanismos fundamentales para comprender cómo el viento y la rotación terrestre influyen en la circulación oceánica. Descubierto a comienzos del siglo XX por Vagn Walfrid Ekman, este fenómeno describe cómo la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis genera una desviación progresiva en la dirección de las corrientes marinas. El resultado es la formación de la espiral de Ekman, una estructura tridimensional en la que cada capa de agua se mueve en un ángulo distinto respecto a la anterior, con una intensidad que disminuye con la profundidad.

Este proceso no solo explica la orientación del flujo superficial respecto al viento, sino que también determina el transporte de Ekman, un movimiento neto de agua perpendicular al viento que desempeña un papel crucial en la dinámica oceánica. Dicho transporte es responsable de fenómenos como la surgencia costera, el enriquecimiento de nutrientes y la regulación térmica en numerosos sistemas marinos. Comprender estos mecanismos resulta esencial para analizar la circulación en regiones como el archipiélago canario, donde las condiciones atmosféricas y oceánicas favorecen la manifestación clara del efecto de Ekman.

Espiral de Ekman 3D

Proyección horizontal: espiral logarítmica

Ecuaciones del flujo y soluciones

El campo de velocidad horizontal del agua es [math]\vec{V} = u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}[/math], donde [math]\vec{i}[/math] apunta al este, [math]\vec{j}[/math] al norte, y [math]z[/math] es la profundidad (con [math]z \leq 0[/math], siendo [math]z = 0[/math] la superficie). Las componentes [math]u(z)[/math] y [math]v(z)[/math] satisfacen las ecuaciones de Ekman:

donde:

• [math]f = 2\Omega \sin \phi[/math] es el parámetro de Coriolis, con [math]\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}[/math] la velocidad angular terrestre y [math]\phi[/math] la latitud;
• [math]\nu_e[/math] es la viscosidad turbulenta (eddy viscosity), que representa el efecto de la turbulencia al mezclar las capas del fluido.

La solución de estas ecuaciones diferenciales es:

donde:

• [math]V_0[/math] es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento;
• [math]d_E = \sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}}[/math] es la profundidad de Ekman (escala de penetración);
• [math]\vartheta[/math] es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
• [math]\operatorname{sgn}[/math] es la función signo

[math]\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \gt 0, \\ 0 & \text{si } x = 0, \\ -1 & \text{si } x \lt 0, \end{cases}[/math]

que determina un signo diferente según el hemisferio.

Parámetros del modelo

Para los calculos consideraremos una localidad al largo de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas [math]30^\circ 10' 24.2'' \, \text{N}, \; 15^\circ 30' 26.5'' \, \text{W}[/math], y los parámetros:

• Viscosidad turbulenta: [math]\nu_e = 0.05 \, \text{m}^2/\text{s}[/math];
• Viento: sopla de norte a sur con velocidad [math]12 \, \text{m/s}[/math];
• Velocidad superficial inducida: [math]V_0 = 0.15 \, \text{m/s}[/math];
• Fase inicial: el flujo superficial está desviado aproximadamente [math]45^\circ[/math] a la derecha del viento en el hemisferio norte.

1 Parámetro de Coriolis f

El parámetro de Coriolis es una medida de la intensidad de la fuerza de Coriolis sobre un objeto en movimiento debido a la rotación de la Tierra:

donde:

• [math]\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \ \text{rad/s}[/math] (velocidad angular terrestre)
  

• [math]\phi[/math] es la latitud

Para la localidad dada:

1.1 Lugares en la tierra donde f es positivo, negativo o nulo

Depende de la latitud:

1.2 Profundidad de Ekman \(d_E\)

La profundidad de Ekman es el espesor de la capa superficial de océano donde el efecto de la fuerza de Coriolis y la fricción por el viento influyen significativamente en el movimiento del agua:

donde:

• \(v_e\) es la viscosidad turbulenta
• f es el parámetro de Coriolis

Para la localidad dada:

1.3 Implicaciones para la Espiral de Ekman en diferentes latitudes

Hemisferio norte: la dirección del flujo de Ekman se desvía a la derecha de la dirección del viento con la profundidad (visto desde arriba). En superficie, la corriente forma 45º a la derecha del viento en el caso teórico clásico con \(v_e\) cte.

Hemisferio sur: la desviación es hacia a la izquierda del viento.

Cerca del ecuador: la profundidad de Ekman \(d_E\)→[math]\infty[/math] según la fórmula, lo cual significa que la capa de Ekman se hace muy gruesa y la variación vertical es más lenta. El transporte de Ekman aún existe si se usa teoría más general (f variable), pero la espiral clásica (f constante) deja de aplicarse, y la fuerza de Coriolis es débil. Además:

en el modelo clásico. Esto es independiente de f en magnitud, pero el sentido de giro con la profundidad sí depende del signo de f.

