A pesar de que el trazado de la parábola y el de la catenaria se asemejan bastante, ambas curvas son diferentes. El desarrollo de las fórmulas matemáticas de una catenaria y una parábola se diferencian a partir del cuarto término. Esto hace que las gráficas de ambas curvas se parezcan para valores pequeños de la X, remarcando más su diferenciación conforme aumentan los valores de ésta. En la catenaria el valor de la tangente tiende a la verticalidad y para sus valores infinitos de Y, se obtienen valores limitados de X.

1 Dibujo de la curva

Representación gráfica de la catenaria

% Definir la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 2*cosh(t/2);
  % Dibujar la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 2);
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 2cosh(t/2))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;

2 Vector velocidad y vector aceleración

2.1 Qué representa la velocidad y la aceleración

En lo que se refiere a la interpretación geométrica, el vector velocidad se asocia al cambio de posición a lo largo de la curva, siendo mayor en las regiones donde la pendiente es más pronunciada. Sin embargo, el vector aceleración indica como cambia la velocidad, y su orientación hacia arriba refleja que la función hiperbólica incrementa rápidamente en ambas direcciones de t.

2.1.1 Ecuación de la velocidad

[math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{2})) [/math]

2.1.2 Ecuación de la aceleración

[math] \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{2}cosh(\frac{t}{2})) [/math]

2.2 Intepretación de la gráfica

Fijándonos en la gráfica, vemos como los vectores azules (que representan la velocidad), indican la dirección y magnitud de la derivada de la posición y como la velocidad aumenta conforme la 't' se aleja del 0.
Los vectores morados que representan la aceleración apuntan hacia arriba con lo que refleja el crecimiento acelerado de la función hiperbólica. La magnitud de los vectores es mínima en el centro y crece conforme t aumenta en valor absoluto.
Podemos resumir esta idea en que la gráfica ilustra cómo la velocidad y a aceleración varían en magnitud y dirección sobre la catenaria.

2.3 Código de la gráfica velocidad-aceleración

Representación gráfica de la catenaria

% Parámetros 
 t = linspace(-1,1,20);
  x = t;
 y = 2*cosh(t/2);
  % Velocidad y aceleración 
 V1 = ones(size(t));  
 V2 = sinh(t/2);
 A1 = zeros(size(t));  
 A2 = (1/2)*cosh(t/2); 
 % Gráfica 
 figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
 axis equal

 hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
 
% Etiquetas
 xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")

3 Longitud de la curva

3.1 Qué representa la longitud de la curva

La longitud de la curva representa la media total del arco de la curva entre dos puntos dados, midiendo la distancia real recorrida a lo largo de la curva. La longitud de la catenaria se define como la integral del módulo de la velocidad, entre los valores que toma la t, en este caso [math] t\in (-1,1)[/math]
Aplicado a la ingeniería, esta medida nos resulta útil, puesto que nos permite determinar la cantidad de material que se necesita para cubrir una cierta distancia.

[math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(sinh^2(\frac{t}{2}))}dt [/math]

3.2 Código para calcular la longitud a través de Matlab

Representación longitud de la curva por el método de rectángulos

% Parámetros iniciales
a = -1; 
b = 1; 
n = 100; % Número de subintervalos
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t/2).^2);
% Paso del intervalo
h = (b - a) / n;
% Inicialización de la suma
X = linspace(a, b-h, n); % Puntos para los rectángulos (lado izquierdo)
valinic = 0;
% Cálculo de la integral usando el método del rectángulo
for i = 1:n
    valinic = valinic + f(X(i));
end
integral_rect = h * valinic;

% Gráfica de la función y los rectángulos
t_valores = linspace(a, b, 500); 
y_valores = f(t_valores);

figure;
hold on;
plot(t_valores, y_valores, 'b', 'LineWidth', 2); 
for i = 1:n
    x_rect_plot = [x_rect(i), x_rect(i), x_rect(i)+h, x_rect(i)+h];
    y_rect_plot = [0, f(x_rect(i)), f(x_rect(i)), 0];
    fill(x_rect_plot, y_rect_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.3, 'EdgeColor', 'r'); % Dibujar rectángulos
end
title('Aproximación de la integral con el método del rectángulo');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectángulos');
hold off;

% Mostrar el resultado de la integral
fprintf('La aproximación de la integral con el método del rectángulo es: %.6f\n', integral_rect);
 
end

La longitud de la curva (t, 2cosh(t/2)) desde t=-1 y t=1 es aproximadamente 2.0844 unidades.

