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| − | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
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| − | == Problema ==
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| − | Se obtiene el sistema:
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| − | \[
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| − | u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(0,t) = 1, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(1,t) = 10, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | == Solución Estacionaria ==
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| − | Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( u(x,t) \to v(x) \) y \( v \) será solución de:
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| − | \[
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| − | v''(x) = 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | v(0) = 1
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| − | \]
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| − | \[
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| − | v(1) = 10
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| − | \]
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| − | Resolviendo:
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| − | \[
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| − | v(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R}
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| − | \]
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| − | Dado que \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), obtenemos \( a = 9 \), por lo que:
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| − | \[
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| − | v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | Graficamos esta solución.
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| − |
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| − | == Resolviendo ==
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| − | Se realiza el cambio de variable:
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| − | \[
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| − | w(x,t) = u(x,t) - v(x)
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| − | \]
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| − | Entonces, el sistema se transforma en:
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| − | \[
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| − | w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(0,t) = 0, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(1,t) = 0, \quad t > 0
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| − | \]
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| − | \[
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| − | w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1)
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| − | \]
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| − | == Resolviendo por Separación de Variables ==
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| − | Se obtiene:
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| − | \[
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| − | w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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| − | \]
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| − | \[
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| − | u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x), \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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| − | \]
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| − | Donde:
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| − | \[
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| − | B_n = \frac{18}{n\pi}
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| − | \]
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| − |
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| − | == Nota ==
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| − | Se usa la extensión impar de:
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| − | \[
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| − | \tilde{g}(x) =
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| − | \begin{cases}
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| − | -9x + 9, & x \in (0,1) \\
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| − | -9x - 9, & x \in (-1,0)
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| − | \end{cases}
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| − | \]
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| − | \(\tilde{g}(x)\) es impar y no cambia puntualmente su desarrollo de Fourier en \( x = 0 \). Así, la solución final es:
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| − | \[
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| − | u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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| − | \]
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