Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»

De MateWiki
Saltar a: navegación, buscar
(→‎Código MATLAB y gráfica)
 
(No se muestran 569 ediciones intermedias de 5 usuarios)
Línea 1: Línea 1:
−
{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Alberto Fidalgo<br>Alberto Barca<br>Andrea Carrera<br>Carmen Contreras<br>Enrique Echevarría}}
+
{{ TrabajoED | coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | MARTA CUEVAS GARCÍA <br> ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA <br>       CLAUDIA GÁMEZ CASADO  <br>     CARLOTA SÁNCHEZ VARAS  <br>   Pablo Fernández Arce |}}
  
−
'''Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas'''
+
===Introduccion===
 +
En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por  \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:  
  
−
'''<big>Introducción</big>'''
+
<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
 +
x_2 = uv \\
 +
x_3 = z
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
</center>
  
−
En este trabajo vamos a estudiar....
 
  
 +
Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).
  
−
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) en cartesianas ==
+
Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.
−
=== Código MATLAB y gráfica ===
+
 
−
[[Archivo:LineasCoordenadas.PNG|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordendas.'']]
+
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
 +
 
 +
===Linea coordenada \(\gamma_u\) ===
 +
 
 +
Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
 +
 
 +
<math>
 +
\gamma_u(t): \begin{cases}
 +
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = tv \\
 +
x_3 = z
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
===Linea coordenada \(\gamma_v\) ===
 +
 
 +
Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
 +
 
 +
<math>
 +
\gamma_v(t): \begin{cases}
 +
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = ut \\
 +
x_3 = z
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
===Linea coordenada \(\gamma_z\) ===
 +
 
 +
Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
 +
 
 +
<math>
 +
\gamma_z(t): \begin{cases}
 +
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = uv \\
 +
x_3 = t
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
===Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D ===
 +
 
 +
Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).
 +
 
 +
[[Archivo:Campos2.jpg|700px|sinmarco|centro|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
  
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
−
clear,clc
+
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
−
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
+
clear;clc
−
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
+
 
−
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
+
−
%Dibujo de las lineas coordenadas
+
 
figure;
 
figure;
 
hold on;
 
hold on;
  
−
% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
+
%Vectores interés
 +
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
 +
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
 +
 
 +
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)  
 
v_fixed = 1;
 
v_fixed = 1;
 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
Línea 27: Línea 77:
 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
  
−
% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
+
%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)  
 
u_fixed = 1;
 
u_fixed = 1;
 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
Línea 33: Línea 83:
 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
  
−
% Estilo del gráfico
+
%EditGráfico
−
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
+
title('Líneas coordenadas');
−
xlabel('x_1');
+
xlabel('Eje x_1');
−
ylabel('x_2');
+
ylabel('Eje x_2');
−
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
+
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
 
grid on;
 
grid on;
 
axis equal;
 
axis equal;
Línea 43: Línea 93:
 
}}
 
}}
  
−
== Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) y módulo ==
+
[[Archivo:Cuevas1.jpg|700px|sinmarco|centro|líneas coordenadas en 3 dimensiones]]
−
===Código MATLAB y gráfica ===
+
−
== Matrices de cambio de base ==
+
−
== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
+
−
== Gradiente de un campo escalar==
+
−
== Divergencia de un campo vectorial ==
+
−
== Rotacional de un campo vectorial ==
+
−
== Superficies de nivel==
+
−
== Curvatura de una parábola==
+
−
== Uso de la parábola en ingeniería==
+
−
=== Puentes ===
+
−
=== Elementos arquitectónicos===
+
−
=== Presas ===
+
−
=== Carreteras ===
+
−
=== Ventajas generales de la parábola ===
+
  
 +
{{matlab|codigo=
 +
% Rango de variables
 +
u = linspace(0, 2, 10);
 +
v = linspace(0, 2, 10);
  
 +
% Creación de mallas
 +
[U, V] = meshgrid(u, v);
  
 +
% Línea coordenada de u
 +
u_const = 1; % Fijamos u
 +
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
 +
x2_f1 = u_const .* V;
 +
x3_f1 = 0;
  
 +
% Línea coordenada de v
 +
v_const = 1; % Fijamos v
 +
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
 +
x2_f2 = U .* v_const;
 +
x3_f2 = 0;
  
 +
% Crear una figura combinada
 +
figure;
  
 +
% Superficie de línea coordenada de u
 +
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
 +
hold on;
  
 +
% Superficie de línea coordenada de v
 +
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);
  
−
 
+
% Configuración de la figura combinada
−
 
+
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
−
 
+
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
−
[[Categoría:Teoría de Campos]]
+
axis equal;
−
[[Categoría:TC24/25]]
+
grid on;
 +
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
 +
hold off;
 +
}}

Revisión actual del 14:06 3 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores MARTA CUEVAS GARCÍA
ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA
CLAUDIA GÁMEZ CASADO
CARLOTA SÁNCHEZ VARAS
Pablo Fernández Arce
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introduccion

En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]


Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

2.1 Linea coordenada \(\gamma_u\)

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.2 Linea coordenada \(\gamma_v\)

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.3 Linea coordenada \(\gamma_z\)

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

2.4 Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D

Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones 

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;


líneas coordenadas en 3 dimensiones 

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Coordenadas_cilíndricas_parabólicas_(grupo_21)&oldid=96185»