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

Un vector tangente en un punto de la catenaria describe la dirección de la curva en ese punto. Para determinar el vector tangente se emplea de nuevo la primera derivada, con la que se saca la pendiente. Como estamos trabajando con vectores unitarios, tendremos que dividir entre el módulo.
Vector tangente: [math] T=(1, sinh(\frac{t}{2})) [/math]
Módulo: [math] |T|=\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{2})} [/math]

Vector tangente unitario: [math] t=(\frac{1}{(\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{2})})},\frac{sinh(\frac{t}{2})}{(\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{2})})})=(\frac{1}{cosh(\frac{t}{2})},\frac{sinh(\frac{t}{2})}{cosh(\frac{t}{2})}) [/math]

Representación gráfica de la catenaria

t=linspace(-1,1,20);
 x=t;
 y=2*cosh(t/2);
 % Vectores tangentes unitarios interiores
  t1i=(1)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
  t2i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
  % Vectores tangentes unitarios 
  hold on
  plot(x,y,'LineWidth',2);
  quiver(x,y,t1i,t2i);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vector tangente unitario')
 legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor

4.2 Vector normal

Los vectores normales son perpendiculares a los vectores tangentes en cada punto de la curva. Mientras que los vectores tangentes describe la dirección instantánea del desplazamientos sobre la curva, el vector normal indica como cambia esa dirección. Es decir, los vectores normales representan la dirección de la variación más rápida de la curva en un punto.
Para hallar el vector normal unitario, tenemos que tener el cuenta que se trata de un vector perpendicular al vector tangente, por lo que se aplica la propiedad de perpendicularidad entre vectores de dos dimensiones: [math] N=(-v,u) [/math]

[math] N=(-sinh(\frac{t}{2}),1) [/math]

Pasándolo a unitario quedaría como: [math] n=(\frac{-sinh(\frac{t}{2})}{cosh(\frac{t}{2})},\frac{1}{cosh(\frac{t}{2})}) [/math]

Podemos fijarnos, como en la gráfica se ve perfectamente que en el punto de [math] t=0 [/math] en el que, como hemos mencionado antes, el vector tangente es horizontal, se cumple que el vector normal es coincidente con el eje y.

Representación gráfica de la catenaria

% Definición de los parámetros
  a=-1;
  b=1;
  h=0.09;
  t=a:h:b;
  % Definición de la curva
  x=t;
  y=cosh(t);
  % Vectores normales unitarios orientación interior
 n1i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 % Vectores normales unitarios orientación exterior
 n1e=-sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 hold on
 plot(x,y,'LineWidth',2);
 quiver(x,y,n1i,n2i);
 quiver(x,y,n1e,n2e);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vectores normales')
 legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor

5 Curvatura y dibujo de la gráfica

5.1 Qué representa la curvatura de la curva

La curvatura de una curva mide cuán rápido cambia la dirección de la tangente a la curva. Si la curvatura es grande, la curva se está doblando rápidamente. Si la curvatura es pequeña, la curva se está doblando lentamente o es casi una línea recta. Para calcular la curvatura de la catenaria emplearemos la siguiente fórmula:

5.2 Código para calcular la curvatura a través de Matlab

Representación gráfica de la catenaria

n =70;
 t = linspace ( -1 , 1 , n) ;
k = (1/2)*(cosh(t/2)./((1+(sinh(t/2)).^2)).^(3/2)) ;
 figure
 plot (t ,k ,'b') ;
 axis equal
 title ('Curvatura catenaria (t). ') ;
 xlabel('t');
 ylabel('\kappa(t)');
grid on

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Qué representa la circunferencia osculatriz

La circunferencia osculatriz de la catenaria es la circunferencia que mejor aproxima la catenaria en un punto específico, es decir, la que tiene la misma pendiente y curvatura que la catenaria en ese punto. En la ingeniería, especialmente en estructuras suspendidas como cables o puentes, la circunferencia osculatriz ayuda a modelar las fuerzas y las propiedades de flexión cerca de un punto específico de la catenaria.

6.2 Centro de la circunferencia osculatriz

El centro de esta circunferencia se calculará de la siguiente manera:

En el punto [math]t=0.5[/math] el centro de la circunferencia está en el punto [math](-0.1752,4.5105)[/math]

6.3 Radio de la circunferencia osculatriz

El radio de la circunferenecia se calculará de la siguiente manera:

En el punto [math]t=0.5[/math] el radio es igual a [math]2.5431[/math].

