Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (grupo 13)»

Revisión actual del 00:40 15 dic 2023

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 13
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Domínguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 13, que se centra mayoritariamente en el estudio de la clotoide. La clotoide es una curva plana formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. Además, desarrollaremos una superficie reglada a partir de una hélice dada. En ambos casos nos enfocaremos en sus estudios matemáticos, así como en su relación con la ingeniería. Para realizar los cálculos con precisión, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE. Los dos programas nos ayudarán a representar gráficamente los elementos pedidos, para así entender los cálculos de manera más visual.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math]

Contenido

1 La Clotoide
2 Superficie reglada. La hélice
- 2.1 Dibujo de la superficie
- 2.2 Masa de la superficie reglada
3 Bibliografía

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave.

Dibujo de la curva

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Gráfica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math]

Para ello usaremos las siguientes fórmulas:

Para el vector velocidad:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Para el vector aceleración:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores velocidad y aceleración 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica 
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; 
% Vector velocidad representado con el color rojo
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; 
% Vector aceleración representado con el color verde
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; 
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Curva vector tangente y normal

% Dibujo de la Clotoide

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la Clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);

% Calculamos el vector tangente y normal

% Vector tangente
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
% Vector normal
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);

% Gráfica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
% Vector tangente corresponde con el color rosa
quiver(x,y,T1,T2,'m');
% Vector normal corresponde con el color verde
quiver(x,y,N1,N2,'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] [/math]

Dibujo de la curvatura

% Definimos los Parámetros
t=linspace(0,4,70)
k=t;

% Dibujamos
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el punto [math] P=\gamma (1) [/math], es decir [math] t=1 [/math], hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:

El radio:

[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1 [/math]

El centro:

[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math]

[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]

Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:

[math] c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) [/math]

[math] c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] [/math]

Circunferencia osculatriz

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Vector de parámetros
% Calcular las coordenadas de la clotoide
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);

% Circunferencia oscculatriz
t1= linspace (0, 1, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
% Definimos la integral para t=1
x1= arrayfun (x1, 1); 
y1= arrayfun (y1, 1);
% Punto de la curva
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
% Vector normal
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Curvatura y radio de la curvatura
k=1;
R=1/1;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
% Centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)

% Parametrización 
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
 
% Dibujamos
figure
hold on
%clotoide
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
% Circunferencia osculatriz
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

1.7 Definiciones e información de interés

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.

La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.

Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

1.7.1 Imágenes de estructuras

La clotoide está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

Enlace de carreteras

Nudo vial

Vía de tren

Montaña rusa

2 Superficie reglada. La hélice

En esta segunda parte del trabajo nos centraremos en la superficie reglada pedida. Una superficie reglada es aquella superficie generada por una recta de dirección variable que se mueve sobre una curva. En nuestro caso la curva se trata de una hélice. Consideramos la parametrización de la hélice de [math] \mathbb{R}^3 [/math] en coordenadas cartesianas como:

[math] \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cos(t),sen(t),t), t∈(0,4) [/math]

2.1 Dibujo de la superficie

Dibujaremos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director [math] \vec e_{p} [/math]. Para ello seguiremos utilizando Octave.

Superficie reglada

% Definimos los parámetros
u=linspace(0,1,100);
v=linspace(0,4*pi,100);

% Mallado
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mx=cos(Mv)+(Mu.*cos(Mv));
My=sin(Mv)+(Mu.*sin(Mv));
Mz=Mv;

% Dibujamos
surf(Mx,My,Mz)
shading flat

Un ejemplo de superficie reglada es:

Aparcamiento

2.2 Masa de la superficie reglada

Suponemos que la densidad de la superficie previamente calculada se rige por la función: [math] f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/math]

La masa será igual a: [math] \int_{\phi }f=\int\int f(\phi (u,v))\left |\phi _{u} \times \phi _{v} \right |dvdu [/math]

La parametrización [math] \phi (u,v) [/math] de la superficie es igual a:

