Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (grupo 13)»

Revisión actual del 00:40 15 dic 2023

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 13, que se centra mayoritariamente en el estudio de la clotoide. La clotoide es una curva plana formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. Además, desarrollaremos una superficie reglada a partir de una hélice dada. En ambos casos nos enfocaremos en sus estudios matemáticos, así como en su relación con la ingeniería. Para realizar los cálculos con precisión, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE. Los dos programas nos ayudarán a representar gráficamente los elementos pedidos, para así entender los cálculos de manera más visual.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave.

Dibujo de la curva

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Gráfica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

Para ello usaremos las siguientes fórmulas:

• Para el vector velocidad:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

• Para el vector aceleración:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores velocidad y aceleración 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica 
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; 
% Vector velocidad representado con el color rojo
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; 
% Vector aceleración representado con el color verde
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; 
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

• El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

• El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Curva vector tangente y normal

% Dibujo de la Clotoide

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la Clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);

% Calculamos el vector tangente y normal

% Vector tangente
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
% Vector normal
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);

% Gráfica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
% Vector tangente corresponde con el color rosa
quiver(x,y,T1,T2,'m');
% Vector normal corresponde con el color verde
quiver(x,y,N1,N2,'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] [/math]

Dibujo de la curvatura

% Definimos los Parámetros
t=linspace(0,4,70)
k=t;

% Dibujamos
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el punto [math] P=\gamma (1) [/math], es decir [math] t=1 [/math], hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:

• El radio:

[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1 [/math]

• El centro:

[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math]

[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]

Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:

[math] c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) [/math]

[math] c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] [/math]

Circunferencia osculatriz

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Vector de parámetros
% Calcular las coordenadas de la clotoide
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);

% Circunferencia oscculatriz
t1= linspace (0, 1, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
% Definimos la integral para t=1
x1= arrayfun (x1, 1); 
y1= arrayfun (y1, 1);
% Punto de la curva
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
% Vector normal
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Curvatura y radio de la curvatura
k=1;
R=1/1;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
% Centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)

% Parametrización 
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
 
% Dibujamos
figure
hold on
%clotoide
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
% Circunferencia osculatriz
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

1.7 Definiciones e información de interés

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.

La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.

Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

1.7.1 Imágenes de estructuras

La clotoide está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

Enlace de carreteras

Nudo vial

Vía de tren

Montaña rusa

2 Superficie reglada. La hélice

En esta segunda parte del trabajo nos centraremos en la superficie reglada pedida. Una superficie reglada es aquella superficie generada por una recta de dirección variable que se mueve sobre una curva. En nuestro caso la curva se trata de una hélice. Consideramos la parametrización de la hélice de [math] \mathbb{R}^3 [/math] en coordenadas cartesianas como:

2.1 Dibujo de la superficie

Dibujaremos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director [math] \vec e_{p} [/math]. Para ello seguiremos utilizando Octave.

Superficie reglada

% Definimos los parámetros
u=linspace(0,1,100);
v=linspace(0,4*pi,100);

% Mallado
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mx=cos(Mv)+(Mu.*cos(Mv));
My=sin(Mv)+(Mu.*sin(Mv));
Mz=Mv;

% Dibujamos
surf(Mx,My,Mz)
shading flat

Un ejemplo de superficie reglada es:

Aparcamiento

2.2 Masa de la superficie reglada

Suponemos que la densidad de la superficie previamente calculada se rige por la función: [math] f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/math]

La masa será igual a: [math] \int_{\phi }f=\int\int f(\phi (u,v))\left |\phi _{u} \times \phi _{v} \right |dvdu [/math]

• La parametrización [math] \phi (u,v) [/math] de la superficie es igual a:

[math] x=cosv+u\cdot cosv [/math]
[math] y=sinv+u\cdot sinv [/math]
[math] z=v [/math]

Para [math] u \epsilon [0,1] [/math] y [math] v \epsilon [0,4 \pi] [/math]

• Módulo de los vectores velocidad:

Obtenemos los vectores velocidad a partir de la siguiente parametrización:

[math] \phi _{u}=cosv\vec i+ senv\vec j [/math] y [math] \phi _{v}=(-senv-u\cdot senv)\vec i + (cosv+u\cdot cosv)\vec j + \vec k [/math]

Calcularemos el producto vectorial, y posteriormente el módulo:

• Distribución de la densidad a lo largo de la superficie:

La densidad de este ejercicio viene dada por: [math] f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/math] . Cambiando de coordenadas cartesianas a cilíndricas podremos ver con mayor claridad cómo esta se distribuye a lo largo de la superficie. El cambio quedaría de la siguiente forma: [math] f(\rho,\theta,z)=10-\rho^{2} [/math]. Dando valores a [math] \rho [/math] podemos ver cómo a medida que nos alejamos de la superficie ( y en consecuencia, del eje) la densidad disminuye. Sabiendo esto, podemos afirmar que a mayor radio (mayor [math] \rho [/math]), menor densidad tendrá la superficie reglada.

• Densidad en función de la parametrización:

[math] f(\phi (u,v))= 10- (cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9 [/math]

• Cálculo de la masa:

[math] masa = \int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=4 \pi} (9-u^{2}-2u)\cdot \sqrt{1+(1+u)^{2}} dvdu=171.787 [/math]

Para calcular la masa de forma exacta utilizamos el método del trapecio. Este programa lo hemos obtenido de Matewiki.

% Método del trapecio 
% Número de puntos
N1=200;
N2=100;

% Límites de integración
a=0;
b=1;
c=0;
d=(4*pi);

h1=(b-a)/N1;
h2=(d-c)/N2;

% Coordenadas partición
u=a:h1:b;
v=c:h2:d;

% Coordenadas del rectángulo
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);

% Función
f=(9-(Mu.^2)-2.*Mu).*(sqrt(1+(1+Mu).^2));

% Vectores
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1+1)=1/2;

w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2+1)=1/2;

% Resultados
resul=h1*h2*w2'*f*w1;
fprintf('La masa de la supercicie reglada es igual a %.3f \n',resul);

3 Bibliografía

La Documentación utilizada para la realización de este trabajo es la siguiente:
https://www.abc.es/ciencia/abci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html?ref=https%3A%2F%2Fwww.abc.es%2Fciencia%2Fabci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html
https://trazoide.com/clotoide/
https://www.ingenieros-civiles.es/actualidad/actualidad/1/1192/ingenieria-civil-para-dummies-que-son-las-clotoides
https://www.microsiervos.com/archivo/ingenieria/loopings-montanas-rusas-circulares-clotoides-fuerzas-g.html