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| − | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
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| − | == Problema ==
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| − | == Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet ==
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| − | === Planteamiento del Problema ===
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| − | Necesitamos resolver el siguiente sistema:
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| − | * $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
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| − | * $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
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| − | * $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
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| − | * $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$
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| − | === Solución Estacionaria ===
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| − | La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:
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| − | * $v''(x) = 0$
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| − | * $v(0) = 1$
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| − | * $v(1) = 10$
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| − | Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$
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| − | De las condiciones de contorno:
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| − | * $v(0) = b = 1$
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| − | * $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$
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| − | Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$
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| − | === Cambio de Variable ===
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| − | Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:
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| − | * $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
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| − | * $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
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| − | * $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
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| − | * $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$
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| − | === Solución por Separación de Variables ===
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| − | Resolvemos por separación de variables, obteniendo:
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| − | $w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
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| − | Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$
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| − | Por tanto, la solución completa es:
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| − | $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$
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