Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 19)»

Revisión actual del 09:17 12 dic 2024

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo teórico desarrollado por el físico William John Macquorn Rankine utilizado en la dinámica de fluidos para modelar el movimiento de un fluido en un vórtice ideal. Incluye dos tipos de comportamiento. En el núcleo del vórtice, el fluido gira como un sólido rígido con velocidad angular constante. Fuera del núcleo, el fluido se comporta como un vórtice libre, donde la velocidad disminuye (hasta ser irrotacional) conforme aumenta la distancia al centro.

Este modelo se utiliza para estudiar fenómenos como huracanes, tornados o corrientes giratorias, así como en el análisis de fluidos en turbinas u otros procesos industriales donde se forman vórtices.

2 Campo de velocidad

El campo de velocidad puede describirse en dos regiones diferentes: el núcleo del vórtice y la parte exterior de este. Se define en coordenadas cilíndricas ([math]r ,\theta ,z[/math]) como [math]\vec{v} = v_r \vec{v_r} + v_\theta \vec{v_\theta} + v_z \vec{v_z}[/math] .
[math]\upsilon _{r }[/math] = 0

[math]v_\theta(r)= \begin{Bmatrix} \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}r& si &r≤R\\ \frac{\Gamma}{2 \pi r}& si &r \gt R\\ \end{Bmatrix}[/math]
[math]\upsilon _{z }[/math] = 0

¿Por qué la gráfica en un plano paralelo al suelo es mas favorable?

Esto se debe a que los vórtices de este tipo suelen tener una estructura que visualiza mas fácilmente en un plano horizontal (en el plano (r,θ) en este caso). A nivel del suelo, el vórtice se analiza principalmente observando como cambia la velocidad tangencial y la presión, sin considerar los efectos de la componente vertical en la dirección z. La componente vertical esta relacionada con la altura del ojo del vórtice. En este caso no es necesaria ya que estamos observando únicamente las dos regiones donde la velocidad se comporta en diferentes formas. Ademas este tipo de visualización del vórtice ayuda a la hora de realizar propiedades relacionadas con la circulación, ya que se pueden observar claramente las líneas de flujo.

% Parámetros del huracán Camille
 R = 46.3; % Radio del núcleo en km
 v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
 Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
 n = 100; % Número de puntos
 rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
 theta = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
 [Mrho, Mtheta] = meshgrid(rho, theta); % Mallado en coordenadas polares
 x = Mrho .* cos(Mtheta); % Coordenadas x
 y = Mrho .* sin(Mtheta); % Coordenadas y

 % Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior

% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtheta);
Vy = Vtheta .* cos(Mtheta);

% Grafica
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine del Huracán Camille');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

La primera gráfica muestra dos zonas: una interna, cuando r ≤ R (representada en rojo) donde la velocidad tangencial es constante y otra externa, cuando r ≥ R (representada en azul) donde la velocidad disminuye con el radio. Se puede apreciar con facilidad las dos zonas distintas gracias al uso de un gráfico en el plano (r,θ).

Dato interesante: La segunda gráfica muestra cómo la velocidad del vórtice varía con respecto al aumento del radio. Sin embargo es lo único que se puede observar, ya que no se aprecian ni las líneas de flujo, ni la distribución de velocidades, por eso utilizamos tráfico mostrando el plano horizontal.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

DIVERGENCIA
La divergencia de un campo de velocidades representa la tasa de contracción y expansión del flujo en un punto conocido. En el vórtice de Rankine el campo dado es incompresible, debido a que no hay cambio en el volumen del flujo. Esto implica que el flujo no crea ni elimina volumen, circula alrededor del eje. Este comportamiento es típico de los vórtices, en los cuales el fluido rota sin comprimirse ni expandirse. La divergencia en coordenadas cilíndricas para un campo de velocidad:

[math]\triangledown ·\vec{V}(r,\theta ,z)= \frac{1}{r }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial r}(r \upsilon _{r}) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Donde:

[math]\upsilon _{r }[/math] es la componente radial de la velocidad.

[math]\upsilon _{\theta }[/math] es la componente tangencial de la velocidad.

[math]\upsilon _{z }[/math] es la componente vertical de la velocidad.

