Diferencia entre revisiones de «La Cicloide»

Revisión actual del 19:45 15 dic 2023

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]

1 Representación de la curva

A partir de su parametrización y con la ayuda de matlab obtenemos la imagen de la curva.

% Definición de parámetros
  a=0;  b=2*pi(); h=0.1;
  t=a:h:b; R=1;
  % Definición de la curva
  x=R*(t-sin(t));
  y=R*(1-cos(t));
  plot(x,y,"Color","b");
  % Leyenda de la gráfica
  legend("Cicloide");
 % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 title('Curva Cicloide.')
 grid on 
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);
 axis("equal")

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración [math]γ′′(t)[/math] no tiene por que ser ortogonal a [math]γ′(t)[/math] en general. Pero sí lo es si la curva [math]γ(t)[/math] está parametrizada por longitud de arco (es decir, si [math]|γ|´(t)| = 1[/math])

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]

[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]

2.2 Representación de los vectores

% Parámetros 
  t= 0:pi()/10:2*pi;
  x= t-sin(t);
  y= 1-cos(t);
  % Velocidad y aceleración 
  Vel1 = 1-cos(t);
  Vel2 = sin(t);
  Ace1 = sin(t);
  Ace2 = cos(t);
 % Gráfica 
 figure
 hold on
 plot (x ,y ,'r') ; 
 quiver(x,y,Vel1,Vel2,1,"Color","c") ; 
 quiver(x,y,Ace1,Ace2,1,"color","m") ; 
 axis equal
 hold off;
 % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);

3 Longitud de la curva

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]

4 Vector tangente y normal

4.1 Definición

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.

El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0. Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que [math]\vec n(t) [/math] y [math]γ′′(t) [/math] son múltiplos el uno del otro. Claramente [math]\vec n(t) \neq \vec 0 [/math] , por lo que se tiene que cumplir [math] γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) [/math]

Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:

Vector tangente: [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}[/math]

Vector normal: [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} [/math]

4.2 Representación de los vectores

A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal

% Definición de los vectores normales y tangentes 
  t= 0:pi()/10:2*pi; %Parámetro
  x= t-sin(t);
  y= 1-cos(t);
  % Velocidades/tangentes/normales 
  Vel1= 1-cos(t);
  Vel2= sin(t);
 mod= sqrt(Vel1.^2+Vel2.^2);
 t1= Vel1./mod
 t2= Vel2./mod
 n1= t2;
 n2= -t1;
 %Representación
 figure
 axis equal
 hold on
 plot (x ,y ,'b') ;
 quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ; 
 quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ; 
  grid on
 hold off;
 title('Curva, tangente y normal' )
  % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);
 axis("equal")

5 Curvatura de la curva

5.1 Definición

La curvatura [math]κ(t)[/math] indica que alrededor del punto [math]γ(t)[/math] la curva que mejor aproxima a la curva [math]γ[/math] es la circunferencia de curvatura [math] κ(t)[/math](y por tanto de radio [math]\frac{1}{|κ(t)|}[/math])
La curvatura se obtiene a través de la siguiente fórmula:

[math]κ(t)=\frac {x´(t)y´´(t) - x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2 + y´(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{((1-cost))((cost))-((sent))((sent))}{((1-cos(t)^2)(sen(t)^2))^\frac{3}{2}}=[/math] -1,67 radianes

5.2 Representación de la curvatura

Representamos la curvatura de la cicloide en la gráfica del siguiente apartado.

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Definición

La circunferencia osculatriz a una curva en un punto dado es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz en un punto de la curva son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.

6.2 Centro y radio de la circunferencia

Siendo [math]P = γ(0.3)[/math] , es decir, [math] t = 0.3[/math] hallamos el centro y radio a partir de las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(t-sint,1-cost)+\frac{1}{\frac{((1-cost))((cost))-((sent))((sent))}{((1-cos(t)^2)(sen(t)^2))^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} ) =(0.3057) \vec i - (1.3794\times10^-5) \vec j[/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{((1-cost))((cost))-((sent))((sent))}{((1-cos(t)^2)(sen(t)^2))^\frac{3}{2}}|}= -0.5978[/math] radianes

6.3 Representación de la circunferencia osculatriz

% Definimos la función
x_func = @(t) t - sin(t);
y_func = @(t) 1 - cos(t);

% Parámetros
t_values = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de la cicloide
x_values = arrayfun(x_func, t_values);
y_values = arrayfun(y_func, t_values);

% Circunferencia osculatriz en el punto t=0.3
t_evaluado = 0.3;
P = [feval(x_func, t_evaluado), feval(y_func, t_evaluado)]; % Punto para t=0.3
n = [-sin(t_evaluado)/sqrt(2-2*cos(t_evaluado)), (1-cos(t_evaluado))/sqrt(2-2*cos(t_evaluado))]; % Vector normal

% Curvatura y radio de la curvatura
k = -1.672933093;
R = 1 / k;
fprintf('El radio de la curvatura es %f \n', R);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + R * n;
fprintf('El centro de la circunferencia osculatriz es (%f, %f) \n', Q);

