Revisión actual del 23:37 8 dic 2024

En este trabajo estudiaremos las coordenadas cilíndricas elípticas, denotadas por [math] (q, ψ, z) [/math]. Estas son útiles en problemas que involucran geometrías elípticas, como el estudio de campos de fuerza en elipses y resolución de ecuaciones en espacios donde hay una simetría elíptica. Su relación con las coordenadas cartesianas [math] (x_1, x_2, x_3) [/math] es:

1 Parametrización de las líneas coordenadas

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas (q,ψ,z) y las coordenadas cartesianas [math] (x_1,x_2,x_3) [/math], podemos encontrar las siguientes parametrizaciones:

• Línea coordenada \(\gamma_q\): Manteniendo \(ψ\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_q (t): \begin{cases} x_1 = 2tcos(ψ) \\ x_2 = 3tsen(ψ) \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
Esta línea describe una recta radial en el plano z=0 que atraviesa el origen, con un ángulo fijo ψ ​

• Línea coordenada \(\gamma_ψ\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(ψ\):

[math] \gamma_ψ (t): \begin{cases} x_1 = 2qcos(t) \\ x_2 = 3qsen(t) \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
Esta línea describe una elipse en el plano z=0 con semiejes 2q y 3q

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(ψ\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z (t): \begin{cases} x_1 = 2qcos(ψ) \\ x_2 = 3qsen(ψ) \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

Esta línea describe una línea recta paralela al eje 𝑧 en una posición fija en el plano [math] x_1 x_2 [/math]

1.1 Gráfica y Código MATLAB

Líneas coordenadas asociadas

% Parámetros
a = 2; 
b = 3; e
qv = [0.5, 1, 1.5, 2]; 
gamma = linspace(0, 2*pi, 100);
gammaradial = [0, pi/6, pi/3, pi/2, pi];
q_max = max(gamma); 

% Configuración de la figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;
title('Líneas coordenadas en coordenadas cilíndricas elípticas');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');

% Dibujar las elipses (líneas con q constante)
for q = qv
    x1 = a * q * cos(gamma);
    x2 = b * q * sin(gamma);
    plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Dibujar las rectas radiales (líneas con phi constante)
for i = gammaradial
    x1 = linspace(0, a * q_max * cos(i), 100);
    x2 = linspace(0, b * q_max * sin(i), 100);
    plot(x1, x2, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
end

% Leyenda
legend('Líneas con q constante (elipses)', 'Líneas con gamma constante (rectas)', 'Location', 'best');
hold off;

2 Expresión campos de velocidad líneas coordenadas

Obtenemos los campos de velocidad derivando las líneas coordenadas:

1. Derivada respecto a \(q\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial q} = 2cosψ, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} = 3senψ, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} = 0, \\ \end{array} \right. \end{aligned} \gamma'_q = 2cosψ \vec{i} + 3senψ \vec{j}. [/math]

2. Derivada respecto a \(ψ\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial ψ} = -2qsenψ, \\ \frac{\partial x_2}{\partial ψ} = 3qcosψ, \\ \frac{\partial x_3}{\partial ψ} = 0, \end{array} \right. \gamma'_ψ = -2qsenψ \vec{i}+ 3qsenψ \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.1 Factores de escala (módulo)

Los factores de escala \( h_q, h_ψ, h_z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

1. [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2} [/math]

2. [math] h_ψ = |\gamma'_ψ| = \sqrt{4qsenψ^2 + 9qcosψ^2} = q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2} [/math]

3. [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.2 Vector tangente

Los vectores tangentes expresados en la base física cartesiana [math] {i,j,k}[/math]:

1. [math]\mathbf{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{1}{\sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2}} \left( 2cosψ, 3senψ, 0 \right)[/math]

2. [math]\mathbf{e}_ψ = \frac{\gamma'_ψ}{h_ψ} = \frac{1}{q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2}} \left( -2qsenψ, 3qcosψ, 0 \right)[/math]

3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.3 Comprobación

Para comprobar que en cada punto los vectores NO forman una base ortonormal, escogemos un punto cualquiera \(\{q, ψ, z\}\) = \(\{1, π/3, 0\}\):

1. \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_ψ\) = [math]\frac{1}{\sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2}} \left( 2cosψ, 3senψ, 0 \right)\cdot\frac{1}{q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2}} \left( -2qsenψ, 3cosψ, 0 \right)=\frac{1}{\sqrt{4/4 + 27/4}} \left( 1, 3\sqrt{3}/2, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{3 + 9/4}} \left( -\sqrt{3}, 3/2, 0 \right)≠0[/math]

Al no cumplir la condición de ortogonalidad, podemos afirmar que los vectores no forman una base ortonormal en todos los puntos.