En el caso del vórtice de Rankine:

En el interior del vórtice: [math]\upsilon _{r }[/math]=0 y [math]\upsilon _{z }[/math] = 0 (no hay ni flujo vertical ni radial).
En el caso de la componente tangencial [math]\upsilon _{\theta }[/math] depende de r, por lo tanto la derivada con respecto a [math]{\theta}[/math] es cero.
Por lo tanto el resultado de la divergencia del vórtice de Rankine es:

[math]\text{div}(\vec{v}) = 0[/math]

Demostrando que el campo es incompresible.

ROTACIONAL
El rotacional de un campo de velocidades muestra la "voracidad" de su flujo, esto es la medida de "rotación" del campo. En el caso que estamos estudiando, el rotacional solo tiene una componente en la dirección vertical [math]\upsilon _{z }[/math], lo que confirma que el vórtice solo gira alrededor de su eje. La voracidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio r, esto significa que cuanto más lejos nos encontramos del centro del vórtice, la intensidad de su rotación disminuye. El teorema de Stokes se puede utilizar para observar la interpretación física del rotacional de un campo vectorial.

El rotacional del campo de velocidad en coordenadas cilíndricas: [math] \vec{\nabla} \times \vec{v} = \left( \frac{1}{r} \frac{\partial v_z}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial z} \right) \hat{e_r} + \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \hat{e_\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right) \hat{e_z}\ [/math]

Como hemos mencionado previamente, [math]\upsilon _{r }[/math]=0 y [math]\upsilon _{z }[/math] = 0 y [math]\upsilon _{\theta }[/math] solo depende de r, así que el rotacional se puede simplificar:

[math]\ \vec{\nabla} \times \vec{v} = \frac{\Gamma}{2 \pi r^2} \hat{e_z} [/math]
Esto indica que la componente de dirección z tiene una magnitud [math]\frac{\Gamma}{2 \pi r^2}[/math], que explica la intensidad de la rotación del vórtice de Rankine. Esta disminuirá cuanto mayor sea la distancia desde el centro del vórtice.

% Parámetros del vórtice
 Gamma = 1.0; % Circulación máxima
 R = 1.0;     % Radio del ojo del vórtice
 rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
 g = 9.81;    % Gravedad (m/s^2)
  
 % Rango de coordenadas en 2D
 x = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas X
 y = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);
 
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R);         % Fuera del ojo
 
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta);  % Componente Y


% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0;                  % Cero fuera del ojo

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('default');
title('Rotacional');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

4 Comportamiento de una barca según su posición respecto al vórtice

Un objeto, según la zona en la que se encuentre respecto al vórtice de Rankine, tendrá un comportamiento u otro. En este caso, estudiaremos el movimiento de una pequeña barca.

1. Comportamiento de la barca en el ojo de vórtice (región interior): En el ojo del vórtice, el flujo del fluido es parecido al de un sólido en rotación. La velocidad tangencial disminuye linealmente con la distancia al centro, lo que hace que cualquier objeto (en este caso, la barca) experimente una rotación uniforme. La barca rotará sobre su propio eje. Esto ocurre porque todas las partes de la barca se mueven con la misma velocidad angular, por lo que su orientación cambia continuamente.

2. Comportamiento de una barca en la región exterior del vórtice: En este caso, el flujo se comporta de manera irrotacional, lo que significa que la velocidad tangencial del fluido disminuye a medida que el objeto se aleja del centro, (es decir, la velocidad es inversamente proporcional a la distancia al ojo del vórtice). Aunque el fluido tiene un movimiento circular, no induce ninguna rotación sobre un objeto flotante (en nuestro caso, la barca). En consecuencia, la barca no girará sobre sí misma, y se mantendrá paralela a una dirección fija mientras gira alrededor del vórtice. Esto sucede porque el flujo irrotacional no ejerce un momento que haga rotar a la barca sobre sí misma, es decir, su orientación relativa permanece constante.

5 Campo de Presión

Primero debemos definir los parámetros y las ecuaciones de presión según el modelo de Rankine:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]


Código campo del gradiente de presiones:

% Parámetros para el huracán Camille
  P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
  Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
  rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
  g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
  R = 46300;    % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
  v_R = 88.89;  % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
  z0 = 15000;    % Altura inicial, en metros (15 km)   
  % Definición de la malla
 r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
 z = linspace(0, z0, 100); % Altura  
 % Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
 v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar  
 % Cálculo de la presión
 [RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
 P = zeros(size(RR));  
 % Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
 for i = 1:numel(RR)
       if RR(i) <= R
           P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
       else
           P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
       end
  end
    % Visualización del campo de presión en plano vertical
 figure;
 contourf(RR, ZZ, P);
 colorbar;
 title('Campo de presión en plano vertical');
 xlabel('Distancia radial (m)');
 ylabel('Altura (m)');

