Diferencia entre revisiones de «El Vortice de Rankine (Grupo 11)»

Revisión actual del 08:37 10 dic 2025

Medio:0.jpg

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

2 Formulación matemática del vórtice de Rankine

El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

2.1 Variables y definiciones

• [math]r[/math]: distancia radial al eje del vórtice
• [math]R[/math]: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
• [math]v_\theta(r)[/math]: velocidad tangencial en función del radio
• [math]\Gamma[/math]: circulación total del vórtice, definida como:

[math] \Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta [/math]

2.2 Núcleo interior (rotación sólida)

Dentro del núcleo, [math]r \le R[/math], las partículas giran como un cuerpo rígido:

[math] v_\theta(r) = \Omega \, r [/math]

Para que la circulación sea continua en [math]r=R[/math]:

[math] \Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R [/math]

De aquí se obtiene:

[math] \Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} [/math]

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

[math] v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R [/math]

2.3 Región exterior (flujo irrotacional)

En la región exterior, [math]r \gt R[/math], la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

[math] \Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r} [/math]

2.4 Formulación completa por tramos

\[ v_\theta(r) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\ \dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R \end{cases} \]

Características:

• La velocidad crece linealmente en el núcleo.
• La velocidad decrece como [math]1/r[/math] en la región exterior.
• La circulación total [math]\Gamma[/math] se conserva para cualquier radio.

2.5 Representación en coordenadas cartesianas

Para representar el flujo en el plano [math](x, y)[/math]:

[math] r = \sqrt{x^2 + y^2} [/math]

[math] u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r} [/math]

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

3 Determinación de la circulación y visualizacion del flujo

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada) clear; clc; close all; % Parámetros R = 250; vR = 90; Gamma = 2*pi*R*vR; fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma); % ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL ===== vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ... (rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho)); %% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho) rho = linspace(0,1000,1000); vtheta = vtheta_fun(rho); figure; hold on; grid on; plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2); plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2); yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3); xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)'); title('Perfil de velocidad tangencial del vórtice de Rankine'); leg1 = legend('Núcleo (\rho \le R)','Exterior (\rho > R)','\rho = R','Location','northeast'); set(leg1,'FontSize',9); %% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) L = 800; N = 25; [x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N)); rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6); v_xy = vtheta_fun(rho_xy); Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe); Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe); mask = rho_xy <= L; % dominio circular mask_in = mask & (rho_xy <= R); mask_out = mask & (rho_xy > R); figure; hold on; grid on; axis equal; quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r'); quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b'); theta = linspace(0,2*pi,200); plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3); xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (vista superior)'); leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast'); set(leg2,'FontSize',9);

3.1 Definición de parámetros y cálculo de la circulación

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

R = 250; 
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

Se fija un radio del núcleo del tornado [math]R = 250\,\text{m}[/math] y una velocidad tangencial medida en ese radio de [math]v_R = 90\,\text{m/s}[/math].

Usando la relación básica del vórtice potencial:

[math] \Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R) [/math]

se obtiene directamente la circulación total [math]\Gamma[/math], que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

3.2 Función de velocidad tangencial por tramos

vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
                    (rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

Se define una función anónima vtheta_fun(rho) que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

3.2.1 Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida

[math] v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho [/math]

3.2.2 Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional

[math] v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho} [/math]

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica (rho<=R).* ..., lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

3.3 Perfil radial de la velocidad tangencial

rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial. La figura resultante se obtiene con:

plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

• En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
• En azul aparece la región exterior, donde decrece como [math]1/\rho[/math].
• La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

3.4 Construcción del campo de velocidades en el plano XY

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);  
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

• meshgrid genera una malla sobre el cuadrado [math][-800,800]^2[/math].
• [math]\rho = \sqrt{x^2 + y^2}[/math] es la distancia al centro.
• rho_safe evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);

3.5 Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

[math] u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad u_y = v_\theta \frac{x}{\rho} [/math]

En Matlab se implementa como:

Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy =  v_xy .* (x ./ rho_safe);

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

3.6 Representación del campo vectorial

Los vectores del flujo se representan con quiver:

mask_in  = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy >  R;

quiver(x(mask_in),  y(mask_in),  Ux(mask_in),  Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

• Los vectores del núcleo ([math]\rho \le R[/math]) se muestran en rojo.
• Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

El resultado permite visualizar:

• Una región interior con rotación casi uniforme.
• Una región exterior donde la velocidad decrece con [math]1/\rho[/math].
• Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

4 Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos

4.1 Vórtices atmosféricos

Los vórtices atmosféricos son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los dust devils.

4.2 Tipos de vórtices atmosféricos

4.2.1 Tornados

Los tornados son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

• Escala: decenas a cientos de metros
• Intensidad: muy alta; vientos extremos
• Formación: supercélulas y fuerte cizalladura vertical

4.2.2 Huracanes (ciclones tropicales)

Los huracanes son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

• Escala: cientos a miles de kilómetros
• Intensidad: alta, aunque con vientos menores que en tornados
• Formación: océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
• Duración: días o semanas

4.2.3 Trombas marinas

Las trombas marinas son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

• Escala: decenas a cientos de metros
• Intensidad: moderada (≈ EF0–EF1)
• Formación: convección húmeda sobre agua cálida

4.2.4 Dust devils

Los dust devils son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

• Escala: pocos metros a decenas de metros
• Intensidad: baja (< 25 m/s)
• Formación: convección térmica sobre suelo caliente

4.2.5 Comparación de escalas e intensidades

4.3 Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott

4.3.1 Vórtice de Rankine

El vórtice de Rankine es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)

[math] v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho [/math]

Exterior de vórtice potencial (ρ > R)

[math] v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} [/math]

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

4.3.2 Vórtice de Burgers–Rott

El vórtice de Burgers–Rott es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

[math] v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right) [/math]

donde [math]\nu[/math] es la viscosidad cinemática y [math]t[/math] un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

4.3.3 Ventajas respecto al vórtice de Rankine

• Perfil de velocidades suave y continuo
• Representación realista de la difusión viscosa
• Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
• Coincide con el vórtice potencial en región exterior

5 Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad

5.1 Divergencia del campo de velocidades

El campo de velocidad del vórtice de Rankine es puramente tangencial:

[math] v_r = 0, \qquad v_\theta = v_\theta(r), \qquad v_z = 0 [/math]

La divergencia en coordenadas cilíndricas es:

[math] \nabla \cdot \vec v = \frac{1}{r}\frac{\partial (r v_r)}{\partial r} \;+\; \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} [/math]

Dado que:

[math] v_r = 0,\quad v_z = 0,\quad \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0 [/math]

entonces:

[math] \nabla \cdot \vec v = 0 [/math]

Un vórtice de Rankine idealizado no tiene fuentes ni sumideros de masa. El flujo es incompresible y solo rota alrededor del eje. La divergencia nula significa que el aire no se acumula ni se dispersa, simplemente gira alrededor del centro del vórtice.

5.2 Rotacional (vorticidad) del campo de velocidades

El rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo puramente tangencial es:

[math] (\nabla \times \vec v)_z = \frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\left( r\, v_\theta(r) \right) [/math]

Los otros componentes son nulos:

[math] (\nabla \times \vec v)_r = 0, \qquad (\nabla \times \vec v)_\theta = 0 [/math]

El perfil de velocidad es: [math] v_\theta(r)= \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^2}\,r, & r \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r \gt R. \end{cases} [/math]

5.2.1 Cálculo en cada región

5.2.1.1 Núcleo del vórtice (r ≤ R)

[math] r v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}, r^2 [/math]

[math] \frac{d}{dr}(r v_\theta) = \frac{\Gamma}{\pi R^2} r [/math] [math] (\nabla \times \vec v)_z = \frac{1}{r} \left( \frac{\Gamma}{\pi R^2} r \right) = \frac{\Gamma}{\pi R^2} [/math]

5.2.1.2 Región exterior (r > R)

[math] r v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi} [/math]

[math] \frac{d}{dr}(r v_\theta) = 0 [/math] [math] (\nabla \times \vec v)_z = 0 [/math]

5.2.2 Resultado final

[math] \nabla \times \vec v \;=\; \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{\pi R^2}\,\hat e_z, & r \le R, \\[6pt] 0, & r \gt R. \end{cases} [/math]

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Rotacional (vorticidad) del vórtice de Rankine en sección vertical clear; clc; close all; % Parámetros R_core = 250; % radio del núcleo [m] v_max = 90; % vel. tangencial máxima [m/s] Gamma = 2*pi*R_core*v_max; % Vorticidad teórica (solo componente z) omega_z_core = Gamma/(pi*R_core^2); % r <= R_core % Mallado en (rho,z) rho_vec = linspace(0, 1000, 300); z_vec = linspace(0, 2800, 200); [RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec); omega_z = zeros(size(RH)); omega_z(RH <= R_core) = omega_z_core; % constante en el núcleo, 0 fuera % FIGURA figure; contourf(rho_vec, z_vec, omega_z, 20, 'LineColor','none'); colormap turbo; cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega_z (s^{-1})'; hold on; % Frontera del núcleo plot([R_core R_core], [0 max(z_vec)], 'w--', 'LineWidth', 1.8); set(gca,'YDir','normal'); xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)'); title('Vorticidad \omega_z del vórtice de Rankine (sección vertical)'); axis([0 1000 0 2800]); grid on;

5.2.3 Interpretación física

El núcleo presenta vorticidad uniforme, como un sólido rígido en rotación. El exterior es un flujo irrotacional, típico de un vórtice potencial.

5.3 Magnitud de la vorticidad (campo escalar)

La magnitud de la vorticidad es simplemente el valor absoluto del componente vertical:

[math] |\omega| = |(\nabla \times \vec v)_z| [/math]

Por tanto:[math] |\nabla \times \vec v| \;=\; \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{\pi R^2}, & r \le R, \\[6pt] 0, & r \gt R. \end{cases} [/math]

La vorticidad está completamente concentrada en el núcleo del vórtice, como vemos en mapa de colores.

En el exterior el flujo gira pero no tiene vorticidad local, es decir, una partícula fluida no rota sobre sí misma.

El modelo separa claramente la región de rotación interna y el flujo exterior irrotacional.

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine % Parámetros del tornado EF4 R = 250; % radio del núcleo (m) vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s) Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s) % Dominio horizontal L = 800; % extensión máxima (m) N = 200; % puntos por dirección [x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N)); rho = sqrt(x.^2 + y.^2); % Rotacional analítico (solo componente vertical): % (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional %% FIGURA Rotacional figure; imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz); set(gca,'YDir','normal'); axis equal tight; colorbar; xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Rotacional del campo de velocidad'); hold on; theta = linspace(0,2*pi,300); plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);

6 Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante

6.1 Interpretación física (barca dentro del vórtice)

Consideremos una barca flotando en el vórtice.

6.1.1 Caso 1: r < R (interior del núcleo)

[math] |\omega| = \frac{\Gamma}{\pi R^2} \neq 0 [/math]

Interpretación:

El fluido rota como un cuerpo sólido.

Cada partícula gira sobre sí misma.

Una barca dentro del núcleo rotará sobre su eje, además de moverse en círculo.

6.1.2 Caso 2: r > R (región exterior)

Aquí:

[math] |\omega| = 0 [/math]

Interpretación:

El flujo es irrotacional.

Las partículas de fluido giran alrededor del centro, pero no rotan localmente.

Una barca no gira sobre sí misma, solo sigue una trayectoria circular.

6.1.3 Conclusión

El vórtice de Rankine representa un sistema donde la rotación real se concentra en el núcleo, mientras que el exterior reproduce el comportamiento ideal de un vórtice potencial.

7 Distribución vertical de la presión en el vórtice

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar) clear; clc; close all; % Parámetros R=250; vR=90; z0=2800; P0=920e2; Pinf=1013e2; rho=1.225; g=9.81; Gamma=2*pi*R*vR; v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r)); % Mallado y presión [x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200)); p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ... (x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z); % Gráfica figure; [~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20); set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal'); xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)'); title('Campo de presión sobre el sección vertical'); c = colorbar; c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ axis tight;

7.1 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación

7.2 Datos y constantes empleadas

Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

• Radio del núcleo: [math]R = 250\ \mathrm{m}[/math]
• Velocidad tangencial en [math]r = R[/math]: [math]v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}[/math]
• Presión mínima central: [math]P_0 = 920\ \mathrm{mbar}[/math]
• Altura del vórtice: [math]z_0 = 2800\ \mathrm{m}[/math]
• Densidad del aire: [math]\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}[/math]
• Gravedad: [math]g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}[/math]

Circulación: [math]\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}[/math]

Rotación sólida interior: [math]\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}[/math]

7.3 Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

[math] v_\theta(r)= \begin{cases} \Omega r, & r \le R,\\ \dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r \gt R. \end{cases} [/math]

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

[math] p(\rho,z)= \begin{cases} P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt] P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

[math] P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R) [/math]

Cálculo numérico: [math]\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Por tanto: [math]P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}[/math]

El término hidrostático hasta [math]z_0[/math] vale: [math]\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}[/math]

Interpretación de la figura: El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta [math]P_\infty[/math]. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

7.4 Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo

La caída pedida es:

[math] \Delta p = p(R^+,0) - p(0,0) [/math]

Dado que: [math] p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) [/math]

y [math] P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R) [/math]

Sustituyendo:

[math] p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) [/math]

Entonces:

[math] \Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar} [/math]

Comparación con: [math]P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Conclusión: Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y [math]R[/math], y entre [math]R[/math] y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

7.5 Diferencia de presión estándar [math]\Delta P = P_\infty - P_0[/math]

Modelo teórico:

[math]\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Datos atmosféricos estándar:

[math]\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}[/math]

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

7.5.1 ¿Es aceptable la discrepancia?

Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

• no considera variación de densidad con la altura,
• no incluye fricción ni capa límite,
• no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
• supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

8 Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4 clear; clc; close all; % Parámetros básicos R_core = 250; % radio núcleo [m] v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s] z_top = 2800; % altura máx [m] P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa] P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3] g = 9.81; % gravedad [m/s^2] % Vórtice de Rankine (velocidad tangencial) Gamma = 2*pi*R_core*v_max; vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ... (r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r)); % Mallado (rho,z) rho_vec = linspace(0,1000,200); z_vec = linspace(0,z_top,120); [RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec); V = vtheta(RH); % Presión p(rho,z) p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ... (RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ); p_mbar = p/100; % Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas dr = rho_vec(2) - rho_vec(1); dz = z_vec(2) - z_vec(1);

dp_drho = zeros(size(p)); 
dp_dz   = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1)       = (p(:,2)     - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end)     = (p(:,end)   - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:)       = (p(2,:)     - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:)     = (p(end,:)   - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho;   % radial
W = -dp_dz;     % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q  = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q  = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q  = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF;  W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);

8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo

8.1 El gradiente de presión y su representación

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el gradiente de presión es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

Fuerza por gradiente de presión → –∇p

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el gradiente de presión horizontal domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen: El gradiente de presión apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

8.2 Las direcciones predominantes del campo de fuerzas

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

Fuerza debida al gradiente de presión

Fuerza centrífuga (importante en el marco en rotación)

Fuerza de Coriolis (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la fuerza por gradiente de presión, con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

Horizontales hacia el eje del vórtice

Verticales ascendentes, producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

8.3 Las superficies isobáricas y su interpretación física

para graficas

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% TORNADO EF4: ISOBARAS 2D (PLANTA) + SUPERFICIES ISOBÁRICAS 3D clear; clc; close all; %% Parámetros del modelo (vórtice de Rankine, tornado EF4) R_core = 250; % radio núcleo [m] v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s] P_c = 920e2; % presión núcleo [Pa] P_inf = 1013e2; % presión ambiente [Pa] rho = 1.225; % densidad aire [kg/m^3] g = 9.81; % gravedad [m/s^2] Gamma = 2*pi*R_core*v_max; vtheta = @(r) (r<=R_core).*(Gamma./(2*pi*R_core^2).*r) + ... (r> R_core).*(Gamma./(2*pi*r)); % Niveles isobáricos a representar (en mbar) niveles = [950 970 990 1000]; %figura 1 z0 = 0; % altura de la sección horizontal [m] % Mallado horizontal x = linspace(-600,600,251); y = linspace(-600,600,251); [X2D,Y2D] = meshgrid(x,y); R2D = sqrt(X2D.^2 + Y2D.^2); % Presión en ese plano (en mbar) V2D = vtheta(R2D); p2D = (R2D<=R_core).*( P_c + 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ) + ... (R2D> R_core).*( P_inf - 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ); p2D = p2D/100; % Pa -> mbar figure(1); contourf(x,y,p2D,40,'LineColor','none'); hold on; colormap turbo; cb1 = colorbar; cb1.Label.String = 'Presión (mbar)'; % Isobaras y etiquetas [C,h] = contour(x,y,p2D,niveles,'k','LineWidth',1.6); clabel(C,h,'FontSize',9,'FontWeight','bold','Color','k'); % Círculo del núcleo th = linspace(0,2*pi,300); plot(R_core*cos(th),R_core*sin(th),'w--','LineWidth',1.8); axis equal; grid on; xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Vista superior isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar'); %figura 2 % Mallado 3D (x,y,z) x3 = linspace(-600,600,60); y3 = linspace(-600,600,60); z3 = linspace(0,1000,40); [X3,Y3,Z3] = meshgrid(x3,y3,z3); R3 = sqrt(X3.^2 + Y3.^2); % Campo de presión 3D en Pa -> mbar V3 = vtheta(R3); p3 = (R3<=R_core).*( P_c + 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ) + ... (R3> R_core).*( P_inf - 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ); p3 = p3/100; % mbar figure(2); hold on; col = lines(numel(niveles)); for k = 1:numel(niveles) iso_val = niveles(k); s = isosurface(X3,Y3,Z3,p3,iso_val); if ~isempty(s.vertices) pch = patch(s); set(pch,'FaceColor',col(k,:), ... 'EdgeColor','none', ... 'FaceAlpha',0.4); end end % Eje del tornado plot3(0,0,[min(z3) max(z3)],'k--','LineWidth',1.5); axis equal; xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)'); grid on; view(35,25); camlight; lighting gouraud; title('Superficies isobáricas en dimension del tornado EF4 (p = 950, 970, 990, 1000 mbar)'); legend(arrayfun(@(v) sprintf('p = %d mbar',v),niveles,'UniformOutput',false), ... 'Location','northeastoutside');

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

950 mbar

970 mbar

990 mbar

1000 mbar

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un gradiente muy intenso, asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un núcleo de baja presión, responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

9 Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural

9.1 Fuerza neta sobre una fachada situada a [math]\rho = \tfrac{3}{4}R[/math]

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

[math] p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) [/math]

donde la velocidad tangencial se modela como:

[math] v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. [/math]

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

[math] v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, [/math]

así:

[math] \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. [/math]

La posición requerida es:

[math] \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. [/math]

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

[math] v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. [/math]

El descenso de presión es:

[math] \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. [/math]

La fuerza sobre la fachada ([math]A=50\ \mathrm{m^2}[/math]) vale:

[math] F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. [/math]

9.2 Conversión a toneladas-fuerza

Conversión utilizada:

[math]1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.[/math]

Fuerza en kN:

[math] 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. [/math]

Conversión final:

[math] F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. [/math]

Por tanto:

[math]\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}[/math]

9.3 Implicaciones sobre la destrucción estructural

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

10 Link Poster cientifico

https://drive.google.com/file/d/1QkUv0Vdj5VCUMuZIgAGsVX22CTJiZOPT/view?usp=sharing

11 Bibliografía

Modelos de vórtices: Rankine, Burgers, dinámica rotacional

- Rankine vortex. (2024). In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine_vortex

- Burgers vortex. (2024). In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Burgers_vortex

Conceptos fundamentales: rotacional, vorticidad, divergencia, circulación

- Vorticity. (2024). In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Vorticity

Vórtices atmosféricos: tornados, huracanes, dust devils, trombas

- National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA). (2024). Tornado Basics. https://www.noaa.gov

- American Meteorological Society. (2024). Glossary of Meteorology: Tornado. https://glossary.ametsoc.org/wiki/Tornado

- Dust devil. (2024). In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Dust_devil

- Waterspout. (2024). In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Waterspout