2.4 Gráfica

Vectores tangentes a líneas coordenadas

a = 2;
b = 3;
% Punto escogido q = 2, gamma = pi/2, z = 0
q = 2;
gamma = pi/2;
z = 0;
x1 = a*q*cos(gamma);
y1 = b*q*sin(gamma);

% Factores de escala
hq = sqrt((a*cos(gamma))^2 + (b*sin(gamma))^2);
hgamma = q* sqrt((a*sin(gamma))^2 + (b*cos(gamma))^2);

% Vectores tangentes en el punto escogido
eq = [a*cos(gamma)/hq, b*sin(gamma)/hq]; 
egamma = [-a*q*sin(gamma)/hgamma,b*q*cos(gamma)/hgamma]; 

% Líneas coordenadas gamma fijo
lineasgamma = [0, pi/6, pi/3, pi/2]; % Valores de psi fijos
lineasq = linspace(0, 2, 100); % Valores de q restringidos al mismo rango

% Inicializar almacenamiento para líneas coordenadas de psi
x1gammafijo = zeros(length(lineasgamma), length(lineasq));
x2gammafijo = zeros(length(lineasgamma), length(lineasq));

for i = 1:length(lineasgamma)
    x1gammafijo(i, :) = a * lineasq * cos(lineasgamma(i));
    x2gammafijo(i, :) = b * lineasq * sin(lineasgamma(i));
end

% Línea coordenada para q fijo (variando psi)
lineagammaqfijo = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de psi para la línea coordenada
x1qfijo = a * q * cos(lineagammaqfijo);
x2qfijo = b * q * sin(lineagammaqfijo);

% Grafico líneas coordenadas
figure;
hold on;

% Líneas coordenadas para varios psi fijos
for i = 1:length(lineasgamma)
    if i == 1
        % Agregar solo una entrada a la leyenda para las líneas coordenadas de psi
        plot(x1gammafijo(i, :), x2gammafijo(i, :), 'r--', 'LineWidth', 1.5, ...
     'DisplayName', 'Líneas coordenadas de \psi');
    else
        plot(x1gammafijo(i, :), x2gammafijo(i, :), 'r--', 'LineWidth', 1.5, 'HandleVisibility', 'off');
    end
end

% Línea coordenada q fija
plot(x1qfijo, x2qfijo, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Línea coordenada q');


% Grafico vectores tangentes en el punto escogido
quiver(x1, y1, 2*eq(1), 2*eq(2), ...
       0, 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.5, 'DisplayName', 'Vector tangente q'); % Vector \hat{e}_q
quiver(x1, y1, 2*egamma(1), 2*egamma(2) , 0, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.5, 'DisplayName', 'Vector tangente \psi'); % Vector \hat{e}_psi
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas y vectores base en coordenadas cilíndricas elípticas');
legend;
axis equal;
grid on;

3 Expresión en coordenadas elípticas en un punto

Consideramos el punto [math] P=(x_1, x_2, x_3) = (2, 0, 0) [/math] y dado que [math]x_1 = aq cos ψ[/math] , [math]x_2 = bq sin ψ [/math] , [math]x_3 = z [/math];

sabiendo que [math] x_1=2 [/math] , [math] x_2=0 [/math] y [math] x_3=0 [/math] obtenemos:

[math] q=1 [/math] , [math] cosψ=1 [/math] , [math] senψ=0 [/math] por tanto [math] ψ=0 [/math]

Entonces [math] P [/math] en coordenas elípticas es:

[math] P = (q,ψ,z) = (1,0,0) [/math]

4 Parametrización de la curva

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas y las coordenadas cartesianas [math] (x_1,x_2,x_3) [/math] , teniendo en cuenta que nos olvidamos de la coordenada [math] x_3 [/math] ya que es constante e igual a cero podemos parametrizar la a curva γ:

La línea coordenada [math] \gamma_ψ [/math] que pasa por [math] P=(q=1,z=0) [/math] tiene:

[math] \gamma_u(ψ):\begin{cases} x_ψ(t)=2cost\\ y_ψ(t)=3sint \end{cases} [/math]

Teniendo en cuenta que t varia en el intervalo [0,2π] para cubrir toda la elipse.