"Campo de presiones"

Código para la animación de la presión en varios planos paralelos al suelo:

% Parámetros para el huracán Camille
  P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
  Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
  rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
  g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
  R = 46300;    % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
  v_R = 88.89;  % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
  z0 = 15000;    % Altura inicial, en metros (15 km)   
  % Definición de la malla
 r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
 z = linspace(0, z0, 100); % Altura  
 % Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
 v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar  
 % Cálculo de la presión
 [RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
 P = zeros(size(RR));  
 % Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
 for i = 1:numel(RR)
       if RR(i) <= R
           P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
       else
           P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
       end
  end
 
% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación 
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
     P_level = pressure_steps(p_idx);
     % Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
     clf; % Limpiar gráfica
     surf(RR, ZZ, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
     % Resaltar el plano de presión actual
     hold on;
     contour3(RR, ZZ, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
     % Configurar el gráfico
     title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
     xlabel('r (m)');
     ylabel('z (m)');
     zlabel('Presión (Pa)');
     xlim([0, max(r)]);
     ylim([0, z0]);
     zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
     view(0, 90);% Vista 3D
     colorbar;
     % Actualizar la gráfica
     drawnow;
     pause(0.1);
 end

"Animación campo de presiones"

6 Campo del gradiente de presiones

El gradiente de presiones es más fuerte en las regiones más externas del vórtice, donde la diferencia de presión entre la atmósfera y el ojo del vórtice es más notable. Esta variación en la presión es responsable de generar vientos intensos, y es un factor crucial en los efectos destructivos de fenómenos como los huracanes, tornados o diablos de viento. La dirección y magnitud de este gradiente de presión pueden entenderse como una fuerza que actúa sobre el aire, generando vientos fuertes que se observan en las tormentas.

CORTE EN UN PLANO VERTICAL: El gradiente de presión se distribuye de forma radial, orientándose hacia el centro del vórtice y reflejando variaciones en las alturas.

% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;     % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;   % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000;    % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)

% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40);  % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
    if RR(i) <= R
        % Dentro del radio del ojo
        P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
    else
        % Fuera del radio del ojo
        P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
    end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R;  % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R;  % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
       'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue');  % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
       'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red');   % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off

"Campo del gradiente en el PLANO VERTICAL"

El código muestra cómo se distribuye el gradiente de presión en un huracán, representado en un plano vertical, diferenciando dos zonas principales: el interior y el exterior del ojo del huracán.

• Dentro del ojo: Las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba y hacia el centro, indicando una disminución de presión en esas direcciones. Esto refleja que el aire es atraído hacia el núcleo del huracán, donde la presión es mínima.
• Fuera del ojo: Las flechas (en rojo) también señalan hacia arriba y hacia el centro, pero con menor intensidad debido a la reducción de la velocidad tangencial en esta región. La presión sigue disminuyendo hacia el núcleo, lo que continúa impulsando el flujo de aire hacia el ojo del huracán.

En resumen, esta visualización captura cómo el gradiente de presión dirige el aire hacia el centro del huracán desde el exterior, impulsado por la disminución de presión hacia el núcleo.

CORTE EN UN PLANO HORIZONTAL: El gradiente de presión muestra una distribución con mayor intensidad según se va acercando al centro del vórtice, disminuyendo gradualmente a medida que se aleja de este punto.

%
% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;     % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;   % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000;    % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)

% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
    r_val = R_mesh(i);
    if r_val <= R
        P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
    else
        P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
    end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;

"Campo del gradiente en el PLANO HORIZONTAL"

%
% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;     % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;   % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000;    % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)

% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v);  % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
    % Superficie isobárica
    contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
    hold on;
    % Campo de gradiente de presión
    quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
    % Título y etiquetas
    title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
    xlabel('Distancia radial r (km)');
    ylabel('Altura z (km)');
    colorbar;  % Barra de colores para presión
    axis tight;
    grid on;
    % Capturar el cuadro y agregarlo al video
    frame = getframe(gcf);  % Captura la figura actual
    writeVideo(v, frame);    % Escribe el cuadro en el archivo de video
    % Pausa para la animación
    pause(0.8);
    % Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
    clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);

"Animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión"

• Dentro del ojo del vórtice (r ≤ R), las superficies isobáricas son aproximadamente esféricas y concéntricas. Esto muestra que la presión decrece hacia el centro debido a la velocidad tangencial que domina esta región. En el ojo del huracán, la presión es mínima, creando superficies pequeñas y bien definidas.
• Fuera del ojo (r > R), las superficies isobáricas se vuelven más complejas y achatadas. Aquí la presión está más influenciada por los efectos de la disminución de la velocidad tangencial y del flujo irrotacional. Hacia el exterior, las superficies isobáricas se expanden y la presión aumenta.