Representación gráfica de la circunferencia osculatriz

clear;
%Definimos t en el punto P indicado
t=1;
%Pasos anteriores
k=1./(2*(cosh(t/2)).^2);
y=[t,2.*cosh(t/2)];
n=[(-sinh(t/2)./cosh(t/2)),(1./cosh(t/2))];
%Definimos el centro
Q=y+(1./k).*n;
%Definimos el radio
R=2*(cosh(t/2))^2; 
%Creamos una serie de puntos para poder dibujar la circunferencia
theta= linspace(0,2*pi,150);
%Calculamos las coordenadas de los diferentes puntos de la circunferencia
x_circunf= Q(1)+R*cos(theta);
y_circunf= Q(2)+R*sin(theta);
%Dibujamos la circunferencia
plot(x_circunf,y_circunf,'b-','LineWidth',2)
%Para que cuando dibujemos la catenaria siga apareciendo la circunferencia
hold on 
%Parametrizamos la catenaria 
T=-1:0.05:1 ;
x_cat=T;
y_cat=2.*cosh(T/2);
%Dibujamos la catenaria 
plot(x_cat,y_cat,'r','LineWidth',3)

%Editamos la gráfica
axis equal;
grid on;
title('Circunferencia Osculatriz y Catenaria')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
legend('Circunferencia','Catenaria')

7 Fenómeno descrito por la curva

Sea una cadena de bolitas metálicas, supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable. Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha. La catenaria minimiza la energía potencial del sistema.

Realmente, la catenaria no es una curva, sino una familia de curvas, las cuales están determinadas por las coordenadas de cada uno de sus extremos, y por sus longitudes. Por ello se define la catenaria como la geometría natural que adquiere una cadena cuando la agarras por sus extremos y la dejas que caiga por su propio peso.
El matemático y físico suizo Leonhard Euler fue el primero en demostrar que la curva catenaria, al girar sobre el eje x, producía el catenoide (primera superficie mínima descubierta tras el plano).
En la ingeniería moderna, el diseño basado en la catenaria se calcula considerando factores adicionales como las variaciones de peso en el cable o en la estructura, las fuerzas externas como el viento o la nieve y la elasticidad y propiedades del material. La catenaria en el ámbito de construcción es la mejor opción para la optimización de materiales y para conseguir la estabilidad frente a cargas y así reducir costos y aumentar la durabilidad.
Las estructuras de redes, como carpas, lonas o puentes peatonales colgantes, a menudo usan los principios de la catenaria para maximizar la eficiencia de carga y minimizar deformaciones.


En los puentes es utilizada para conseguir arcos de gran altura con mínimos empujes laterales, sin necesidad de usar apoyos laterales. Se puede observar, además de en puentes colgantes, en líneas de transmisión eléctrica suspendidas, y en la suspensión de cables en general. También aparece en la naturaleza como por ejemplo en telas de araña o en lianas.

8 Estructuras donde se emplee en el ámbito de la Ingeniería Civil

Uno de los grandes arquitectos de todos los tiempos, Antonio Gaudí i Cornet, es probablemente el primero en investigar y hacer uso en su obra de la catenaria y otros arcos antifuniculares. A diferencia de otros grandes arquitectos, Gaudí muestra una preocupación por el diseño de una estructura estable. Su interés por este tipo de arcos no es simplemente estructural, sino que los encontraba estéticos, ya que los emplea en lugares donde otras soluciones estructurales hubieran sido posibles. Gaudí opinaba que “... la catenaria da elegancia y espiritualidad al arco, elegancia y espiritualidad a la construcción entera”, “evita contrafuertes, el edificio pesa menos, gana una gracia vaporosa y se aguanta sin raros accesorios ortopédicos”. Gaudí llevó estos arcos catenarios a la Sagrada Familia de Barcelona para aportar una gran resistencia. Las catenarias las podemos encontrar en sus columnas, en las buhardillas de La Pedrera o en los pasadizos inclinados del Park Güell.

• 

  La Sagrada Familia

• 

  Modelo colgante con pesos para dibujar los planos de la Sagrada Familia

The Gateway Arch es probablemente la obra arquitectónica con forma de arco catenario más famosa del siglo XX de San Luis (Missouri). Obra del arquitecto norteamericano de origen finlandés Eero Saarinen que constituye una maravilla de la construcción. El arco es el monumento nacional más alto de los Estados Unidos de América con una altura de 192 metros, al igual que la separación existente entre los dos puntos de arranque a nivel del suelo.