2 Resolucion de [math]\vartheta[/math]

El valor de [math]\vartheta[/math] es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas 30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W, asumiendo una viscosidad turbulenta de 0.05 m²/s, una velocidad del viento de 12 m/s que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente 0.15 m/s y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:

• [math]z = 0[/math].
• [math]\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) [/math].
• [math]f \gt 0[/math] ya que estamos en el norte, y por lo tanto [math]sgn(f) = 1[/math].

Resolviendo nos queda:

[math] \frac{v(z)}{u(z)} = \frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \sin(\vartheta)} {V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \cos(\vartheta)} = \tan(\vartheta) = 1 \Rightarrow [/math]

[math] \Rightarrow \vartheta = \left\{ \begin{aligned} \frac{\pi}{4}\\ \frac{3\pi}{4} \end{aligned} \right. [/math]

Como tanto [math]u(z)[/math] como [math]v(z)[/math] son negativos, la solución correcta para [math]\vartheta[/math] es:

3 Verificación de las soluciones de Ekman

Con el fin de confirmar que las expresiones analíticas propuestas para las componentes horizontales de la velocidad [math]u(z)[/math] y [math]v(z)[/math] constituyen efectivamente una solución del sistema de Ekman en régimen estacionario, se procede a derivar cada función dos veces con respecto a la coordenada vertical [math]𝑧[/math] y a comprobar que satisfacen las ecuaciones diferenciales.

Para la componente [math]u(z)[/math] :

Como [math]d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}[/math]:

Finalmente se obtiene :

Lo que confirma que [math]u(z)[/math] cumple su ecuación correspondiente.

Un procedimiento análogo aplicado a [math]v(z)[/math]

conduce a

En consecuencia, la pareja [math] (u(z), v(z))[/math] constituye una solución válida del problema de Ekman y reproduce el acoplamiento dinámico entre ambas componentes horizontales impuesto por la fuerza de Coriolis y la fricción turbulenta vertical.

4 Campo vectorial [math]\vec{v}[/math]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial V evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧)(a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

%% Apartado 4

clc;close all;clear;
omega = 7.2921*(10)^-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta;  % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100;  % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    % Calcular las componentes de la velocidad
    u = u_m(k); % Componente u(z)
    v = v_m(k);% Componente v(z)
    quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
    grid on
    view([45 45])
end

5 Visualización tridimensional de la espiral de Ekman

Representación tridimensional de los vectores [math]\vec V(z)[/math] evaluados en [math](0,0,z)[/math] para [math]z \in [0,3d_E][/math]. La curva roja une las puntas de los vectores y forma la espiral de Ekman.

5.1. Vectores de velocidad a lo largo del eje vertical

El campo de velocidad horizontal del agua viene dado por

[math]\vec V(z) = u(z)\,\vec i + v(z)\,\vec j,[/math]

donde las soluciones de las ecuaciones de Ekman (obtenidas en el apartado 3) son

[math] u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0\, e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right), \qquad v(z) = V_0\, e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right), [/math]

siendo:

• [math]V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}[/math] la velocidad superficial inducida por el viento (dato del modelo);
• [math]d_E[/math] la profundidad de Ekman calculada en el apartado (1);
• [math]\vartheta[/math] la fase inicial encontrada en el apartado (2);
• [math]\operatorname{sgn}(f)=1[/math] porque [math]f\gt0[/math] en el hemisferio norte.

Para visualizar la espiral tridimensional seguimos exactamente lo que indica el enunciado. Consideramos puntos del eje vertical [math](0,0,z)[/math] con

[math]z \in [0,-3d_E].[/math]

Tomamos entre 30 y 40 puntos igualmente espaciados (por ejemplo, [math]N=40[/math]). En cada profundidad [math]z[/math] calculamos [math]\vec V(z)[/math] y dibujamos un vector con origen en [math](0,0,z)[/math] y punta en [math](u(z),v(z),z)[/math]. Las puntas de todos esos vectores describen una curva en el espacio tridimensional: la espiral de Ekman.

5.2. Código de MATLAB para la visualización 3D

El siguiente script de MATLAB implementa la construcción descrita anteriormente, utilizando los valores de [math]f[/math], [math]d_E[/math] y [math]\vartheta[/math] calculados en los apartados (1) y (2). Se generan entre 30 y 40 vectores de velocidad a lo largo de la columna de agua y se representa la espiral de Ekman en tres dimensiones.

