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Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Las coordenadas cilíndrico-parabólicas son un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales que se utilizan principalmente en óptica, electromagnetismo y diseño de sistemas parabólicos en la ingeniería. Este sistema es una extensión de las coordenadas parabólicas bidimensionales al espacio tridimensional, añadiendo una tercera dimensión basada en la altura cartesiana z.

En este sistema, un punto en el espacio se describe por los parámetros (u, v, z) dónde u>0, que están relacionados con las coordenadas cartesianas mediante las siguientes transformaciones:

\begin{cases} x = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ y = uv \\ z = z \end{cases}

A lo largo de los siguientes capítulos se tratarán en profundidad los distintos puntos de estudio de este sistema de coordenadas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

Líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Para dar las parametrizaciones de \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\), se parte de la relación de las coordenadas cilíndrico-parabólicas con las coordenadas cartesianas:

\begin{cases} x = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ y = uv \\ z = z \end{cases}

Para cada línea coordenada, se mantienen constantes las otras dos variables manteniendo la misma variable e igualándola al parámetro t, por lo que cada curva será calculada en función de \(t\).

• \(\gamma_u (t)\): [math](x, y, z) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], dónde v, z son constantes.

Ahora, sustituimos y=tv en [math] x=\frac{t^2 - v^2}{2}[/math] resultando: [math]x = \frac{t^2-\frac{y^2}{t^2}}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación de la curva \(v\) en función del parámetro t: [math]y = \pm\sqrt{t^4 - 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_v(t)\): [math](x, y, z) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], dónde u, z son constantes.

Ahora, sustituimos y=ut en [math] x=\frac{u^2 - t^2}{2}[/math] resultando: [math]x = \frac{\frac{y^2}{t^2}-t^2}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación de la curva \(u\) en función del parámetro t: [math]y = \pm\sqrt{t^4 + 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_z(t)\): [math](x, y, z) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], dónde u, v son constantes.

Código MATLAB y representación gráfica:

Como se puede ver en la figura, las líneas coordenadas varían según el parámetro t, estas se 'abren' conforme los valores de t se alejan de t=0, mientras que en este caso serian una línea recta sobre el eje x. La línea coordenada \(\gamma_z\) varía en el 'nivel' del plano OXY, que es el representado.

%DEFINICIÓN DE RANGOS
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de u para las curvas gamma_v
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de v para las curvas gamma_u

figure;
hold on;

%CURVAS GAMMA_U
% Variando u con valores fijos de v (v_fixed)
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de u
    x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
    y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
    plot(x_u, y_u, 'Color', [1-idx/length(v_vals), 0, idx/length(v_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% CURVAS GAMMA_V
% Variando v con valores fijos de u (u_fixed)
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de v
    x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
    y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
    plot(x_v, y_v, 'Color', [0, idx/length(u_vals), 1-idx/length(u_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% GRÁFICO
title('Líneas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en función del valor de "t"');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
axis equal;
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'}, 'Location', 'BestOutside');

hold off;

2 Cálculos teóricos de las coordenadas cilíndrico-parabólicas.

Para este apartado se hacen diversos cálculos alrededor de las lineas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\):

[math]r'=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} = (\frac{u^2 - v^2}{2})\vec{i}+uv\vec{j}+z\vec{k}[/math].

Campos velocidad de las líneas coordenadas \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\), \(\gamma'_z\):

[math] \vec{r} : \begin{cases} \vec{\gamma_u'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\ \vec{\gamma_v'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\ \vec{\gamma_z'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} = \vec{k} = g \vec{z}\\ \end{cases} [/math]

A continuación, se calcula su módulo, es decir, los factores de escala h_u, h_v, h_z :

[math]h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math]h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}[/math]

[math]h_z = |\vec{g_z}| = 1 [/math]

Ahora se debe calcular los vectores tangentes unitarios [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math], para ello se divide entre los factores de escala calculados previamente:

[math] e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \vec{k}[/math]

Como se cumple que [math] e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0[/math]; [math] e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0[/math] y que [math] |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1[/math] se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Ahora, se busca comprobar que la base física obtenida forma en cada punto una base ortonormal orientada positivamente:

La base física obtenida anteriormente es:

[math] (e _\vec{u}) = \begin{bmatrix} u\\ v\\ 0 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}};(e _\vec{v}) = \begin{bmatrix} -v\\ u\\ 0 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}};(e _\vec{z}) = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} [/math]

Construimos la matriz [math] Q [/math]:

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Obtenemos que el [math] det \: Q= 1 \gt0 [/math].

