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| − | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
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| − | == Problema ==
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| − | Se tiene la ecuación de difusión:
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| − | \[
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| − | u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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| − | \]
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| − | con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:
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| − | \[
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| − | u(0,t) = 1, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(1,t) = 10, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | == Cálculo de la solución estacionaria ==
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| − | Para encontrar la solución estacionaria \( v(x) \), se asume que cuando \( t \to \infty \), la solución \( u(x,t) \) se estabiliza y tiende a una función \( v(x) \) que satisface:
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| − | \[
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| − | v''(x) = 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | v(0) = 1
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| − | \]
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| − | \[
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| − | v(1) = 10
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| − | \]
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| − | Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos \( v(x) = ax + b \). Sustituyendo las condiciones de frontera:
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| − | * \( v(0) = b = 1 \)
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| − | * \( v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 \)
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| − | Por lo tanto, la solución estacionaria es:
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| − | \[
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| − | v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.
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| − | == Resolviendo la ecuación homogénea ==
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| − | Se introduce el cambio de variable:
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| − | \[
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| − | w(x,t) = u(x,t) - v(x)
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| − | \]
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| − | De esta manera, \( w(x,t) \) satisface la ecuación de calor homogénea:
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| − | \[
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| − | w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(0,t) = 0, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(1,t) = 0, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | == Resolviendo por separación de variables ==
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| − | Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para \( w(x,t) \):
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| − | \[
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| − | w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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| − | \]
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| − | Donde los coeficientes de Fourier son:
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| − | \[
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| − | B_n = \frac{18}{n\pi}
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| − | \]
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| − | Finalmente, la solución general para \( u(x,t) \) es:
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| − | \[
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| − | u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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| − | \]
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| − | == Nota sobre la función inicial ==
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| − | Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:
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| − | \[
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| − | \tilde{g}(x) =
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| − | \begin{cases}
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| − | -9x + 9, & x \in (0,1) \\
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| − | -9x - 9, & x \in (-1,0)
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| − | \end{cases}
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| − | \]
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| − | Dado que \( \tilde{g}(x) \) es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en \( x=0 \), asegurando la convergencia de la solución.
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| − | Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:
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| − | \[
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| − | u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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| − | \]
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| − | Este resultado describe la evolución de la temperatura a lo largo de la barra en función del tiempo.
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