%% Datos conocidos de los apartados (1) y (2)
V0     = 0.15;          % Velocidad superficial inducida [m/s]
f      = 7.3e-5;        % Parámetro de Coriolis [1/s] (valor hallado en (1))
nu_e   = 0.05;          % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
dE     = sqrt(2*nu_e/abs(f));   % Profundidad de Ekman (calculada en (1))
theta0 = 3*pi/4;        % Fase inicial ϑ (hallada en (2))

%% Discretización de la profundidad física: prof ∈ [0, 3 dE]
N    = 40;                          % 30–40 puntos
prof = linspace(0, 3*dE, N);        % prof ≥ 0, 0 = superficie

%% z del MODELO (negativo), tal como se definió en el enunciado
z_model = -prof;                    % z ≤ 0

%% Cálculo de u(z) y v(z) usando z_model
sgnf = sign(f);                     % = 1 en nuestro caso (hemisferio norte)

u = sgnf * V0 .* exp(z_model/dE) .* cos(z_model/dE + theta0);
v =        V0 .* exp(z_model/dE) .* sin(z_model/dE + theta0);

%% Representación 3D de los vectores V(z)
figure;

% Vectores con origen en (0,0,prof) y punta en (u,v,prof)
h = quiver3( zeros(size(prof)), zeros(size(prof)), prof, ...
             u,                v,                zeros(size(prof)), ...
             'LineWidth', 1.5 );
set(h,'AutoScale','on','AutoScaleFactor',5);   % Agranda las flechas para verlas bien

hold on;

% Curva que une las puntas de los vectores: la espiral de Ekman
plot3(u, v, prof, '--k', 'LineWidth', 1);

xlabel('Componente este u(z) [m/s]');
ylabel('Componente norte v(z) [m/s]');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Espiral de Ekman en 3D (vectores V evaluados en (0,0,z))');

grid on;
set(gca, 'ZDir','reverse');   % Profundidad positiva hacia abajo
view(45, 25);                 % Vista tridimensional agradable
% No usamos axis equal para que las flechas no queden aplastadas

hold off;

5.3. Interpretación del resultado numérico

La figura obtenida con el código anterior muestra la espiral de Ekman correspondiente a los parámetros del modelo. En la superficie ([math]z = 0[/math]) el vector de velocidad tiene módulo [math]V_0 = 0{,}15\,\text{m/s}[/math] y dirección fijada por la fase [math]\vartheta[/math], desviada aproximadamente [math]45^\circ[/math] a la derecha del viento, tal como se dedujo en el apartado (2).

A medida que aumenta la profundidad (valores crecientes de la variable [math]\text{prof}[/math]):

• la **dirección** de los vectores va rotando debido al efecto de Coriolis, describiendo una espiral;
• la **magnitud** de la velocidad decrece exponencialmente con el término [math]e^{z/d_E}[/math], por lo que los vectores se hacen cada vez más cortos.

La curva que une las puntas de los vectores [math](u(z),v(z),z)[/math] representa así la estructura tridimensional de la espiral de Ekman, y muestra cómo la influencia directa del viento se concentra en la capa superior de espesor del orden de la profundidad de Ekman [math]d_E[/math], desapareciendo progresivamente a mayor profundidad.

6 Divergencia de [math]\vec{v}[/math]

Es importante señalar que la divergencia del campo vectorial [math]\vec{v}[/math] es en todo caso nula. La justificación matemática es sencilla, pues el campo depende exclusivamente de la variable [math]z[/math], y todos sus vectores se orientan de forma paralela al plano generado por [math]\vec{i}[/math] y [math]\vec{j}[/math]. En otras palabras, esto implica que la derivada [math]\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0[/math], ya que la componente [math]\vec{v}_z[/math] es, de por sí, nula.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la causa de esta divergencia cero. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al cambio de volumen inducido por un campo. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un fluido incompresible, sería por tanto de esperar que [math]\nabla · \vec{v} = 0 [/math]. Se trata de una consecuencia directa del Teorema de la divergencia de Gauss.

7 Rotacional de [math]\vec{v}[/math]

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades [math]\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}[/math], se da que:

Siendo [math]\vec v_x[/math], [math]\vec v_y[/math] y [math]\vec v_z[/math] [math]u[/math], [math]v[/math] y 0 respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a:

Por simplicidad, llamamos [math]\varphi[/math] a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas ([math]z/d_E + \vartheta[/math]). Sustituyendo:

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis. En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

8 El transporte de Ekman

El transporte de Ekman se define formalmente como la integral vertical de las velocidades de Ekman a lo largo de toda la columna de agua afectada por el viento, desde la superficie hasta una profundidad donde el efecto del viento se vuelve despreciable. Esta definición de integral representa el flujo neto de masa de agua que resulta de la espiral de Ekman, y es fundamental para comprender la circulación oceánica a gran escala.

