Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 24)»

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{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) |  [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, <br/>Sergio Cornide Chinchón, <br/>Nicolas Fernandez Vieira, <br/>Pablo Alonso Castañón, <br/>Luis Fernandez Gonzalez. }}
 
{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) |  [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, <br/>Sergio Cornide Chinchón, <br/>Nicolas Fernandez Vieira, <br/>Pablo Alonso Castañón, <br/>Luis Fernandez Gonzalez. }}
  
−
[[Categoría:TC24/25]]
 
  
 
==Introducción.==
 
==Introducción.==
Línea 15: Línea 14:
 
<center>
 
<center>
 
<math>
 
<math>
−
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left (  \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ),  t\in (0,5)
+
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left (  \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ),  t\in (0,4)
 
</math>
 
</math>
 
</center>
 
</center>
 
<br>
 
<br>
−
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
+
La representación gráfica de la curva:
 
<br>
 
<br>
−
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
+
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
clear; clc; clf;
 
clear; clc; clf;
 
% Definimos los parámetros
 
% Definimos los parámetros
−
  L = 5;       
+
  L = 4;       
 
  n = 500;   
 
  n = 500;   
 
  t = linspace(0, L, n);   
 
  t = linspace(0, L, n);   
Línea 48: Línea 47:
 
% Representamos gráficamente la curva
 
% Representamos gráficamente la curva
 
figure;
 
figure;
−
plot(x, y);
+
plot(x, y,'red');
 
axis equal;
 
axis equal;
−
xlabel('eje x');
+
xlabel('EJE X');
−
ylabel('eje y');
+
ylabel('EJE Y');
 
title('Curva de la clotoide');
 
title('Curva de la clotoide');
 +
colorbar
 +
legend('clotoide')
 
grid on;
 
grid on;
 
}}
 
}}
 +
 +
<br>
  
 
==Velocidad y aceleración.==
 
==Velocidad y aceleración.==
−
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
+
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
 
<center>
 
<center>
 
<math>
 
<math>
Línea 70: Línea 73:
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
<br>
 
<br>
−
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
+
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
 
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
Línea 83: Línea 86:
  
 
% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
 
% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
−
for i = 1:5:n  
+
for i = 1:4:500  
 
     % Vectores de velocidad
 
     % Vectores de velocidad
 
     quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
 
     quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
Línea 94: Línea 97:
 
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
 
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
 +
grid on
 
hold off;
 
hold off;
 
}}
 
}}
 +
 +
<br>
 +
 
==Longitud de la curva.==
 
==Longitud de la curva.==
 
<br>
 
<br>
−
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
+
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<br>
 
<br>
−
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
+
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 
<br>
 
<br>
−
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
+
 
 
<center><math>
 
<center><math>
−
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
+
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
 
</math></center>
 
</math></center>
 
<br>
 
<br>
−
Cuyo módulo es:
+
De módulo:
 
<center><math>
 
<center><math>
 
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
 
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
 
</math></center>
 
</math></center>
 
<br>
 
<br>
−
Por tanto la longitud es:
+
Con esto, hallamos su longitud:
 
<br>
 
<br>
 
<center><math>  
 
<center><math>  
−
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
+
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
 
</math></center>
 
</math></center>
 
<br>
 
<br>
 +
 
==Vectores tangente y normal.==
 
==Vectores tangente y normal.==
 
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
 
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
Línea 129: Línea 137:
 
<br>
 
<br>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
−
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
+
<br>
 +
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
−
 
 
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)  
 
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)  
 
tx = cos(t.^2/2);  
 
tx = cos(t.^2/2);  
Línea 143: Línea 151:
  
 
% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
 
% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
−
for i = 1:5:n  
+
for i = 1:4:500  
 
     % Vector tangente
 
     % Vector tangente
 
     quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
 
     quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
Línea 153: Línea 161:
 
% Etiquetas y configuración de la gráfica
 
% Etiquetas y configuración de la gráfica
 
title('Curva, Vectores tangente y normal');
 
title('Curva, Vectores tangente y normal');
−
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
+
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
 +
grid on
 
hold off;
 
hold off;
 
}}
 
}}
 +
 +
<br>
 +
 
==Curvatura k(t).==
 
==Curvatura k(t).==
 
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
 
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
Línea 164: Línea 176:
 
<br>
 
<br>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
−
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
+
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
% Definimos el parámetro t
 