4.1 Gráfico y código Matlab

Líneas coordenadas asociadas

% Definir el rango del ángulo psi
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % 100 puntos entre 0 y 2pi

% Parametrizar las coordenadas cartesianas
q = 1;  % Suposición de que q es constante
x1 = 2 * q * cos(psi);  
x2 = 3 * q * sin(psi);  

% Graficar la curva
figure;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal;  % Misma escala
title('Curva en coordenadas cartesianas');
grid on;

5 Curvatura

Usando la parametrización [math] \gamma(t)=(2cost,3sent): [/math]

Sus derivadas:

[math] \gamma'(t)=(-2sent,3cost), \gamma''(t)=(-2cost,-3sent) [/math]

siendo [math] \gamma'(t)=\vec{v(t)} [/math] y [math] \gamma''(t)=\vec{a(t)} [/math]

El módulo de [math] \gamma'(t) [/math]:

[math] |\gamma'(t)| = \sqrt{(-2sent)^2+(3cost)^2} = \sqrt{4sen^2t+9cos^2t} [/math]

Dada la siguiente función k(t):

[math] k(t) = \frac{||\vec{v(t)}× \vec{a(t)}||}{||\vec{v(t)||}^3} [/math]

Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula:

[math] k(t) = \frac{x'(t)y''(t)-x'(t)y''(t)}{( |\gamma'(t)|)^3} [/math]

Siendo [math] x'(t)=-2sent, x''(t)=-2cost, y'(t)=3cost, y''(t)=-3sent [/math]

5.1 Gráfica y código Matlab

right

Apoyándonos en los cálculos realizados en el apartado anterior:

% Valores de t para parametrización
t = linspace(0, 2*pi, 100); 

% Cálculo de la curvatura
k = @(t) (6*(sin(t).^2-cos(t).^2))./((4*sin(t).^2+9*cos(t).^2).^(3/2));

valores = k(t);

% Graficar la curvatura ajustada
figure;
plot(t, valores, 'k', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
title('Curvatura \kappa(t)');
grid on;

5.2 Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos se calculan con la siguiente fórmula:

[math] k(t) = \frac{6(sen(t)^2-cos(t)^2)}{(4sen(t)^2+9cos(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math]

Sabiendo que los máximos se situarán en los valores [math] t=π/2 , t=3π/2 [/math] y que los mínimos se encuentran en [math] t=0 , t=π , t=2π [/math] ya que t oscila entre los valores 0 y 2π.

Max k(t) = 0.75 Estando en los puntos (0,3) y (0,-3)

Min k(t) = -0.2222 Estando en los puntos (2,0) y (-2,0)

6 Vector tangente y normal

Mediante el siguiente codigo obtenemos el vector normal y tangente respecto a la curva dada:

right

% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q= 1; % Valor fijo de q
t= linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t

% Parametrización de la curva
x1= a*q* cos(t);
x2= b*q* sin(t);

% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1, t); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2, t); % Derivada de x2 respecto a t

% Vectores tangente y normal en un punto específico
Puntot= pi/4; % Punto elegido para t
idx = find(abs(t - Puntot) == min(abs(t - Puntot))); % Índice más cercano

% Tangente en el punto
tangent = [dx1_dt(idx); dx2_dt(idx)];
tangent = tangent / norm(tangent); % Normalizamos

% Normal en el punto (perpendicular al tangente)
normal = [-tangent(2); tangent(1)];

% Coordenadas del punto en la curva
P= [x1(idx); x2(idx)];

% Graficar
figure;
plot(x1, x2, 'm', 'LineWidth', 1.5); hold on;
quiver(P(1), P(2), tangent(1), tangent(2), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
quiver(P(1), P(2), normal(1), normal(2), 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Normal
scatter(P(1), P(2), 50, 'k', 'filled'); % Punto específico

% Etiquetas y configuraciones
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Vectores Tangente y Normal en la curva \gamma');
legend('Curva \gamma', 'Tangente \vec{t}', 'Normal \vec{n}', 'Punto de interés');
grid on;
axis equal;

7 Circunferencia osculatriz

Una circunferencia osculatriz es una circunferencia que, en un punto dado de una curva, se ajusta de la manera más precisa posible a la forma de esa curva.

En este caso vamos a calcular la circunferencia en uno de los puntos máximos de la curvatura, el punto (0,3).

Para calcular la circunferencia osculatriz en el punto (0,3), necesitamos determinar el centro y el radio de la circunferencia que tiene la misma curvatura que la curva en ese punto. Para calcular el radio calculamos la inversa de la curvatura calculada anteriormente.