El transporte de Ekman se obtiene integrando verticalmente la velocidad inducida por el viento (debido al efecto Coriolis y viscosidad) desde la superficie hasta donde el movimiento se vuelve despreciable. La expresión más común es:

8.1 Validez de la condición de contorno [math] z=−∞ [/math]

La elección de [math] z=−∞ [/math] como límite inferior de integración es válida en el modelo de Ekman porque representa un océano de profundidad infinita. Esta suposición es válida por las siguientes razones:

*Decaimiento exponencial de las velocidades:

Las soluciones de Ekman para las componentes de velocidad tienen la forma: [math] \vec{u(z)} \sim e^{z/d_E}\,.\bigl(\text{funciones trigonométricas}\bigr) [/math]

Dado que [math]z\lt0 [/math] bajo la superficie, cuando [math] z\lt\lt -d [/math] (profundidades mucho mayores que la capa de Ekman), el término exponencial [math] e^{z/d_E} \;\longrightarrow\; 0 [/math]

* Condición física:

En profundidades suficientemente grandes, el efecto del viento superficial se desvanece completamente. La fricción entre capas de agua disminuye progresivamente con la profundidad, y eventualmente el movimiento inducido por el viento cesa. Por tanto, establecer [math] z=−∞ [/math] asegura que [math]\lim_{z\to -\infty} \vec{u}_E(z) = \vec{0}[/math] lo cual es físicamente consistente con un fondo marino "infinitamente profundo".

8.2 Cálculo analítico de la integral

Para calcular [math] \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz [/math], partimos de las ecuaciones de Ekman en estado estacionario:

Integrando la primera ecuación desde [math] z=-∞ [/math] hasta [math] z=0[/math] :

Dado que [math] u \longrightarrow 0 [/math] cuando [math] z \longrightarrow - ∞ [/math] ,su derivada también se anula en el infinito.

En la superficie (z = 0), el esfuerzo del viento se relaciona con la derivada de la velocidad mediante:

Por lo tanto:

Análogamente, integrando la segunda ecuación:

El transporte de Ekman resulta ser:

8.3 Demostración de perpendicularidad

Para verificar que [math]\vec{M}_E[/math] es perpendicular al viento, calculamos el producto escalar:

Esto demuestra matemáticamente que el transporte neto de Ekman es siempre perpendicular a la dirección del viento. En el Hemisferio Norte ([math]f\gt0[/math]), el transporte es [math]90^{\circ}[/math] a la derecha del viento. En el Hemisferio Sur ([math]f\lt0[/math]), es [math] 90^{\circ}[/math] a la izquierda.

9 Flujo Neto

El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico [math] \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}[/math],donde [math] \alpha \in [0,2\pi) [/math] es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura [math]L = 10\ \text{m}[/math] y la profundidad será infinita [math] z \in [0,-\infty)[/math]. Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial [math]\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}[/math],y un vector perpendicular a la superficie [math]\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}[/math]: [math]\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL[/math]

El resultado del producto vectorial[math](\vec{v} \cdot \vec{n})[/math]es:

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)[/math]

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) + \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right][/math]

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).[/math]

Ahora la integral doble sería:

[math]\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL[/math]

[math]\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0} e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.[/math]

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

[math] \int u \, dv = uv - \int v \, du [/math]

[math] u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

[math]dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} [/math]

Aplicamos la integración por partes: [math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] [/math]

Si simplificamos: [math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] [/math]

Ahora nos queda otra integral:

[math] I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Utilizando integral por partes otra vez [math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz[/math]

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Como la ultima integral es igual a la primera:

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I [/math]

Esta la sustituimos en [math]\Phi [/math]

[math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] [/math]

Como [math] \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Entonces [math] 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)[/math]

Solo nos queda evaluar la integral entre [math] z=0 [/math] y [math] z=-\infty[/math]

[math] z =0:[/math]

[math]e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) [/math]

Y para [math] z =-\infty [/math] todos los [math] e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 [/math] entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

[math] \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] [/math]

[math] \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right] [/math]

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo [math]\alpha[/math]. Atendiendo a procesos de optimización, para [math]\vartheta=\frac{3\pi}{4}[/math], resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el oeste. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento, siendo su sentido dependiente precisamente del parámetro de Coriolis y del hemisferio en el que nos encontremos.

10 Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas

La espiral de Ekman en el espacio 3D esta parametrizada por:

La espiral de Ekamn en el océano describe cómo varía la velocidad horizontal (u(z), v(z)) con la profundidad z (con z=0 en la superficie y z<0 hacia el fondo).

Una forma típica es:

donde:

• [math]f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}][/math] es el parámetro de Coriolis

• \(V_0\) es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento.

• \(d_E\) es la profundidad de Ekman.

• sgn es la función signo: [math]\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \gt 0, \\ 0 & \text{si } x = 0, \\ -1 & \text{si } x \lt 0 \end{cases} [/math], que determina un signo diferente según el hemisferio.

• ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Para pasarlo a coordenadas cilíndricas (r,θ,z):

Calculamos:

Para el radio:

donde [math]\theta_z = z/d_E[/math].

Pero [math]\operatorname{sgn}(f)^2 = 1[/math] (es [math]\pm 1[/math]), así que dentro de la raíz solo queda:

Por lo tanto:

Para 0 (ángulo en el plano u,v):

• V_0 e^{z/d_E} se cancelan

Por tanto:

El factor [math]1/\operatorname{sgn}(f)[/math] es:

• [math]+1[/math] si [math]f \gt 0[/math] (hemisferio norte),
• [math]-1[/math] si [math]f \lt 0[/math] (hemisferio sur).