Por tanto, podemos concluir que está orientada positivamente. En caso de que se cambiase alguno de los signos de la base física, pasaría a estar orientada negativamente.

Código MATLAB y representación gráfica:

Se puede ver que en cada punto los vectores de la base física son tangentes a sus correspondientes líneas coordenadas llevando además el sentido creciente del parámetro. Estos vectores son linealmente independientes formando así una base ortonormal (vectores unitarios), que además esta orientada positivamente (el [math] e _\vec{z} [/math] es saliente, cumpliendo la regla de la mano derecha, además de que el [math] det[e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z}]\gt 0). [/math]

% Configuración inicial y parámetros
% Rango de valores para u y v
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v

% Punto de interés para los vectores unitarios
u_point = 1; % Valor fijo de u
v_point = 1; % Valor fijo de v
h = sqrt(u_point^2 + v_point^2); % Factor de escala

% Vectores unitarios en el punto (u_point, v_point)
eu = [u_point/h, v_point/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v_point/h, u_point/h, 0]; % Vector e_v

%  Gráfico de las líneas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1; % Valor fijo de v para gamma_u
x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
plot(x_u, y_u, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_u

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1; % Valor fijo de u para gamma_v
x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
plot(x_v, y_v, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_v

% Vectores unitarios
% Coordenadas cartesianas del punto donde se grafican los vectores
x_point = (u_point^2 - v_point^2) / 2;
y_point = u_point * v_point;

% Vectores unitarios
quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 'm', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_u
quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_v

% Gráfico
title('Líneas coordenadas y vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)', 'Vector e_u', 'Vector e_v'}, ...
       'Location', 'Best');
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Cálculo de las matrices de cambio de base.

A continuación, se busca obtener las matrices de cambio de base [math] Q[/math] y [math]Q^-1 [/math]. Las matrices de cambio de base permiten transformar los vectores de una base a otra.

La matriz [math] Q[/math] permite transformar un vector en la base de coordenadas cilíndrico-parabólicas \(\{e_u, e_v, e_z\}\) a la base del sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

Al colocar los vectores de la base física en las columnas de la matriz se obtiene la matriz [math] Q[/math] buscada:

[math] Q = (e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z}) = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Con la matriz [math] Q^-1 [/math], se podrá pasar de \(\{i, j, k\}\) a \(\{e_u, e_v, e_z\}\), multiplicando el vector que se quiere transformar por esta matriz. Para obtenerla se calcula la matriz inversa de [math] Q[/math], obteniendo así la matriz [math] Q^-1[/math] buscada, al tener [math] detQ= 1[/math] se puede comprobar que [math] Q^-1[/math] coincide con la adjunta de la traspuesta de [math] Q[/math], quedando finalmente de la siguiente manera:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se utiliza la matriz [math]Q^-1[/math] de cambio de base obtenida en el capítulo 3 para pasa de la base de coordenadas cartesianas a la base de coordenadas cilíndrico-parabólicas:

[math] \vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}\;cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene: [math]\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se parte del campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\).

Primero, se busca pasar el campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas en el que se trabajará.