Estas gráficas pueden ser utilizadas en meteorología e ingeniería, ayudando a:

1. Predecir la intensidad de ciclones y huracanes: Los gradientes de presión están directamente relacionados con la velocidad del viento y el daño potencial.
2. Estudiar estructuras de flujo en fenómenos naturales: Los vórtices de Rankine simplifican sistemas complejos como tornados o remolinos en el océano y permite estudiarlos.
3. Diseñar infraestructuras resistentes: Conocer cómo cambia la presión y el gradiente alrededor de un vórtice puede ayudar a la construcción de edificios y vehículos capaces de aguantar fuerzas extremas.

7 Flujo de masa a través de una superficie dada

El flujo de masa se define como:

[math] \dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS [/math]

Para calcular el flujo de masa a través de una superficie dada, es necesario integrar el producto de la densidad [math]\rho[/math] y el flujo de velocidad [math]\vec{v}[/math] a través de esta superficie. En este caso, la superficie de integración es un trozo de plano definido por:

• 0 ≤ [math]r[/math] ≤ [math]2R[/math]
  
• 0 ≤ [math]z[/math] ≤ [math]z_0[/math]
  
• [math]\theta[/math] arbitrario (la superficie es sobre un plano [math]r[/math], [math]z[/math], no depende [math]\theta[/math]).
  

El elemento diferencial de área para esta superficie es:
[math]dS = r d\theta dz[/math]

En este apartado, trabajaremos en coordenadas cilíndricas, pero la superficie a estudiar implica que solo consideremos una sección con [math]r[/math] y [math]z[/math] como coordenadas libres. Como la superficie es sobre el plano [math]r[/math] - [math]z[/math], el vector normal a esta superficie, debido a la independencia de [math]\theta[/math], será: [math]\vec{n}[/math] = [math]\vec{r}[/math].

En coordenadas cilíndricas, la velocidad vectorial es:

[math]\vec{v}[/math] = [math]v_r[/math][math]\vec{r}[/math] + [math]v_\theta[/math][math]\vec{\theta}[/math] + [math]v_z[/math][math]\vec{z}[/math]
El producto escalar [math]\vec{v}[/math] · [math]\vec{n}[/math] será:
[math]\vec{v}[/math] · [math]\vec{n}[/math] = [math]v_r[/math]
Sustituyendo en la ecuación general del flujo de masa:
[math]\dot{m} = \iint_S \rho v_r \, dS[/math]
Expresando la integral sobre la superficie dada:
[math] \dot{m} = \int_{0}^{z_0} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2R} \rho(r,z) v_r(r,z) r dr d\theta dz [/math]
Resolviendo la integral, si [math]\rho[/math] y [math]v_r[/math] son constantes:
[math] \dot{m} = \rho v_r \int_{0}^{z_0} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2R} r dr d𝜽 dz [/math]
Ahora, evaluamos las integrales:
1. Integral en [math]r[/math]:
[math] \int_{0}^{2R} r dr = [\frac{r^2}{2}]_{0}^{2R} = \frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 [/math]
2. Integral en [math]\theta[/math]:
[math] \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi [/math]
3. Integral en [math]z[/math]:
[math] \int_{0}^{z_0} dz = z_0 [/math]
Sustituyendo:
[math] \dot{m} = \rho v_r (2R^2)(2\pi)(z_0)[/math]
Por lo que quedaría como resultado final:
[math] \dot{m} = 4 \pi R^2 z_0 \rho v_r[/math]

8 Diferencia de presion

Asumiendo que la presión es una función continua que depende de la densidad del aire, de R y de [math]Γ[/math]. La diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán ([math]P_{\infty}[/math]) y el centro del ojo ([math]P_{0}[/math]) puede expresarse como:
[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} [/math]
donde:

• [math]\rho[/math] es la densidad del aire ([math]\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}[/math]).
  