Podemos absorber este signo dentro del argumento, porque:

Por tanto:

Para la altura:

Por tanto, la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas es:

10.1 Representación en MATLAB

Representación de la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas de [math]z = -4d_E[/math] con su superficie de referencia

% Parámetros
dE = 1;           % Profundidad de Ekman
V0 = 1;           % Velocidad superficial
f_sign = 1;       % 1 para hemisferio norte, -1 para sur
theta0 = pi/4;    % Fase inicial

% Rango de z: de 0 a -4*dE
z = linspace(0, -4*dE, 500);

% Coordenadas cilíndricas DIRECTAS (sin pasar por u, v)
r = V0 * exp(z/dE);  % Radio
theta = atan(tan(z/dE + theta0) / f_sign);  % Ángulo (simplificado)

% Mejor usar atan2 para manejar cuadrantes correctamente:
% Reconstruimos u, v temporalmente solo para calcular theta correctamente:
u_temp = f_sign * V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v_temp = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);
theta = atan2(v_temp, u_temp);

% Convertir cilíndricas a cartesianas para graficar en 3D
x_cil = r .* cos(theta);  % x = r*cos(θ)
y_cil = r .* sin(theta);  % y = r*sin(θ)
z_cil = z;                % z se mantiene igual

% Representación 3D EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
figure('Position', [100 100 1000 700]);

% 1. Curva 3D en espacio cilíndrico transformado
subplot(2,3,[1 4]);
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x_cil(1), y_cil(1), z_cil(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot3(x_cil(end), y_cil(end), z_cil(end), 'ks', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'k');
grid on;
xlabel('x = r cos(θ)');
ylabel('y = r sin(θ)');
zlabel('Profundidad z');
title('Espiral de Ekman en 3D (de coord. cilíndricas)');
view(40, 25);
axis equal;

% 2. Vista superior - diagrama polar
subplot(2,3,2);
polarplot(theta, r, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Diagrama polar (r,θ)');
rlim([0 V0*1.1]);


% Figura adicional: Superficie cilíndrica de referencia
figure;
% Crear malla para superficie cilíndrica
[Z, TH] = meshgrid(linspace(-4*dE, 0, 20), linspace(min(theta), max(theta), 30));
R_surf = V0 * exp(Z/dE);
[X_surf, Y_surf] = pol2cart(TH, R_surf);

% Graficar superficie cilíndrica
surf(X_surf, Y_surf, Z, 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeAlpha', 0.3);
hold on;

% Graficar curva
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 3);

% Configurar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Espiral sobre superficie cilíndrica de referencia');
axis equal;
grid on;
view(40, 25);

11 Curvatura y torsión para la espiral de Ekman

La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

Representación de la curvatura y la torsión

Torsión:

[math]\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}[/math]

Curvatura:

[math]\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}[/math]

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

[math]\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),[/math]

donde

[math]u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),[/math]

[math]d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.[/math]

Derivadas de la curva:

Definimos [math]\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.[/math]

Entonces:

[math]\vec{r}'(z) = \left( \frac{\text{sgn}(f) \, A}{d_E} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad \frac{A}{d_E} (\sin \varphi + \cos \varphi),\quad 1 \right),[/math]

[math]\vec{r}''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^2} \sin \varphi, \quad \frac{2A}{d_E^2} \cos \varphi,\quad 0 \right),[/math]

[math]\vec{r}'''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^3} (\sin \varphi + \cos \varphi), \quad \frac{2A}{d_E^3} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad 0 \right)[/math]

[math] \mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)=\Big(-\dfrac{2A}{d_E^2}\cos\varphi,\; \dfrac{2A}{d_E^2}\operatorname{sgn}(f)\sin\varphi,\; \dfrac{2A^2\operatorname{sgn}(f)}{d_E^3}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)\Big) [/math]

[math] \lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert^{2}=\dfrac{4A^{2}}{d_E^{4}}\Big(1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\Big) [/math]

[math] \lVert\mathbf r'(z)\rVert^{2}=1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}} [/math]

[math] \kappa(z)=\dfrac{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert}{\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{3}} =\dfrac{\dfrac{2A}{d_E^{2}}\displaystyle\sqrt{1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}}} {\bigl(1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}\bigr)^{3/2}} [/math]

[math] \tau(z)=\dfrac{\det\bigl[\mathbf r'(z),\mathbf r''(z),\mathbf r'''(z)\bigr]}{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert^{2}} =-\,\dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,d_E}{\,d_E^{2}+A^{2}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\, }. [/math]

Conclusión:

• El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
• Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:

[math]\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.[/math]

• Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.