% Coordenadas de la circunferencia osculatriz
tt = linspace(0, 2*pi, 40);
xx = R * cos(tt) + Q(1);
yy = R * sin(tt) + Q(2);

% Dibujamos
figure;
hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'linewidth', 1);
plot(P(1), P(2), '*k', 'linewidth', 1);
plot(xx, yy, 'b');
axis equal;
hold off;
title('Circunferencia osculatriz.');

7 La Cicloide

Es una curva plana descrita como la trayectoria de un punto fijado de una circunferencia que rueda sobre una recta horizontal sin deslizamiento. Teniendo en cuenta que el punto de contacto de la circunferencia es una recta horizontal en un instante inicial, al comenzar el rodamiento observamos que el punto describe un arco hasta que se vuelve a posar sobre la recta. El arco estará encerrado en un área plana sobre la recta horizontal en el intervalo [math] [0, 2πr] [/math], siendo [math]r[/math] el radio de la circunferencia descrita.

Movimiento por cicloide en la deformación en frío del acero AISI 1045 empleando rodillo:
Según Fernández y otros investigadores, el proceso de deformación plástica superficial en frío por rodillo del acero AISI 1045 se realiza en la relación de contacto que se establece entre el rodillo y la pieza, entre ambos detallan una curva llamada cicloide descrita por el rodillo y que, según Martynenko, la cinemática entre ambos elementos está caracterizada por ángulos que permiten describir el movimiento entre ellos; ángulos que se corresponden con el elemento de mayor dureza. Mediante el método de los elementos finitos (Fernández et al. 2012a) también se puede abordar el estudio del comportamiento de la deformación plástica superficial con rodillo del acero AISI 1045, a través del mismo se realiza la descripción numérica del fenómeno. En este estudio el autor expone que, luego del deslizamiento del rodillo sobre la pieza, bajo una presión controlada, el flujo de material, debajo de la capa deformada, excede el punto de fluencia de la superficie de la pieza no endurecida, donde se crea una capa de metal consolidada, que provoca el aumento de las propiedades funcionales en la superficie.

8 Aplicación en la ingeniería de la Cicloide

La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:

Primera imagen: Puente de la Alcolea(Huelva)
Segunda imagen: Puente de la risa (Murcia)

9 Representación de la superficie reglada

La Cicloide en un espacio [math]\mathbb{R}^3[/math] la podemos observar mediante la siguiente parametrización:

[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)[/math]

% Define el número de puntos en cada dirección
n = 30;
% Crea un vector 'a' de 30 puntos entre 0 y 1
a = linspace(0, 1, n);
% Crea un vector 'b' de 30 puntos entre 0 y 2*pi
b = linspace(0, 2*pi, n);
% Crea una malla de puntos U y V usando 'u' y 'v'
[A, B] = meshgrid(a, b);
% Parametrización de la cicloide en R^3
x = A;                   
y = B - sin(B);          
z = 1 + cos(B);          
% Crea una figura
figure;
% Grafica la superficie reglada en R^3 usando 'x', 'y' y 'z'
surf(x, y, z);
% Hace que los ejes tengan la misma escala
axis equal;
% Agrega un título a la gráfica
title('SUPERFICIE REGLADA');

9.1 Información y fotografias

Forma de un "Half pipe"

10 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

Se supone la densidad de la superficie:

[math] f(x,y,z)=cos(y) [/math]

[math] M= \int_{u}^{u}\int_{v}^{v}f(\vec r(u,v)) |(\vec r´_{u})\times(\vec r´_{v})|dudv=\int_{v}^{v}\int_{u}^{u}cos(v)dv= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2π}cos(v-sinv) = \int_{0}^{2π}cos(v-sen(v))\sqrt{2(1-cos(v))}dv [/math]

% Número de subdivisiones para la aproximación
N = 400;

% Límites de la parametrización en v
a = 0;
b = 2*pi;

% Tamaño del intervalo de subdivisión
h = (b - a) / N;

% Vector v que representa los puntos de subdivisión
v = a:h:b;

% Definición de la función de densidad f(x1, x2, x3)
f = (cos(v - sin(v)) .* sqrt(2 - 2 .* cos(v)))';

% Ponderación de los valores de f con los pesos de la regla del trapecio
w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2;
w(N + 1) = 1/2;

% Cálculo de la masa de la superficie mediante la regla del trapecio
result = h * w' * f;

Como resultado del código obtenemos 1.37

11 Referencias

Definición de la Cicloide https://idus.us.es/bitstream/handle/11441/63117/Corcho%20Guti%C3%A9rrez%20Fernando%20Manuel%20TFG.pdf?sequence=1
Sintaxis LaTeX https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
Puente de la Alcolea https://www.minube.com/rincon/puente-de-alcolea-a209611
Puente de la Risa https://www.flickr.com/photos/urugallu/52214466277
Half pipe https://curiosoperoinutil.com/2006/03/02/consultorio-cpi-la-forma-de-un-half-pipe/
Deformación del acero http://scielo.sld.cu/pdf/mg/v33n1/mg06117.pdf
Vector tangente y normal https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-c%c3%a1lculo-en-espa%c3%b1ol/section/11.8/
Circunferencia osculatriz https://www.wikiwand.com/es/Circunferencia_osculatriz