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| − | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
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| − | == Planteamiento del problema ==
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| − | Se tiene el siguiente sistema:
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| − | <u>Condiciones iniciales y de frontera:</u>
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| − | <u> ecuación del calor:</u>
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| − | :u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0
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| − | <u> Condiciones de frontera:</u>
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| − | :u(0,t) = 1 \quad t > 0
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| − | :u(1,t) = 10 \quad t > 0
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| − | <u> Condición inicial:</u>
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| − | :u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1)
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| − | == Solución estacionaria ==
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| − | Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de:
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| − | :v''(x) = 0
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| − | :v(0) = 1
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| − | :v(1) = 10
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| − | Resolviendo:
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| − | :v(x) = ax + b
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| − | Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces:
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| − | :v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1)
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| − | == Resolución de la ecuación homogénea ==
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| − | Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda:
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| − | :w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0
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| − | :w(0,t) = 0 \quad t > 0
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| − | :w(1,t) = 0 \quad t > 0
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| − | :w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1)
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| − | Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:
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| − | :w(x,t) = \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)
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| − | Por lo que la solución completa es:
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| − | :u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)
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| − | Calculando \( B_n \):
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| − | :B_n = \frac{18}{n \pi}
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| − | Por lo que la solución final queda expresada como:
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| − | :u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)
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