7.1 Código

Circunferencia osculatriz

% Parámetros de la curva
a = 2;  % Semieje mayor
b = 3;  % Semieje menor

% Definimos el rango de psi (0 a 2*pi)
t = linspace(0, 2*pi, 100);

% Valor de q (puede ajustarse según sea necesario)
q = 1;

% Coordenadas cartesianas
x1 = a * q * cos(t);
x2 = b * q * sin(t);

% Graficar la curva en el plano x1-x2
figure;
plot(x1, x2, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Curva en el plano x1-x2');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal;
grid on;

% Cálculo de la curvatura numérica en el punto de interés
% Tomamos un valor de ψ = pi/2 como ejemplo para el cálculo de curvatura
tval = pi/2;
dx1_dt = -a * q * sin(tval);
dx2_dt = b * q * cos(tval);
ddx1_dt2 = -a * q * cos(tval);
ddx2_dt2 = -b * q * sin(tval);

% Curvatura en el punto de interés
k_max = abs(dx1_dt * ddx2_dt2 - dx2_dt * ddx1_dt2) / (dx1_dt^2 + dx2_dt^2)^(3/2);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1 / k_max;

% Graficar la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
circle_x = R * cos(theta);
circle_y = R * sin(theta);

% Centro de la circunferencia osculatriz (ajustar según el cálculo)
center_x = 0;  % Ajustar según el punto de máxima curvatura
center_y = 3;  % Ajustar según el punto de máxima curvatura

% Graficar la curva y la circunferencia osculatriz
hold on;
plot(center_x + circle_x, center_y + circle_y, 'r--');  % Circunferencia osculatriz
legend('Curva', 'Circunferencia Osculatriz');
axis equal;
grid on;

8 Superficies de nivel

8.1 Superficie 1

La superficie 1 viene dada como \(f_1(q,ψ,z)=q\) teniendo la [math]q=constante[/math], en coordenadas cilíndricas elípticas:

Esto representa un cilindro elíptico paralelo al eje z.

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
q = 1; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Phi, Z] = meshgrid(phi, z);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * q * cos(Phi);
Y = b * q * sin(Phi);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_1(q, \phi, z) = q');
axis equal;
grid on;

8.2 Superficie 2

La superficie 2 viene dada como \(f_2(q,ψ,z)=ψ\) teniendo la [math]ψ=constante[/math].

Esto describe un semiplano que pasa por el eje [math]z[/math] y está inclinado a un ángulo ψ respecto al eje [math]x_1[/math].

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
phi_const = pi/4; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
q = linspace(0, 2, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Q, Z] = meshgrid(q, z);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q * cos(phi_const);
Y = b * Q * sin(phi_const);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_2(q, \phi, z) = \phi');
axis equal;
grid on;

8.3 Superficie 3

La superficie 3 viene dada como \(f_3(q,ψ,z)=z\) teniendo la [math]z=constante[/math].

Esto describe un plano horizontal paralelo al plano [math]x_1x_2[/math].

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
z_const = 2; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
q = linspace(0, 2, 100);
[Phi, Q] = meshgrid(phi, q);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q .* cos(Phi);
Y = b * Q .* sin(Phi);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, z_const * ones(size(X)), 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_3(q, \phi, z) = z');
axis equal;
grid on;

8.4 Superficies regladas

8.4.1 Uso de superficies regladas en la ingeniería

Una superficie reglada es una superficie en el espacio tridimensional que puede generarse mediante el movimiento de una recta a lo largo de una trayectoria en el espacio. Dichas superficies se caracterizan porque por cada punto de la superficie pasa al menos una línea recta que se encuentra completamente contenida en ella.

Con respecto a la ingeniería podemos observar el uso de superficies regladas en diferentes casos como:

• En puentes y cubiertas: Puente Helicoidal de Hong Kong, para garantizar estabilidad y estética.

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• En cúpulas y techos: L'Oceanogràfic, porque es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas.

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• En la arquitectura contemporánea: Museo Guggenheim de Bilbao, para diseños innovadores y funcionales.

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8.4.2 ¿Son superficies regladas las superficies anteriores?

• La superficie 1 al ser un cilindro elíptico, es una superficie reglada porque puede generarse desplazando una recta a lo largo de una curva elíptica en el plano z=0.

• La superficie 2 al ser un semiplano, también es reglada porque cualquier plano es una superficie generada por líneas rectas.

• La superficie 3 al ser un plano horizontal, también es reglada por la misma razón.

9 Información sobre la elipse

El uso de la elipse en la ingeniería es ampliamente utilizado gracias a sus propiedades matemáticas y funcionales y se caracteriza por algunas funciones como:

• La focalización: Las propiedades geométricas de la elipse permiten que cualquier rayo que pase por un foco se refleje hacia el otro. Esto es útil en acústica y óptica.

• La estabilidad estructural: Las formas elípticas distribuyen cargas de manera eficiente, haciéndolas ideales para techos, cúpulas, y puentes.

• La estética y simetría: Su geometría crea diseños elegantes y armónicos, comunes en construcciones arquitectónicas modernas y clásicas.

Construcciones con elipses