12 Triedro de Frenet

En el enunciado (10) se parametrizó la espiral de Ekman en 3D mediante

[math] \gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), \qquad z \le 0, [/math]

y en el enunciado (11) se calcularon la curvatura [math]\kappa(z)[/math] y la torsión [math]\tau(z)[/math] de esta curva a partir de las expresiones generales

[math] \kappa(z) = \dfrac{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert} {\lVert \gamma'(z) \rVert^3}, \qquad \tau(z) = \dfrac{\bigl[\gamma'(z),\gamma''(z),\gamma'''(z)\bigr]} {\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert^2}. [/math]

A partir de estos invariantes definimos el triedro de Frenet [math]\{\mathbf T(z),\mathbf N(z),\mathbf B(z)\}[/math] asociado a la espiral:

• El vector tangente unitario

[math] \mathbf T(z) = \dfrac{\gamma'(z)}{\lVert \gamma'(z)\rVert}, [/math]

• el vector normal principal

[math] \mathbf N(z) = \dfrac{\mathbf T'(z)}{\lVert \mathbf T'(z)\rVert}, [/math]

• y el vector binormal

[math] \mathbf B(z) = \mathbf T(z) \times \mathbf N(z). [/math]

En la práctica, las derivadas se calculan de forma numérica a partir de las coordenadas discretas de la espiral. A continuación se detalla una implementación en MATLAB que permite obtener [math]\mathbf T[/math], [math]\mathbf N[/math], [math]\mathbf B[/math], así como la curvatura [math]\kappa[/math] y la torsión [math]\tau[/math] de la curva.

12.1 12.1. Función frenet (cálculo numérico del triedro)

La función siguiente recibe las coordenadas [math](x_i,y_i,z_i)[/math] de una curva en forma de vectores y devuelve los vectores del triedro de Frenet en cada punto:

function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z)
% FRENET  Triedro de Frenet de una curva dada por (x,y,z)

if nargin == 2
    z = zeros(size(x));
end

% Convertir a vectores columna
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% Primera derivada (velocidad de la curva)
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

% Segunda derivada
ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% Vector tangente unitario
T = dr ./ mag(dr,3);

% Derivada del tangente
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));
dT  = [dTx dTy dTz];

% Vector normal unitario
N = dT ./ mag(dT,3);

% Binormal
B = cross(T,N);

% Curvatura (fórmula general)
k = mag(cross(dr,ddr),1) ./ (mag(dr,1).^3);

% Torsión (aproximada)
t = dot(-B,N,2);

end

function N = mag(T,n)
% MAG  Magnitud de un vector (Nx3)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
end

12.2 12.2. Representación del triedro en 5–6 puntos de la espiral

Para representar gráficamente el triedro de Frenet en la espiral de Ekman, utilizamos los mismos parámetros físicos fijados en los enunciados (1) y (2):

• velocidad superficial inducida [math]V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}[/math],
• viscosidad turbulenta [math]\nu_e = 0{,}05\ \text{m}^2/\text{s}[/math],
• parámetro de Coriolis local [math]f[/math], de donde se obtiene la profundidad de Ekman [math]d_E = \sqrt{2\nu_e/|f|}[/math],
• fase inicial [math]\vartheta[/math] (ángulo de desviación superficial), calculada previamente.

Para mantener la coherencia con el enunciado, trabajamos con una variable de profundidad negativa [math]z \in [0,-3d_E][/math], donde [math]z=0[/math] corresponde a la superficie y [math]z\lt0[/math] a niveles más profundos.

La espiral de Ekman se describe entonces mediante

[math] \gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), [/math]

con

[math] u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\quad v(z) = V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\qquad z \le 0. [/math]

El siguiente código de MATLAB construye la espiral, calcula el triedro de Frenet y lo representa en 5–6 puntos. En la gráfica el eje vertical muestra explícitamente profundidades negativas, desde [math]z=0[/math] (superficie) hasta [math]z=-3d_E[/math]:

%% Parámetros físicos (de los enunciados (1) y (2))
Omega  = 7.2921e-5;                         % Velocidad angular de la Tierra [rad/s]
phi    = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600);   % Latitud de la zona de estudio
f      = 2*Omega*sin(phi);                  % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e   = 0.05;                              % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0     = 0.15;                              % Velocidad superficial [m/s]
dE     = sqrt(2*nu_e/abs(f));               % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4;                            % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral en coordenadas (x,y,z)
Npts = 200;                                 % puntos para describir bien la curva
z    = linspace(0, -3*dE, Npts);            % profundidad negativa (0 = superficie)

u =  V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v =  V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Selección de 5–6 puntos
idx = round(linspace(10, Npts-10, 6));

%% Representación 3D
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Longitud gráfica de los vectores del triedro
L = dE/5;

for j = 1:length(idx)
    i  = idx(j);
    xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

    TT = L * T(i,:);
    NN = L * N(i,:);
    BB = L * B(i,:);

    quiver3(xb, yb, zb, TT(1), TT(2), TT(3), 'r', 'LineWidth', 1.5);
    quiver3(xb, yb, zb, NN(1), NN(2), NN(3), 'g', 'LineWidth', 1.5);
    quiver3(xb, yb, zb, BB(1), BB(2), BB(3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Triedro de Frenet en varios puntos de la espiral de Ekman');

grid on;
view(35,25);                  % Vista tridimensional
% Aquí NO se invierte el eje Z: se muestran las profundidades negativas tal cual

hold off;

En la figura resultante se observan 5–6 sistemas de vectores ortogonales [math]\{\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\}[/math] distribuidos a lo largo de la espiral, con el eje vertical indicando explícitamente los valores negativos de profundidad.