Esto es simplemente sustituir \(y=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el obtener el punto en el otro sistema se necesita la relación de las coordenadas cilíndrico-parabólicas con las cartesianas, para justificar esta relación se sigue con la siguiente demostración: [math] (x, y, z): \begin{cases} x = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ y = uv \\ z = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x, y, z): \begin{cases} 2x =p-q (1)\\ y^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Se deja la ecuación (1) en función de \(q\): [math]q=p-2x[/math]

Posteriormente se sustituye en la ecuación (2)

\(p^2\)-\(2xp\)=\(y^2\)

Se obtienen las soluciones de la ecuación de segundo grado con \(p\) como incógnita, estas son:

[math] p_1 \, =\,x\,+\,\sqrt{x^2+y^2}\\ p_2=No válida por ser negativa[/math]

Ahora, deshaciendo el cambio de variable sale la relación buscada: [math]\begin{cases} u = \left (\sqrt{x+\sqrt{x+y}}\right) \\ v = \sqrt{-x+\sqrt{x+y}}\\ z = z \end{cases} \\[/math]

Finalmente, sustituyendo el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) se obtiene el punto en las coordenadas cilíndrico-parabólicas que es [math](u, v, z)= (1 ,1 ,1).\\[/math]

Calculo del gradiente del campo escalar:

El gradiente de un campo escalar f en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

Dónde: [math] h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2} ; h_z=1[/math]

Las derivadas parciales correspondientes serían:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente al sustituir el punto en el gradiente obtenido queda la siguiente expresión:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div(\vec{r})=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math] rot( \vec{F})=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= 0 [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman un cilindro parabólico con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la x en la ecuación de la curva sobre el plano z=0), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{(-i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman un cilindro parabólico con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

%Superficie f1
% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0.1, 2, 100); % v es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Crear mallas para v y z
X = (c^2-V.^2) / 2;    % Coordenada x
Y = c * V;               % Coordenada y (constante en u = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2
% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0.1, 2, 100); % u > 0 y es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
X = (U.^2 - c^2) / 2;    % Coordenada x
Y = U * c;               % Coordenada y (constante en v = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3
% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 100); 
y_f3 = linspace(-5, 5, 100);  

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1; 
z_malla = z_const * ones(size(x_malla));  % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure; 
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Etiquetas y título
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]); 

% Ajustes para mejor visualización
axis equal;  % Mantener proporciones iguales entre los ejes
grid on;     % Añadir rejilla
colormap cool; % Mejorar esquema de colores
colorbar;    % Añadir barra de colores}}

Superficies regladas:

Una superficie reglada es la superficie generada por un vector director [math]\vec{w}(t)[/math] que forma rectas en esa dirección mientras se mueve sobre una curva [math]\gamma(t)[/math] llamada directriz. Se puede comprobar que cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por: [math] \Phi(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v), [/math]

Sabiendo que las superficies f1 y f2 son cilindros parabólicos y que f3 es un plano horizontal, se comprobará en cada caso si son superficies regladas.

• En los casos de f1 y f2 que son cilindros parabólicos son superficies regladas porque están formadas por líneas rectas paralelas al eje del cilindro (también al eje z), teniendo por tanto a [math]\vec{w}(t)=\vec{k}[/math] como vector director, estas rectas se extienden a lo largo de la curva [math]\gamma(t)[/math] en forma de parábola (directriz) que está en el plano \(OXY\), y por tanto, cada punto de la superficie pertenece a una línea recta. Estas superficies regladas quedarían así:

[math] \gamma_1(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)[/math] dónde [math] u_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \(OXY\)) [math] \\ \Phi_1(u, v) = \gamma_1(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, u) [/math] [math] \gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)[/math] dónde [math] v_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \(OXY\)) [math] \\ \Phi_2(u, v) = \gamma_2(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, u) [/math]

• Ahora para f3, se puede ver como al ser un plano horizontal está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido) siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si por ejemplo tomamos una recta paralela al eje x como la curva [math] \gamma_u(t)=(t, 0, 0)[/math] el vector director de la familia de rectas sería [math]\vec{w}(t)=\vec{j}.[/math] Por tanto, también esta definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:

[math] \Phi_3(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v)= (v, 0, 0) + u(0, 1, 0)= (v, u, 0) [/math]

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

Las superficies regladas se utilizan en ingeniería por su atractivo visual y su eficiente distribución de fuerzas. Algunos ejemplos dónde se incluyen son en los puentes atirantados o colgantes (los cables y tableros forman superficies regladas), en las cubiertas de estadios y auditorios con superficies de paraboloides hiperbólicos, en las antenas parabólicas para maximizar la captación de señales, en las aspas helicoidales de turbinas eólicas para mejorar la eficiencia aerodinámica y en las estructuras decorativas como hiperboloides en arquitectura. Se desarrollan a continuación algunos más concretos de la ingeniería civil dónde se aplican estas superficies regladas.

• Bodegas Ysios, de Santiago Calatrava

Se emplean las superficies regladas para crear una cubierta de diseño curvilíneo. Esta forma es un diseño icónico que combina funcionalidad con un gran impacto visual.

Bodegas de Ysios (España)

• Torre Shukhov, Rusia

La primera estructura hiperboloide diagrid del mundo es la Torre Shukhov, la cual usa las superficies regladas. Esta forma permite una distribución eficiente de las cargas y una gran estabilidad estructural, con un uso mínimo de materiales, reduciendo el coste de la construcción.

Torre Shukhov (Rusia)

• The Oculus, Estados Unidos

En la estación del World Trade Center, se usa una elipse en el plano y líneas generatrices de pendiente constante, permitiendo cubrir grandes espacios sin soportes intermedios. Dota a la estructura de una eficiencia constructiva y flexibilidad de diseño, maximizando el espacio útil.

The Oculus (EEUU)

9 Curvatura de la parábola.

Dada la parábola

[math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde [math] A=B=2; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-2x^2+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{(1+(4x)^2)^{3/2}}=\frac{4}{(1+16x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}} = 4 [/math]

Código MATLAB y representación gráfica

Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

A = 2; % Constante
x = linspace(-1, 1, 100);
kappa = 4 ./ (1 + 16 * x.^2).^(3/2);

figure;
plot(x, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(x) de la parábola');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;

10 Usos de la parábola en la ingeniería.

La parábola es una curva matemática con unas propiedades únicas las cuales la hacen especialmente útil en diversas aplicaciones de la ingeniería. A continuación, se muestran ejemplos en los cuales la parábola tiene una gran importancia en diferentes ámbitos, especialmente en la ingeniería civil:

1. Puentes

• Puentes colgantes

En este tipo de puentes, la forma parabólica del cable principal recoge todos los cables y sus correspondientes esfuerzos, de donde cuelga el tablero, distribuyendo las cargas hacia las pilas. De esta forma se asegura el correcto funcionamiento del puente con una estructura ligera y que se adapta correctamente a fuerzas dinámicas como puede ser el viento.

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

• Puentes arco

Los puentes arco transforman las cargas verticales en fuerzas de compresión, distribuyéndolas hacia los anclajes. Esta geometría proporciona estabilidad, eficiencia estructural y durabilidad. Se trata de un tipo de puente más antiguo, usado para salvar menor luz que los puentes colgantes.

Puente Dom Luis I (Portugal)

2. Elementos estructurales

• Fachadas

Las parábolas optimizan las distribución de las fuerzas estructurales, aportando soluciones estéticamente muy interesantes y de gran ligereza.

Fachada del Oceanográfico de Valencia (España)

• Arcos

Los arcos de forma parabólica se pueden emplear como elemento estructural para distribuir de forma uniforme las cargas hacia los apoyos. Con ello se optimiza el uso de materiales, logrando un equilibrio entre funcionalidad y estética.

Estadio de Wembley (Inglaterra)

3. Presas

• Presas arco de gravedad

Estos arcos combinan la resistencia a la compresión del arco, con el peso de la propia estructura para resistir la presión del agua. El uso de parábolas en el diseño del arco permite desviar las fuerzas hidráulicas hacia los extremos de la presa, donde se transfieren al propio terreno.

Presa Hoover (Estados Unidos)

• Presas bóveda

Este tipo de presas usa dos curvas parabólicas para distribuir de manera más eficiente las cargas hacia las paredes del valle. De esta forma se reducen las presiones internas. Este diseño es favorable en valles estrechos.

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

4. Reflector

En otros ámbitos ingenieriles, el uso de la parábola como reflector es vital. En óptica, las superficies parabólicas permiten enfocar la luz hacia un punto específico. En el ámbito de las telecomunicaciones, al usar parábolas se concentran las ondas electromagnéticas en el receptor, mejorando la calidad e intensidad de la señal.

Esquema reflejo haces