[math] x=cosv+u\cdot cosv [/math]
[math] y=sinv+u\cdot sinv [/math]
[math] z=v [/math]

Para [math] u \epsilon [0,1] [/math] y [math] v \epsilon [0,4 \pi] [/math]

Módulo de los vectores velocidad:

Obtenemos los vectores velocidad a partir de la siguiente parametrización:

[math] \phi _{u}=cosv\vec i+ senv\vec j [/math] y [math] \phi _{v}=(-senv-u\cdot senv)\vec i + (cosv+u\cdot cosv)\vec j + \vec k [/math]

Calcularemos el producto vectorial, y posteriormente el módulo:

[math] \phi _{u} \times \phi _{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ cosv & senv & 0 \\ -senv-u\cdot senv & cosv+u\cdot cosv & 1 \end{vmatrix}=senv \vec i -cosv \vec j + (1+u) \vec k [/math]

[math] \left |\phi _{u} \times \phi _{v} \right |= \sqrt{1+(1+u)^{2}} [/math]

Distribución de la densidad a lo largo de la superficie:

La densidad de este ejercicio viene dada por: [math] f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/math] . Cambiando de coordenadas cartesianas a cilíndricas podremos ver con mayor claridad cómo esta se distribuye a lo largo de la superficie. El cambio quedaría de la siguiente forma: [math] f(\rho,\theta,z)=10-\rho^{2} [/math]. Dando valores a [math] \rho [/math] podemos ver cómo a medida que nos alejamos de la superficie ( y en consecuencia, del eje) la densidad disminuye. Sabiendo esto, podemos afirmar que a mayor radio (mayor [math] \rho [/math]), menor densidad tendrá la superficie reglada.

Densidad en función de la parametrización:

[math] f(\phi (u,v))= 10- (cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9 [/math]

Cálculo de la masa:

[math] masa = \int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=4 \pi} (9-u^{2}-2u)\cdot \sqrt{1+(1+u)^{2}} dvdu=171.787 [/math]

Para calcular la masa de forma exacta utilizamos el método del trapecio. Este programa lo hemos obtenido de Matewiki.

% Método del trapecio 
% Número de puntos
N1=200;
N2=100;

% Límites de integración
a=0;
b=1;
c=0;
d=(4*pi);

h1=(b-a)/N1;
h2=(d-c)/N2;

% Coordenadas partición
u=a:h1:b;
v=c:h2:d;

% Coordenadas del rectángulo
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);

% Función
f=(9-(Mu.^2)-2.*Mu).*(sqrt(1+(1+Mu).^2));

% Vectores
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1+1)=1/2;

w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2+1)=1/2;

% Resultados
resul=h1*h2*w2'*f*w1;
fprintf('La masa de la supercicie reglada es igual a %.3f \n',resul);

3 Bibliografía

La Documentación utilizada para la realización de este trabajo es la siguiente:
https://www.abc.es/ciencia/abci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html?ref=https%3A%2F%2Fwww.abc.es%2Fciencia%2Fabci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html
https://trazoide.com/clotoide/
https://www.ingenieros-civiles.es/actualidad/actualidad/1/1192/ingenieria-civil-para-dummies-que-son-las-clotoides
https://www.microsiervos.com/archivo/ingenieria/loopings-montanas-rusas-circulares-clotoides-fuerzas-g.html

Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (grupo 13)»

Revisión actual del 00:40 15 dic 2023

Contenido

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

1.3 Cálculo longitud de la curva

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

1.5 Cálculo de la curvatura

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

1.7 Definiciones e información de interés

1.7.1 Imágenes de estructuras

2 Superficie reglada. La hélice

2.1 Dibujo de la superficie

2.2 Masa de la superficie reglada

3 Bibliografía

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca <br/> Hugo Gutiérrez Iscar <br/> Nicole Di Natale Berdeal <br/> Berta Ramos Dominguez }}
+{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca <br/> Hugo Gutiérrez Iscar <br/> Nicole Di Natale Berdeal <br/> Berta Ramos Domínguez }}
-En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
+El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 13, que se centra mayoritariamente en el estudio de la clotoide. La clotoide es una curva plana formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. Además, desarrollaremos una superficie reglada a partir de una hélice dada. En ambos casos nos enfocaremos en sus estudios matemáticos, así como en su relación con la ingeniería. Para realizar los cálculos con precisión, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE. Los dos programas nos ayudarán a representar gráficamente los elementos pedidos, para así entender los cálculos de manera más visual.
+<br />
 <br />
 Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 <br />
-<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
+<br />
+<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),    t∈(0,4) </math> </center>
 <br />
 <br />
-== Dibujo de la curva ==
+=='''''La Clotoide'''''==
-Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
+=== '''Dibujo de la curva''' ===
-[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|<font color="00 CE D1">'''DIBUJO DE LA CURVA'''</font> <br />]]
+Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave.
+[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' <br />]]
 {{matlab|codigo=
 % Definimos los Parámetros
@@ Línea 21: / Línea 24: @@
 x = arrayfun(x, t);
 y = arrayfun(y, t);
-% Grafica de la clotoide
+% Gráfica de la clotoide
 figure;
 plot(x, y);
@@ Línea 31: / Línea 34: @@
 }}
-== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==
+=== '''Cálculo de vectores velocidad y aceleración''' ===
-A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
+Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
 <br />
-Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j  \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
+<br />
+<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center>
+<br />
+Para ello usaremos las siguientes fórmulas:
+<br />
+*Para el vector velocidad:
+<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j  \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
+<br />
+*Para el vector aceleración:
+<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j  \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
-Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j  \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
+[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Vectores velocidad y aceleración''' <br />]]
-[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|<font color="00 CE D1">'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN'''</font> <br />]]
 {{matlab|codigo=
 % Definimos los Parámetros
 t = linspace(0, 4, 50);
-% Definimos la funcion
+% Definimos la función
 x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
 y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
@@ Línea 50: / Línea 60: @@
 x = arrayfun(x, t);
 y = arrayfun(y, t);
-% Vectores Velocidad y aceleración
+% Vectores velocidad y aceleración
 V1 = cos(t.^2/2);
 V2 = sin(t.^2/2);
@@ Línea 59: / Línea 69: @@
 hold on
 plot (x ,y ,'r') ;
-quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
+% Vector velocidad representado con el color rojo
-quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
+quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ;
+% Vector aceleración representado con el color verde
+quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ;
 axis equal
 hold off
@@ Línea 68: / Línea 80: @@
 ylabel("Eje y");
 }}
+<br />
+=== '''Cálculo longitud de la curva''' ===
-== Cálculo longitud de la curva ==
+Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
+<br />
-A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:
+<br />
 <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t)  \right |= \int_{a}^{b}  \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>
+<br />
+<br />
-== Cálculo de los vectores tangente y normal ==
+=== '''Cálculo de los vectores tangente y normal''' ===
-A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
+Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 <br />
-El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t)  \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 <br />
+*El vector tangente:
+<math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t)  \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 <br />
-El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j  </math>
+<br />
+*El vector normal:
+<math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j  </math>
-[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|<font color="00 CE D1">'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL'''</font> <br />]]
+<br />
+<br />
+[[File:Tangenteynormal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Curva vector tangente y normal''' <br /> ]]
 {{matlab|codigo=
+% Dibujo de la Clotoide
 % Definimos los Parámetros
 t = linspace(0, 4, 50);
-% Definimos la funcion
+% Definimos la función
 x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
 y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
-% Calcular las coordenadas de la clotoide
+% Calcular las coordenadas de la Clotoide
 x=arrayfun(x, t);
 y=arrayfun(y, t);
-%vectores tangente y normal
-norma=sqrt(1+4*t.^2);
+% Calculamos el vector tangente y normal
-T1=linspace(0,4,n)./norma;
-T2=2*t./norma;
+% Vector tangente
-% Grafica
+norma=1;
+T1 = cos(t.^2/2)./norma;
+T2 = sin(t.^2/2)./norma;
+% Vector normal
+N1= -sin((t.^2)./2);
+N2= cos ((t.^2)./2);
+% Gráfica
 figure;
 hold on;
 plot(x,y,'r'); %curva
-quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
+% Vector tangente corresponde con el color rosa
-quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
+quiver(x,y,T1,T2,'m');
+% Vector normal corresponde con el color verde
+quiver(x,y,N1,N2,'g');
 axis equal
 hold off;
-title ('Curva, tangente y normal.')
+title ('Curva, tangente y normal.')
 % Etiquetado de ejes
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
-axis equal;
 }}
-== Cálculo de la curvatura ==
+=== '''Cálculo de la curvatura''' ===
-La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente formula:
+Estudiaremos la curvatura en el punto <math> γ(t) </math> que viene dada por la siguiente fórmula:
-<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j)^{\frac{3}{2}}} </math>
+<br />
+<br />
+<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2  + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>  <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
+<br />
+<br />
+[[File:Curvaturabien.jpg|thumb|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curvatura'''  <br />]]
+{{matlab|codigo=
+% Definimos los Parámetros
+t=linspace(0,4,70)
+k=t;
-En nuestro caso, queda:
+% Dibujamos
+figure
+plot(t,k,'b');
+axis equal
+title('Curvatura.');
-== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==
+% Etiquetado de ejes
+xlabel('Eje X');
+ylabel('Eje Y');}}
-Dado el Punto <math> P=\gamma (1) </math>, es decir <math> t=1 </math>, hallamos el centro y el radio utilizando las siguientes fórmulas:
 <br />
-El radio: <math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1 </math>
+=== '''Cálculo de la circunferencia osculatriz''' ===
+Dado el punto <math> P=\gamma (1) </math>, es decir <math> t=1 </math>, hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:
+<br />
+<br />
+*El radio:
+<math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1 </math>
+<br />
 <br />
-El centro: <math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) ; Q(t)= (Q_{X},Q_{y}); Q(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+1/1\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) ; \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+1/1\cdot cos(\frac{t^2}{2})]; </math> <br /> <math> Q(1)=[0+(-sen(\frac{1}{2})) ; 0+cos(\frac{1}{2})];  Q(1)= [-sen(\frac{1}{2}) ; cos(\frac{1}{2})] </math>
+*El centro:
+<math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) </math>
+<br />
+<br />
+<math> Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] </math>
+<br />
+<br />
+Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:
+<br />
+<br />
+<math> c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) </math>
+<br />
+<br />
+<math> c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] </math>
+<br />
-[[File:Apartado6ej11.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|<font color="00 CE D1">'''CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ'''</font> <br />]]
+[[File:circulitog13.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Circunferencia osculatriz''' <br />]]
 {{matlab|codigo=
-% Definimos la funcion
+% Definimos los Parámetros
+t = linspace(0, 4, 2000);
+% Definimos la función
 x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