12.3 12.3. Animación del triedro de Frenet

Podemos completar el estudio construyendo una animación en la que el triedro recorra la espiral de Ekman. La idea es la misma que en el apartado anterior, pero actualizando en cada fotograma los vectores [math]\mathbf T[/math], [math]\mathbf N[/math] y [math]\mathbf B[/math] en un único punto que se desplaza a lo largo de la curva.

El siguiente script de MATLAB genera la animación.

%% Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman

% Parámetros físicos (los mismos del trabajo)
Omega  = 7.2921e-5;                         % [rad/s]
phi    = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600);   % Latitud Canarias
f      = 2*Omega*sin(phi);                  % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e   = 0.05;                              % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0     = 0.15;                              % Velocidad superficial [m/s]
dE     = sqrt(2*nu_e/abs(f));               % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4;                            % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral (x,y,z) con z negativa
Npts = 200;                                 % puntos de la espiral
z    = linspace(0, -3*dE, Npts);            % profundidad negativa

u =  V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v =  V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de toda la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Preparar la figura para la animación
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Vector del viento (opcional, solo decorativo)
quiver3(escala*0.15, 0, 0, -escala*0.3, 0, 0, ...
        'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);

% Inicializar los manejadores de T, N, B
hT = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hN = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hB = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman');

grid on;
axis vis3d;
view(35,25);                  % z se muestra negativo, coherente con el modelo

hold off;

%% Parámetros de la animación
L = dE/5;                                   % longitud de los vectores del triedro
nombre_gif = 'Ekman_triedro_Frenet.gif';    % nombre del GIF (opcional)

% Si se quiere empezar un GIF nuevo, se borra el anterior
if exist(nombre_gif,'file')
    delete(nombre_gif);
end

%% Bucle de animación
for i = 1:Npts
    % Punto actual en la espiral
    xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

    % Vectores del triedro escalados
    TT = L * T(i,:);
    NN = L * N(i,:);
    BB = L * B(i,:);

    % Actualizar T, N, B en el punto actual
    set(hT, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
            'UData', TT(1), 'VData', TT(2), 'WData', TT(3));
    set(hN, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
            'UData', NN(1), 'VData', NN(2), 'WData', NN(3));
    set(hB, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
            'UData', BB(1), 'VData', BB(2), 'WData', BB(3));

    drawnow;
    pause(0.02);                            % velocidad de la animación

    % Guardar cada frame en un GIF (opcional)
    frame = getframe(gcf);
    im    = frame2im(frame);
    [A,map] = rgb2ind(im,256);
    if i == 1
        imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',0.02);
    else
        imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.02);
    end
end

En la animación se observa cómo el triedro de Frenet se desplaza a lo largo de la espiral de Ekman.

13 Longitud de arco de la espiral de Ekman

La longitud de arco desde [math] z=0[/math] hasta [math] z=-Z[/math] es

Vamos calculando la integral para distintos valores de z :

• Para \(Z=d_E\):

[math] \;\;\; L(d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-1}\big)\approx 0.89395346735\,V_0. [/math]

• Para \(Z=2d_E\):

[math] \;\;\; L(2d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-2}\big)\approx 1.22282056935\,V_0. [/math]

• Para \(Z=3d_E\):

[math] \;\;\;L(3d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-3}\big)\approx 1.34380401506\,V_0. [/math]

Se observa que al aumentar [math]Z[/math] la longitud se acerca a un valor límite y se aproxima a [math] \sqrt{2} V_0 [/math]

Entonces la longitud de arco de la espiral de Ekman entre [math] z=0[/math] hasta [math] z=-Z[/math] es finita para cualquier [math]Z[/math].

De lo anterior se deduce que la longitud total, cuando [math] Z \longrightarrow \infty [/math], converge a un valor finito, no diverge. Esto se debe a que la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad, de modo que la contribución a la longitud de arco de capas muy profundas es cada vez menor y la integral total converge.

14 Espiral logarítmica de Ekman

La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal (𝑥, 𝑦) es:

La espiral logarítmica es una curva geométrica que se expande de forma continua y proporcional, alejándose de un punto central a la vez que mantiene siempre la misma forma, sin importar cuánto crezca. Representa el crecimiento armónico y eficiente que une el mundo matemático con la naturaleza, la tecnología y el arte.

14.1 Representación de la espiral en el plano XY

Se tiene:

con [math]z \in (-\infty, 0][/math].