% Definimos el parámetro t
−
  t=linspace(0,5,50);
+
  t=linspace(0,4,50);
 
% Definimos la curvatura k(t)
 
% Definimos la curvatura k(t)
 
  k=t;
 
  k=t;
 
% Representamos la gráfica de la curvatura
 
% Representamos la gráfica de la curvatura
 
  figure;
 
  figure;
−
  plot(k,t);
+
  plot(k,t,'green');
 
  title('Curvatura');
 
  title('Curvatura');
 
  xlabel('Eje x');
 
  xlabel('Eje x');
 
  ylabel('Eje y');
 
  ylabel('Eje y');
 
}}
 
}}
 +
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 +
 +
== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
 +
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
<br>
 
<br>
−
<br>
+
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
−
<br>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
==Circunferencia osculatriz.==
+
−
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
+
−
<br>
+
−
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
+
 
<br>
 
<br>
 
<center>
 
<center>
Línea 196: Línea 205:
 
<center>
 
<center>
 
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
 
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
 +
</center>
 +
<br>
 +
<center>
 +
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
 
</center>
 
</center>
 
<br>
 
<br>
Línea 201: Línea 214:
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
 
<center>
 
<center>
−
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
+
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
−
</center>
+
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\
−
<center>
+
−
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
+
−
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\
+
  
−
Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})
+
Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})
  
 
\end{matrix}\right.</math></center>
 
\end{matrix}\right.</math></center>
 
<br>
 
<br>
−
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
+
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
−
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
+
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
−
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
+
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
−
X1=integral(f1,0,2);
+
X1 = integral(f1,0,1.5);
−
Y1=integral(f2,0,2);
+
Y1 = integral(f2,0,1.5);
  
−
%Definimos el centro de la circunferencia
+
% Radio de la circunferencia osculatriz
−
Qx=X1-(sin(2))/2;
+
R = 1/1.5;
−
Qy=Y1+(cos(2))/2;
+
−
theta=linspace(0,2*pi,n);
+
  
−
%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
+
% Centro de la circunferencia osculatriz
−
R=1/2;
+
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
 +
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
 +
theta = linspace(0,2*pi,500);
  
−
%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
+
% Parametrización de la circunferencia
−
Cx=Qx+R.*cos(theta);
+
Cx = Qx + R*cos(theta);
−
Cy=Qy+R.*sin(theta);
+
Cy = Qy + R*sin(theta);
  
−
%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
+
% Representación
 
hold on
 
hold on
−
plot(x,y,'r')
+
% Clotoide
−
plot(Cx,Cy,'b')
+
plot(x,y,'r')    
−
title('Curva y circunferencia osculatriz')
+
% Circunferencia osculatriz
 +
plot(Cx,Cy,'g')  
 
axis equal
 
axis equal
 
xlabel('Eje x')
 
xlabel('Eje x')
 
ylabel('Eje y')
 
ylabel('Eje y')
 +
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
 
hold off
 
hold off
 
}}
 
}}
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
 
==Propiedades para la ingeniería.==
 
==Propiedades para la ingeniería.==
−
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.
+
<br>
 +
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.
  
−
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.
+
Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.
  
−
Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.
+
<br>
−
 
+
<br>
−
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
+
<br>
−
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' <br />]]
+
<br>
−
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' <br />]]
+
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
−
<br />
+
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
−
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' <br />]]
+
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
−
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' <br />]]
+
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 
<br>
 
<br>
  
−
==Superficie Reglada.==
+
==Qué fenómeno describe.==
−
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:
+
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
 +
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta,  y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.
  
−
<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
−
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
 
<br>
 
<br>
−
1) Se parametriza la curva segun v:
 
 
<br>
 
<br>
−
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
 
<br>
 
<br>
−
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
+
<br>
−
<br/>
+
−
<br/>
+
−
<center>
+
−
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
+
−
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
+
−
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
+
−
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
+
−
</center>
+
−
<br/>
+
−
<br/>
+
−
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>
+
  
−
3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :
+
==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==
  
−
<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
+
La parametrización en coordenadas cartesianas es:
−
<br/>
+
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>
−
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
+
 
