Revisión actual del 20:17 7 dic 2025

La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Este fenómeno ocurre bajo la condición de rodadura sin deslizamiento, lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) [/math], para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

1 Dibujo de la curva

Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:

Figura 1. Representación de la cicloide

% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');

2 Cálculo vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) [/math]

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))[/math] y [math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))[/math]
A continuación, se representan utilizando MATLAB:

Figura 2. Vectores velocidad y aceleración

R=3; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t)); 
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t)); 
figure 

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r'); 
hold off
grid on

%ETIQUETAS 
axis equal 
legend('Curva','Velocidad','Aceleración'); 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]

[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt = \int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = [/math]
[math] =8R=[R=3]= 24u [/math]

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

4.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva. Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]

Entonces; [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}[/math]

4.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}[/math]

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]

Lo calculamos como: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}[/math]

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: [math]\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}[/math]

4.3 Representación de los vectores tangente y normal

Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.

Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal

t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);

 % Vector tangente
 norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
 Vt1 =V1./norma ;
 Vt2 =V2./norma ;
 figure
 hold on ;

 % CURVA
 plot (x ,y ,'k') ; 
 % CAMPO TANGENTE 
 quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ; 
 %CAMPO NORMAL
 quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
 axis equal
 grid on
 hold off ;
 legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
 title ('Curva , tangente y normal.') ;

5 Curvatura de k(t) y su gráfica

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta. Esta función viene definida por la expresión: [math]κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}[/math] Si lo desarrollamos:

[math]\kappa(t) = \frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}[/math]

Figura 4: Curvatura de la cicloide

t=linspace(0,2*pi(),100); 

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12)); 

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

6 Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P

La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

6.1 Centro y radio

Sea [math]P = γ(t)[/math] con [math] t = 4[/math] se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... [/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... [/math]

6.2 Representación de la circunferencia osculatriz

Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz

%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k;  % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO 
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION 
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4);   % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8);          % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2);              % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4);   % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4);               % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
       'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;

7 Fenomenos que describe la cicloide

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el tiempo que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

Por otro lado, en la arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

8 Aplicación en la ingeniería de la Cicloide

La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación: Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

9 Cicloide en un espacio tridimensional

Para la representación de la superficie S se extenderá una unidad en la dirección de [math]\overrightarrow{i}[/math] cada punto de la cicloide en R3.
De esta forma, se aprecia que [math]x_{1}[/math] varía entre 0 y 1. Por otra parte,[math]x_{2}[/math] y [math]x_{3}[/math] están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a [math]x_{1}[/math].

La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma: [math]S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl} x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\ x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\ x_{3}=3(1 + cost) \\ \end{array} \right.[/math]

Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional

Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);      
t = linspace(0, 2*pi, 50);   

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);      
X2 = 3 * (T - sin(T));        
X3 = 3 * (1 + cos(T));         

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);              
xlabel('x_1 = u'); 
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))'); 
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;

10 Masa de la superficie

Dada la densidad: [math]f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3[/math] La masa se obtiene calculando el volumen debajo de la superficie S, para ello se realiza la integral: [math]M=\int\int_Sf(x_1,x_2,x_3)\;dS[/math]
El diferencial dS se calcula : [math]dS=S_txS_u dtdu[/math]

Para calcular las derivadas parciales: [math]S_t=(0,3*(1-cos(t)),-3*sin(t))[/math] [math]S_u=(1,0,0)[/math]

Tras realizar el producto vectorial obtenemos que el diferencial es: [math]dS=6sin(t/2)d_td_u[/math]
La densidad se distribuye como [math] x_1 = s,\qquad x_2 = R(t-\sin t),\qquad x_3 = R(1+\cos t) \Rightarrow\quad f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)[/math]

La masa nos queda:

[math]M=27*\int_0^(2*pi) (1+3*(t-sin(t))*(1+cos(t))*sin(t/2)d_t[/math]

Como esta integral es muy difícil de resolver lo calculamos analíticamente con un programa de MATLAB por el método de los rectángulos:

n=10000;
Masa=0;
t = linspace(0,2*pi,n);
%metodo del rectangulo 
for i=1:n
     base=(2*pi-0)/n;
     altura=S(t(i));
    masa=masa+base * altura ;
end
disp(masa));

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

11 Póster

https://upm365-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/clara_lasheras_alumnos_upm_es/EVkIS2W5eTtEsjEUM1RQz1IB4882AoeOp_gGX5Nw3O3SJg?e=D2SAaO

12 Bibliografía

https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1943.11991383

https://web.pdx.edu/~caughman/Cycloids%20and%20Paths.pdf