The Gateway Arch

Otro ejemplo ideal de catenaria, pero esta vez de uso estético más que estructural, lo encontramos en Riad, la capital de Arabia Saudita donde se encuentra el Kingdom Centre, uno de los 25 edificios más altos del mundo. A su curva catenaria se han referido como “un collar para la ciudad de Riad”.

The Kingdom Centre

9 Diferencias de la catenaria y la parábola

La catenaria y la parábola son curvas que pueden parecer similares a simple vista, ambas son simétricas respecto a un eje o vértice, y su forma puede ser visualmente parecida en ciertas condiciones, como en arcos o cables bajo tensión moderada. Sin embargo, al analizar su naturaleza matemática y física, se hacen evidentes sus distinciones.
La catenaria resulta de la interacción entre el peso del cable y la tensión, mientras que la parábola proviene de distribuciones de fuerza diferentes, como cargas uniformes o trayectorias de movimiento.
Desde el punto de vista estructural, la catenaria tiene una curvatura que varía a lo largo de la curva, haciéndola más cerrada en el centro y más amplia en los extremos. En cambio, la parábola tiene una curvatura constante, lo que le confiere una forma más uniforme.
La mayor diferencia entre las curvas corresponde a sus respectivas tangentes, en la catenaria el valor de la tangente tiende a la verticalidad mientras que en la parábola este valor tiende a una constante. Esto condiciona que, en la catenaria, para valores infinitos de la y, la x tiende a valores limitados, mientras que en la parábola para los valores infinitos de la y se obtienen valores infinitos de la x.
Estas diferencias se reflejan en sus aplicaciones: la catenaria es clave en diseños donde el peso propio del material juega un papel importante, como en cables colgantes, arcos invertidos o sistemas ferroviarios. Por su parte, la parábola es ideal para estructuras rígidas o aplicaciones ópticas, como reflectores y antenas parabólicas.

derecha

% Parámetros
A = 2; % Constante A
x = linspace(-10, 10, 500); % Rango de valores para x

% Ecuaciones
y_catenaria = A * cosh(x / A); % Ecuación de la catenaria
y_parabola = A + (x.^2) / A;   % Ecuación de la parábola

% Graficar
figure;
plot(x, y_catenaria, 'b-', 'LineWidth', 2); % Graficar catenaria en azul
hold on;
plot(x, y_parabola, 'r--', 'LineWidth', 2); % Graficar parábola en rojo
hold off;

% Personalización del gráfico
title('Catenaria vs Parábola');
legend('Catenaria: y = A cosh(x / A)', 'Parábola: y = A + x^2 / A');
axis tight;

10 Superficie de revolución asociada a la catenaria: Catenoide

El catenoide es una superficie de revolución generada al girar una curva catenaria alrededor de un eje horizontal. Esta superficie es un ejemplo clásico de una superficie mínima, es decir, una superficie cuya curvatura media es igual a cero en todos sus puntos y forma una superficie teórica infinita. Esto implica que el catenoide minimiza el área superficial entre dos bordes dados, una propiedad que lo hace relevante tanto en matemáticas como en aplicaciones físicas y de ingeniería.
El catenoide tiene aplicaciones en diseño estructural debido a su eficiencia en la distribución de tensiones. Es estudiado en geometría diferencial como un caso paradigmático de equilibrio mecánico y eficiencia geométrica. Su relación con la helicoide es particularmente interesante, ya que ambas superficies pueden transformarse una en otra mediante una deformación continua conocida como la transformación de Bonnet.

Representación gráfica del catenoide

% Parámetros
t = linspace(-1, 1, 100); % Valores de t en el intervalo [-1, 1]
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta en [0, 2π]
[T, Theta] = meshgrid(t, theta); % Crear mallas para t y theta

% Coordenadas cilíndricas
R = cosh(T); % Radio r depende de t
Z = T; % Altura z es igual a t
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x1 = r * cos(theta)
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada x2 = r * sin(theta)

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie suave sin bordes
colormap('turbo'); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de Revolución de \gamma(t) = (0, cosh(t), t)');
axis equal; % Proporciones iguales en los ejes
grid on;
view(3); % Vista en 3D

Estructuras donde se usa el catenoide:

Planetario James S. McDonnell, Missouri

Pabellón de Múnich para la Expo 67, Canadá

Estadio Olímpico de Múnich, Alemania

11 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La densidad de la superficie es [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^2+x_{2}^2)x_{3}^2[/math]. Para determinar cómo se distribuye la densidad en la superficie, se utiliza la parametrización del catenoide:
[math]x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)[/math].
Donde [math]u[/math] esta en el intervalo (-1, 1) y v [math][0, 2\pi][/math]
Siendo la densidad [math]f[/math] a lo largo de la superficie:

De este resultado, se deduce que la densidad depende tanto de [math]cosh(u)[/math](que describe la distancia radial al eje de revolución) como de [math]u[/math](la posición a lo largo del eje[math]z[/math]). Es decir, es máxima lejos del eje de revolución y en las regiones superiores, y mínima (o negativa) en las regiones inferiores.