−
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
+
<br>
 +
 
 +
Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
 +
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 +
<br>
 +
<br>
 +
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
 +
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 +
<br>
 +
<br>
 +
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 +
<br>
 +
<br>
 +
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 +
<br>
 +
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 +
<br>
 +
<br>
 +
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 +
<br>
 +
<br>
 +
4.Representación con matlab:
 +
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
clear; clc; clf;
 
clear; clc; clf;
−
%Definimos los parámetros
+
%Definimos los parámetros u y v
 
u=(0:0.01:1);
 
u=(0:0.01:1);
 
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
 
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
 
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
 
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
  
−
%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
+
%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas
 +
 
 
  r=MV+MU;
 
  r=MV+MU;
 
  th=MV;
 
  th=MV;
Línea 308: Línea 338:
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
−
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:
 
  
−
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' <br />]]
+
==Calculo de la masa de la hélice cónica.==
−
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' <br />]]
+
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<br>
 
<br>
−
 
+
<center>
−
==Masa de la superficie reglada.==
+
<math>
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Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
+
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
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</center>
 +
para calcular la masa usaremos la expresión
 
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
 
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
−
 
+
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>  
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Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>  
+
 
<center><math>
 
<center><math>
 
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
 
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
 
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<center><math>
−
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
+
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
 
</math></center>
 
</math></center>
 
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
 
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
 
<center><math>
 
<center><math>
−
  \phi '_u\times\phi '_v  = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
+
  \phi '_u\times\phi '_v  = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
 
</math></center>
 
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
 
Cuyo módulo es:
Línea 335: Línea 365:
 
A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
 
A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
 
<center><math>
 
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−
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
+
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
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+
 
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
 
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
 
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−
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
+
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
 
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Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
 
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
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clear; clc;
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clear;clc
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% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
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% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
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n=100;
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% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
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h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
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% Definición de la función a integrar f(u, v)
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fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
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% Definimos el mallado
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% Definición de los límites de integración
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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% Cálculo de la integral doble
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Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
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% Mostrar el resultado
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fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
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% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
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==BIBLIOGRAFÍA==
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area=2*2/(n^2);
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https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
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v_acumulado=0;
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for i=1:n
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https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
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        v_prisma=area*alt;
+
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        v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
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https://blog.structuralia.com/clotoide
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    end
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end
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https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
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int=v_acumulado;
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https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
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https://gemini.google.com/app
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fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
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Revisión actual del 11:35 10 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título La Clotoide (Grupo 24)
Asignatura Teoría de campos
Curso 2025-26
Autores Alvaro de la Rosa Salamanca,
Sergio Cornide Chinchón,
Nicolas Fernandez Vieira,
Pablo Alonso Castañón,
Luis Fernandez Gonzalez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introducción.

De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]


La representación gráfica de la curva:

Figura 1: Clotoide.
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 4;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;



3 Velocidad y aceleración.

Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;



4 Longitud de la curva.


Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) [/math]


[math] \vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


De módulo:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]


Con esto, hallamos su longitud:

[math] L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4 [/math]


5 Vectores tangente y normal.

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

[math]\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1} [/math]


[math]\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}} [/math]


Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;



6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

[math] k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t [/math]


La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura.
% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t,'green');
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');






7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dicho esto y dado P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}[/math]

[math]Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)[/math]


[math]R(1.5)=\frac{1}{1.5}[/math]



Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

[math]Q(1.5) = \left\{\begin{matrix} Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\ Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2}) \end{matrix}\right.[/math]


Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')     
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')    
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off





8 Propiedades para la ingeniería.


Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.





9 Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.

Dragon Khan.
Salida 11; A-6 direccion M-40.
Circuito de Silverstone.





10 Qué fenómeno describe.

La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas. En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.





11 Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).

La parametrización en coordenadas cartesianas es:

[math] 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). [/math]


Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:

[math] 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} [/math]



2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):

[math] 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} [/math]


3.Sustituir todos los valores en la formula:

[math] \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} [/math]



4.Representación con matlab:

Figura 6:Helicode cónico.
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;



12 Calculo de la masa de la hélice cónica.

Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion

[math] f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}[/math]

para calcular la masa usaremos la expresión

[math] Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv[/math]

En primer lugar calcularemos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math]

[math] \phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}[/math]
[math] \phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k} [/math]

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz

[math] \phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k} [/math]

Cuyo módulo es:

[math] |\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2} [/math]

A continuacion se calcula [math] f(\phi(u,v))[/math]

[math] f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}[/math]

Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa

[math] Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025 [/math]

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab: 

clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);





13 BIBLIOGRAFÍA

https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
https://blog.structuralia.com/clotoide
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
https://gemini.google.com/app

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