• [math]Γ[/math] es la circulación [math]Γ = \upsilon _{\theta }(R)·2\pi·R = 88,89(m/s)·2·\pi·46300(m) = 25,93·10^6 m^2/s[/math].
  
• R es el radio del núcleo del huracán [math]R = 46300 m[/math].
  

[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9732 Pa = 97,32 mbar [/math]
Por otro lado la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: [math]P_{\infty}=1013 mbar[/math] (presión estandar atmosférica) y [math]P_{0}=909 mbar[/math] (presión en el ojo del huracán).
[math] P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar [/math]
Podemos observar que la diferencia entre la diferencia de presión teórica y practica no es significativa y se puede aceptar.
Ejemplo del huracán Katrina:
En el huracán Katrina la diferencia de presión real entre la ambiental y el ojo es de:
[math] P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar [/math]

• Formación: Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas.
  
• Pico de intensidad: Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h.
  
• Impacto: Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans.
  

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

9 Diferencias y similitudes en otros tipos de vórtices

Para realizar una comparativa exhaustiva, hemos identificado y clasificado los vórtices más relevantes y representativos en la naturaleza. Entre estos se incluyen modelos teóricos, como el vórtice de Burgers, y fenómenos naturales ampliamente estudiados, como huracanes, tornados, diablos de polvo, vórtices oceánicos, entre otros. Cada uno de estos vórtices presenta características únicas en su dinámica, estructura y condiciones de formación, lo que permite un análisis comparativo que enriquece la comprensión de la diversidad y complejidad de los sistemas de flujo rotatorio en distintos contextos físicos.

Vórtice de Burgers:

• Características:
  

Combina rotación con una estructura de onda de choque.
Se utiliza en estudios atmosféricos y de turbulencia.

• Diferencias:
  

Es más complejo matemáticamente debido a la combinación de fenómenos.
Tiene aplicaciones específicas en dinámica de fluidos atmosféricos turbulentos.

• Similitudes:
  

Ambos pueden representar vórtices con núcleo definido.

Vórtices en Fenómenos Naturales (Ej.: Huracanes, Tornados, Polvorientos)

• Huracanes:
  

Su dinámica incluye gradientes de presión intensos y rotación impulsada por fuerzas de Coriolis.
El vórtice de Rankine es una simplificación de los huracanes en sus núcleos.

• Tornados:
  

Presentan una estructura de vorticidad más concentrada y menos uniforme.

• Diablos de polvo:
  

Más pequeños y de menor energía; influenciados por las condiciones térmicas del suelo.

Vórtices Oceánicos:

• Características:
  

Grandes estructuras rotatorias de agua que se forman en los océanos debido a interacciones entre corrientes marinas, topografía submarina y vientos atmosféricos.
Ejemplos famosos incluyen los remolinos del Golfo de México y los vórtices asociados con las corrientes de Kuroshio y la Corriente del Golfo.

• Diferencias:
  

Tienen escalas espaciales y temporales mucho mayores que los vórtices atmosféricos, como tornados o huracanes.
Son influenciados significativamente por el gradiente de densidad debido a la salinidad y temperatura del agua.

• Similitudes:
  

Comparten una dinámica basada en la conservación del momento angular y los gradientes de presión.

Vórtices en volcanes (Plumas volcánicas)

• Características:
  

Estructuras rotatorias de gases y cenizas que emergen durante las erupciones volcánicas.
Estos vórtices se forman debido a interacciones entre las fuerzas térmicas ascendentes y el aire circundante.

• Diferencias:
  

La vorticidad se genera por diferencias de temperatura y densidad, en lugar de gradientes de presión dominantes.
Son transitorios y más irregulares comparados con huracanes o tornados.

• Similitudes:
  

Presentan un núcleo rotatorio y dinámica centrada en fuerzas que generan circulación.

Vórtices de marea

• Características:
  

Se forman en zonas costeras con alta amplitud de mareas y geometrías específicas, como bahías o estrechos.
Ejemplo: El remolino de Saltstraumen en Noruega, uno de los más fuertes del mundo.

• Diferencias:
  

Son generados por flujos oscilatorios periódicos debidos a la acción gravitatoria de la Luna y el Sol.
Tienden a ser estacionarios en su ubicación.

• Similitudes:
  

Comparten patrones rotatorios y fuerzas asociadas a gradientes de velocidad y presión.