11.1 Masa de la superficie

La masa de la superficie se obtiene integrando la función densidad dada sobre la superficie.
El cálculo es el siguiente: [math]M=∬SfdS[/math] donde [math]S[/math] es la superficie parametrizada. La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas [math](u,v)[/math] como:

Parametrización de la curva: [math]γ(t)=(0,cosh(t),t)[/math]
Con: [math]t∈(-1,1)[/math]

Densidad de la superficie: [math]ρ(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^2+x_{2}^2)x_{3}^2[/math]

Parametrización de la superficie:
[math]x_{1}=cosh(u)·cos(v)[/math]
[math]x_{2}=cosh(u)·sin(v)[/math]
[math]x_{3}=u[/math]
Con: [math]u ∈(-1,1), v ∈(0,2π)[/math]

Operaciones intermedias:
[math]X'u=sinh(u)·cos(v) \vec i + sinh(u)·sin(v) \vec j + \vec k[/math]
[math]X'v= -cosh(u)·sin(v) \vec i +cosh(u)·cos(v) \vec j[/math]
[math]X'u∧X'v=-cosh(u)·cos(v) \vec i -cosh(u)·sin(v) \vec j + sinh(u)·cosh(u) \vec k[/math]
[math]|X'u∧X'v|=cosh^2(u)[/math]
[math]f(\vec X(u,v))=cosh^2(u)u^2[/math]

Integrando:

Método del rectángulo en matlab:

% Número de puntos
N1=100; N2=100;        
% Extremos de los intervalos        
a=-1; b=1; c=0; d=2.*pi;             
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
% Coordenadas de la particición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;     
% Coordenadas del rectángulo       
[uu,vv]=meshgrid(u,v);   
% Funcion
f=uu.^2.*cosh(uu).^4;            
w1=ones(N1+1,1);                 
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);                 
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1

La masa aproximada de la superficie es: 13.5490

12 Bibliografía

-Alejandra. (s. f.). ¿Es o se parece? - Revista Ciencias. https://www.revistacienciasunam.com/es/blog-2/181-revistas/revista-ciencias-31/1683-%C2%BFes-o-se-parece.html

-colaboradores de Wikipedia. (2024, 6 septiembre). Catenoide. Wikipedia, la Enciclopedia Libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenoide#:~:text=Una%20catenoide%20es%20un%20tipo,delimitada%20por%20un%20espacio%20cerrado.

-DECyD UAEMex. (2014, 5 marzo). Geometría de curvas: circunferencia osculatriz [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=gWjVQXsJ9Fk

-Derivando. (2018, 27 junio). CATENARIA: La curva favorita de Gaudí que hace que no se caigan los puentes [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=NnjnlxfB_D8

-Estructuras catenarias. (s. f.). bunny.net. https://wiki-ead.b-cdn.net/images/6/69/Estructura_catenarias_compressed_(1).pdf

-ESTUDIO y APLICACIÓN DE LA CATENARIA - Casiopea. (s. f.). https://wiki.ead.pucv.cl/ESTUDIO_Y_APLICACI%C3%93N_DE_LA_CATENARIA

-Gescovich, G., & Vedoya, D. E. (2023). La curva catenaria como forma natural y su emergencia en la arquitectura. https://portal.amelica.org/ameli/journal/674/6744157006/html/

-Intelecto Matemático. (2022, 31 marzo). Cálculo Integral - Longitud de arco de la catenaria [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=pMW8A7AHHi4

-La catenaria. (s. f.-a). caminos.upm. https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf

-La catenaria. (s. f.-b). Matewiki. https://mat.caminos.upm.es/wiki/La_Catenaria

-Notas y observaciones sobre el tema 1. (s. f.). notastema1.pdf. https://www.ugr.es/~rcamino/docencia/curvasysuperficies16-17/notastema1.pdf

-Superficies. (s. f.). Math.Unidades. https://math.uniandes.edu.co/~jarteaga/coord-calvec/material/cap1-superficies.pdf