Podemos escribir:

El ángulo polar θ satisface:

Sea [math]f \gt 0[/math] (hemisferio norte), [math]\operatorname{sgn}(f) = +1[/math], entonces:

En coordenadas cartesianas:

Representación paramétrica en XY

14.2 Verificación en coordenadas polares:[math]\rho = \rho_0 e^{b\theta}[/math]

Tenemos:

Despejamos [math]z/d_E[/math]:

Sustituimos en [math]\rho[/math]:

Esto es de la forma [math]\rho = \rho_0 e^{b\theta}[/math] con [math]b = 1[/math].

Por lo tanto la espiral logarítmica cumple

Nota: Si [math]f \lt 0[/math], [math]\operatorname{sgn}(f) = -1[/math], entonces:

14.3 Ángulo entre vector posición y vector tangente

Trabajemos con la forma polar [math]\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta}[/math] y parametizamos la curva en θ. El vector posición es

La derivada respecto θ de (proporcional al vector tangente) es:

Como [math]\rho'(\theta) = b\rho(\theta)[/math], tenemos:

Producto escalar

Como [math]\mathbf{r} = \rho \mathbf{e}_r[/math], tenemos:

Pero [math]\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r = 1[/math], [math]\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0[/math], luego:

Módulos

Ángulo [math]\alpha[/math] entre [math]\mathbf{r}[/math] y [math]\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}[/math]

Dado que esto no depende de θ se verifica la propiedad característica de la espiral logarítmica que dice que el ángulo es constante.

De [math]\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}[/math] tenemos:

Para la espiral de Ekman (caso [math]f \gt 0[/math]) en (b) obtuvimos [math]b = 1[/math], entonces:

Por tanto el ángulo que forman el vector posición y el vector tangente es [math]\frac{\pi}{4}.[/math]

14.4 Aplicaciones de la espiral logarítmica en ingeniería

Antena de doble polarización en forma de espiral logarítmica.

Escalera en la Isla de Ré (Francia) siguiendo la forma de una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica, por su naturaleza de crecimiento continuo y optimización espacial, es ampliamente utilizada en el diseño de diversas estructuras y dispositivos tecnológicos. En el ámbito de la ingeniería mecánica, resulta ideal para modelar sistemas que requieren una variación progresiva de forma, como engranajes espirales, resortes e impulsores de bombas centrífugas. En el diseño de turbinas y hélices, esta geometría favorece un flujo uniforme y eficiente, contribuyendo a mejorar tanto el rendimiento aerodinámico como el hidráulico.

Su aplicación también es relevante en el campo de las telecomunicaciones, donde se emplea en el diseño de antenas para ampliar y optimizar la recepción de un amplio espectro de frecuencias.

En disciplinas como la ingeniería civil y marítima, se han desarrollado investigaciones que aplican la espiral logarítmica para modelar la evolución y transformación de las líneas costeras.

14.4.1 ¿Por qué esta curva aparece tan frecuentemente en la naturaleza?

Las las galaxias también siguen la forma de una espiral logarítmica por naturaleza.

Las borrascas son fenómenos naturales en forma de espiral.

La llamada curva logarítmica de Ekman aparece tan a menudo en la naturaleza porque es la forma en la que muchos sistemas físicos se organizan cuando existe un equilibrio entre dos procesos opuestos: uno que impulsa el movimiento y otro que lo frena. Esto ocurre especialmente en los flujos turbulentos, como el viento cerca del suelo o las corrientes oceánicas, donde la mezcla constante hace que el transporte de energía y momento dependa más de cambios relativos que de cambios absolutos. Cuando eso pasa, las ecuaciones que describen el flujo tienden a producir perfiles logarítmicos de manera natural.

En el caso específico de la capa de Ekman, la combinación de la fricción con la fuerza de Coriolis —que surge por la rotación de la Tierra— genera un equilibrio muy particular. Al resolver ese balance, la solución matemática muestra variaciones que crecen de forma logarítmica con la altura o la profundidad. Es decir, el logaritmo no es un capricho: es la forma que “encaja” cuando una fuerza lineal (Coriolis) se enfrenta a un proceso difusivo (la fricción).

Más allá de la oceanografía o la meteorología, los logaritmos aparecen en muchos sistemas naturales porque describen muy bien situaciones donde una cantidad cambia según su proporción y no según un valor fijo. Este tipo de comportamiento es típico de fenómenos que muestran auto-similitud, escalas múltiples o estructuras turbulentas, todos ellos comunes en la naturaleza.

En resumen, la curva logarítmica de Ekman es tan frecuente no porque el logaritmo sea especial por sí mismo, sino porque refleja un patrón universal: cuando un sistema está sometido a fuerzas en competencia y opera en un medio turbulento o con múltiples escalas, el logaritmo emerge como la forma más estable y natural de describir cómo varía ese flujo.

15 Referencias

[Dinamica de la espiral de Ekmam, https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf]