Revisión actual del 23:12 6 dic 2025

En este trabajo analizaremos La Catenaria y las distintas propiedades matemáticas y físicas que presenta dentro del ámbito de la ingeniería civil. Para ello utilizaremos la herramienta MATLAB, con la que iremos estudiando cada uno de los aspectos de la curva y generaremos las gráficas necesarias para visualizar los resultados con la mayor claridad posible. En cada apartado se incluirá una pequeña explicación teórica junto con las fórmulas empleadas, detallando los pasos de los cálculos para que quede claro de dónde salen y cómo se aplican.

• La expresión de la Catenaria en cartesianas, viene dada por la siguiente expresión:

1 Dibujo de la curva

Además se incluye el código de MATLAB empleado para su obtención:

Catenaria

n = 1000;
 % Parametrización de la curva dada
 t = linspace(-1, 1, n);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
 % Generar los puntos de la curva
 figure;
 plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','g'); 
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 title('Catenaria', 'Color','r');
 grid on;

2 Vectores velocidad y aceleración

El vector velocidad es el vector tangente a la curva en el punto determinado por el parámetro [math] t[/math] , describe la dirección que adopta la curva en ese punto. La aceleración describe el cambio de magnitud y dirección que experimenta el vector velocidad al cambiar el parámetro [math] t[/math] . Como estos vectores representan una variación se obtienen mediante la derivación de la parametrización de la curva.

2.1 Gráfica:

Catenaria y vectores velocidad y aceleración

% Parametrización
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Vectores velocidad y aceleración 
vx = ones(size(t)); 
vy = sinh(t/A);
ax = zeros(size(t));
ay = cosh(t/A)/A;
%Grafica
figure;
hold on; 
grid on;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2);
quiver(x,y,vx,vy,0,'r'); 
quiver(x,y,ax,ay,0,'g');
axis equal
hold off;
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
xlabel('x'); 
ylabel('y');
legend('Catenaria','Velocidad','Aceleración')

3 Longitud de la Curva

3.1 ¿Cómo calcular la longitud?

Para calcular la longitud de la curva se toma el campo escalar constante: [math]f=1[/math]

Luego, la integral de línea se define como: [math]\int_\gamma f \,ds=\int_{t_1 }^{t_2}f\left(\overline{\gamma}(t)\right)\left|\overline{\gamma}'(t)\right|dt[/math].

Así, para su cálculo necesitaremos también el vector velocidad, calculado con anterioridad en el apartado 1: [math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{A})) [/math]

También, necesitaremos su módulo: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)}[/math]

Observamos que se puede utilizar la identidad hiperbólica: [math] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\to \cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]

Así, el módulo del vector velocidad nos queda: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right) [/math]

El intervalo dado es el siguiente: [math]t\in (t_1,t_2)=t\in(-1,1)[/math] y [math] A=3[/math]

De este modo, ya conocemos todos los datos para el cálculo: [math] \int_{-1}^{1}\left| \overline{\gamma}'(t) \right|dt=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \cosh\left(\frac{t}{3}\right) \, dt \to 2 \int_{0}^{1} \cosh\left(\frac{t}{3}\right) \, dt = 2*3 \sinh\left(\frac{t}{3}\right) \bigg|_0^1 = 6 \sinh\left(\frac{1}{3}\right) \approx 2.037[/math]

4 Vectores tangente y normal

Representación Vectores tangente y normal en catenaria

%% Apartado 4: Vectores tangente y normal sobre la catenaria (A = 3)
clear; clc;

A = 3;
t = linspace(-1,1,40);   % pocos puntos → flechas limpias

% Catenaria
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Tangente unitario
Tx = sech(t/A);
Ty = tanh(t/A);

% Normal unitario
Nx = -Ty;
Ny =  Tx;

% GRÁFICA
figure; hold on; grid on; grid minor;

% Catenaria (verde claro)
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);

% Tangente (rojo)
quiver(x,y,Tx,Ty,0.35,'Color',[1 0 0],'LineWidth',1.3);

% Normal (verde oscuro)
quiver(x,y,Nx,Ny,0.35,'Color',[0 0.5 0],'LineWidth',1.3);

% Ejes centrados
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

axis equal
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Vectores tangente y normal en la Catenaria');

legend({'Catenaria (verde claro)','Vector tangente (rojo)','Vector normal (verde oscuro)'}, ...
        'Location','best');

box on;

4.1 Vector tangente

Para obtener el vector tangente hemos derivado la parametrización [math] γ(t)[/math] y normalizado ese vector. De esta forma queda un vector unitario que indica la dirección en la que avanza la curva en cada punto.

• El vector tangente de la curva se define como:

[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{||γ'(t)||} =senh(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} =senh(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]

4.2 Vector normal

Para obtener el vector normal unitario sabemos que debe ser perpendicular al vector tangente y tener magnitud uno.
Si [math] t(t)= (tx(t), ty(t))[/math] , un vector perpendicular se obtiene intercambiando sus componentes y cambiando el signo de una de ellas.

• El vector normal de la curva se define como:

5 Curvatura y gráfica

Partiendo del anterior valor de curvatura, se puede aplicar en un código para hallar la curvatura gráficamente en MATLAB:

Curvatura Catenaria

n=40;
  t = linspace (-1, 1,n);
  kappa= 1./( cosh(t/3).^2);
  figure;
  plot (t,kappa,'LineWidth',2,'Color','r');
  axis equal
  title ('Curvatura Catenaria.','Color','r');
  ax_gca=gca;
  ax_gca.XAxisLocation='origin';
  ax_gca.YAxisLocation='origin';
  xlabel('t');
  ylabel('kappa(t)');
  grid on;

6 Circunferencia Osculatriz

Teniendo la curvatura [math] κ(t)[/math], se define el radio de la circunferencia osculatriz en la parametrización como [math]R(t)=1/|κ(t)|[/math], para el valor específico de [math]t=-0.5[/math]:

Para determinar el centro de la circunferencia, se determina para cada una de las dos coordenadas con la fórmula [math]Q(t) = γ(t) + (\frac{1}{κ(t)})n(t)[/math] y sabiendo que [math](\frac{1}{κ(-0.5)})=3.08413[/math]:

6.1 Gráfica

n = 20;
t = linspace(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Dibujar la catenaria 
figure;
hold on; 
grid on;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 3);
axis equal
ax_gca = gca;
ax_gca.XAxisLocation = 'origin';
ax_gca.YAxisLocation = 'origin';
xlabel('x'); 
ylabel('y');
% Punto P
tP = -0.5;
xP = tP;
yP = A*cosh(tP/A);
% Derivadas
dx = 1;
dy = sinh(tP/A);
d2x = 0;
d2y = cosh(tP/A)/A;
% Curvatura
k = abs((dx*d2y - dy*d2x)/(dx^2 + dy^2)^(3/2));
R = 1/k;
% Vector normal unitario
Tx = sech(tP/A);
Ty=tanh(tP/A);
Nx=-Ty;
Ny=Tx;
% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = xP + R*Nx;
Cy = yP + R*Ny;
%Dibujar circunferencia osculatriz
theta = linspace(0,2*pi,100);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);
plot(xc, yc, 'b--', 'LineWidth', 1.5)
plot(xP, yP, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k') % marcar punto P
legend('Catenaria','Circ. osculatriz','Punto P')
hold off;

7 Información y Fenómeno qué describe

7.1 Fenómeno

La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. Además, fue estudiada y resuelta en 1691 por matemáticos como Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens.

Así, la catenaria describe el fenómeno físico de una cadena, cuerda o cable flexible de densidad uniforme que cuelga libremente, sostenido por sus dos extremos y sometido únicamente a la fuerza de la gravedad. Es la forma de equilibrio que adopta naturalmente un material flexible bajo su propio peso.

7.2 Relevancia en ingeniería civil

La catenaria se puede apreciar en:

Los cables principales de un puente colgante: la catenaria distribuye eficientemente el peso del tablero y las cargas hacia las torres de soporte.

Líneas de transmisión eléctrica: Los cables de las líneas de alta tensión cuelgan en forma de catenaria entre torres de soporte.

Arcos y Bóvedas: Un arco con forma de catenaria invertida soporta cargas de compresión pura bajo su propio peso, lo que resulta en una estructura inherentemente estable y eficiente.

8 Estructuras Civiles donde se usa la Catenaria

Catenaria Invertida: Arco Gateway, St.Louis

Puente Akashi Kaikyō, Japón

Catenaria ferroviaria

Líneas de alta tensión

Estadio Olímpico de Múnich

9 Similitud Parábola

A primera vista, la catenaria y la parábola parecen casi indiferenciables. Durante mucho tiempo, genios como Galileo pensaron que eran la misma curva, hasta que, Christiaan Huygens, demostró que la catenaria seguía una ecuación distinta, basada en el coseno hiperbólico. Más tarde, Johann Bernoulli y Leibniz confirmaron esta distinción, poniendo fin a dicha confusión histórica. La catenaria surge del equilibrio natural de un cable suspendido bajo su propio peso, mientras que la parábola aparece en situaciones con fuerzas distribuidas uniformemente o en trayectorias de objetos sometidos a aceleración constante.

Comparación Catenaria y Parábola

% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-10, 10, 500);

% Ecuaciones
y_catenaria = A * cosh(x / A);
y_parabola  = A + (x.^2) / A;

% Gráfico
figure;
plot(x, y_catenaria, 'm-', 'LineWidth', 2.3);   % Catenaria en magenta
hold on;
plot(x, y_parabola, 'c--', 'LineWidth', 2.3);   % Parábola en celeste
hold off;

% Ajustes del gráfico 
title('Catenaria vs Parábola', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');
xlabel('x', 'FontSize', 12);
ylabel('y', 'FontSize', 12);

legend({'Catenaria: y = A cosh(x/A)', 'Parábola: y = A + x^2/A'}, ...
       'Location', 'northoutside', 'Orientation', 'horizontal', ...
       'FontSize', 11);

grid on;
set(gca, 'LineWidth', 1.2, 'FontSize', 11, 'Box', 'off');
axis tight;

Cerca del vértice, su parecido es tal que engaña a la vista, pero se diferencian claramente en la curvatura y la pendiente: la catenaria se curva más en el centro y sus extremos se acercan a la vertical, mientras que la parábola crece de forma más gradual y lineal.

10 Superficie de revolución asociada a la curva

Expresando en cilíndricas el punto cualquiera: [math]𝑥_1(𝑡),𝑥_2(𝑡),𝑥_3(𝑡)=(0,𝐴cosh (\frac{t}{A}),𝑡)[/math], el radio de revolución es [math]r(t)=\sqrt{0^2+(Acosh(t/A))^2}=Acosh(t/A)[/math] al que llamamos R en el código, este giro se hará respecto al eje vertical [math]𝑥_1 = 𝑥_2 = 0[/math], o sea [math]𝑥_3[/math], también se graficará la curva generatriz girada 90 grados.

A=3;
t=linspace(-1, 1, 300);        % parámetro t
theta = linspace(0, 2*pi, 120);  % ángulo de revolución
%Curva planar original (2D) 
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Rotación de 90 
%Aplicamos la rotación directamente: (t, y, 0) -> (0, y, t)
gammarot = [zeros(size(t)); y; x];   % (0, A cosh(t/A), t)
%Superficie de revolución
[T,TH] = meshgrid(t, theta);
R=A*cosh(T./A);     % radio = A cosh(t/A)
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=T;
%Figura compuesta
figure
% superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
% curva rotada (perfil que genera la superficie)
plot3(gammarot(1,:), gammarot(2,:), gammarot(3,:), 'r-', 'LineWidth', 2);
% marcos y etiquetas
axis equal; 
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de revolucion (A=3)');
legend('Superficie de revolucion','Curva generatriz');

Algunos ejemplos de esta superficie en la ingeniería son su uso para la construcción de bóvedas debido a su eficiencia autoportante, optimizando material ya que el catenoide cuenta con la característica de representar el área mínima posible entre todas las superficies que podrían unir dos circunferencias

11 Distribución de la densidad y masa de la superficie de revolución

La densidad de la superficie de revolución viene dada por [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{x_{3}^2}{1+x_{1}^2+x_{2}^2}[/math]. Para determinar cómo se distribuye la densidad en ella, se utiliza la parametrización del catenoide:

Graficando como se distribuye la densidad variando t: [math]γ(t)=\frac{t^2}{1+A^2cosh^2(\frac{t}{A})}[/math]

Una vez sustituida la parametrización del catenoide, resulta [math]f(t,θ)=\frac{t^2}{1+A^2cosh^2(\frac{t}{A})}[/math], donde [math]t\in(-1,1)[/math] y [math]θ\in(0,2π)[/math], y en este caso con A=3. Para hallar la masa de la superficie, se debe resolver la integral [math] M=∬_SfdS [/math], la cual expresa la densidad dada a lo largo de la superficie.

Por último, sustituyendo todos los valores obtenidos e intervalos de integración, resulta la integral:

Dado que el cálculo de la integral de manera teórica es complejo, vamos a obtener su valor en MATLAB mediante el método del rectángulo.

11.1 Código de Matlab para el cálculo de la masa

% Método del rectángulo para el cálculo de la masa
n=2000; %Poner un número grande para mayor precisión
A=3;              
a=-1; %límite inferior de la integral
b=1;  %límite superior de la integral
%Mallado:
t=linspace(a,b,n);  
sum_area = 0;       
%Acumulador de áreas:
for i=1:(n-1)
    b=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo
    cosh_2=cosh(t(i)/A)^2; %lo separo 
    f=(t(i)^2*cosh_2)/(1+9*cosh_2); %f(t)=t^2*cosh^2(t/3)/(1+9*cosh^2(t/3))
    %Área del rectángulo:
    area=b*f;
    sum_area=sum_area+area;
end
%Masa resultante:
M=6*pi*sum_area; %saqué 6*pi de la integral
fprintf('La masa es %.5f\n',n,M); %da la masa con 5 decimales

11.2 Resultado final

12 Bibliografía

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Catenaria.pdf

www.ingenieros-civiles.es

www2.caminos.upm.es

https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

13 PDF del Póster

Archivo:La Catenaria G62.pdf