 y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
-% Parámetros
 % Vector de parámetros
 % Calcular las coordenadas de la clotoide
-x = arrayfun(x, t);
+xc = arrayfun(x, t);
-y = arrayfun(y, t);
+yc = arrayfun(y, t);
-%circunferencia oscculatriz
-%punto para t=1
-P=[x(1),y(1)]
-%vector normal
-n=[-sin(1/2),cos(1/2)]
-%curvatura y radio de la curvatura
+% Circunferencia oscculatriz
+t1= linspace (0, 1, 20);
+x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
+y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
+% Definimos la integral para t=1
+x1= arrayfun (x1, 1);
+y1= arrayfun (y1, 1);
+% Punto de la curva
+P=[ x1, y1 ];
+fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
+% Vector normal
+n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
+% Curvatura y radio de la curvatura
 k=1;
 R=1/1;
 fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
+% Centro de la circunferencia osculatriz
-%centro de la circunferencia osculatriz
 Q=P+R*n;
-fprintf('El radio de la curvatura es %f,%f \n',Q);
+Qx=x1+R*(-sin(1/2));
+Qy=y1+R*(cos(1/2));
+fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
+% Parametrización
 tt=linspace(0,2*pi,40);
-xx=R*cos(tt)+Q(1);
+xx=R*cos(tt)+Qx;
-yy=R*sin(tt)+Q(2);
+yy=R*sin(tt)+Qy;
-%dibujamos
+% Dibujamos
 figure
 hold on
-plot(x,y,'m','linewidth',1)
+%clotoide
+plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
 %punto p
-plot(P(1), P(2),'*k','linewidth',1)
+plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
+% Circunferencia osculatriz
 plot(xx,yy,'b')
-axis equal
 hold off
 title('Circunferencia osculatriz.');
-}}
+% Etiquetado de ejes
+xlabel('Eje X');
+ylabel('Eje Y');
+axis equal;
+}}
-== La Clotoide ==
+=== '''Definiciones e información de interés''' ===
 La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
@@ Línea 185: / Línea 265: @@
 <br />
 Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.
+<br />
-== Imágenes de estructuras ==
+==== '''Imágenes de estructuras''' ====
 La clotoide está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.
@@ Línea 192: / Línea 272: @@
 <br />
-[[Archivo:clotoide_carretera_1.jpeg|600px|centro]]
+[[Archivo:clotoide_carretera_1.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Enlace de carreteras''' <br />]]
 <br />
-[[Archivo:carretera_clotoide_2.jpeg|600px|centro]]
+[[Archivo:carretera_clotoide_2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Nudo vial''' <br />]]
 <br />
-[[Archivo:clotoide_tren_bien.jpg|600px|centro]]
+[[Archivo:clotoide_tren_bien.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Vía de tren''' <br />]]
 <br />
-[[Archivo:montaña_rusa.jpeg|600px|centro]]
+[[Archivo:montaña_rusa.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Montaña rusa''' <br />]]
-== Superficie reglada ==
+== '''''Superficie reglada. La hélice''''' ==
+En esta segunda parte del trabajo nos centraremos en la superficie reglada pedida. Una superficie reglada es aquella superficie generada por una recta de dirección variable que se mueve sobre una curva. En nuestro caso la curva se trata de una hélice.
+Consideramos la parametrización de la hélice de <math> \mathbb{R}^3 </math> en coordenadas cartesianas como:
+<br />
+<br />
+<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cos(t),sen(t),t), t∈(0,4) </math> </center>
+<br />
-Consideramos la hélice de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
+=== '''Dibujo de la superficie''' ===
+Dibujaremos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director <math> \vec e_{p} </math>. Para ello seguiremos utilizando Octave.
 <br />
-<math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cos(t),sen(t),t), t∈(0,4) </math> dibujamos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director <math> \vec e_{p} </math>
-[[File:Apartado9grupo13.jpg|420px|miniaturadeimagen|right|<font color="00 CE D1">'''SUPERFICIE REGLADA'''</font> <br />]]
+[[File:Apartado9grupo13.jpg|420px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' <br />]]
 <br />
 <br />
 {{matlab|codigo=
+% Definimos los parámetros
 u=linspace(0,1,100);
 v=linspace(0,4*pi,100);
+% Mallado
 [Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
 Mx=cos(Mv)+(Mu.*cos(Mv));
@@ Línea 219: / Línea 308: @@
 Mz=Mv;
+% Dibujamos
 surf(Mx,My,Mz)
 shading flat
@@ Línea 229: / Línea 319: @@
 <br />
 Un ejemplo de superficie reglada es:
-[[Archivo:parkingclotoide.jpeg|600px|centro]]
+[[Archivo:parkingclotoide.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Aparcamiento''' <br />]]
+<br />
+<br />
-== Masa de la superficie reglada ==
+=== '''Masa de la superficie reglada''' ===
+Suponemos que la densidad de la superficie previamente calculada se rige por la función: <math> f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} </math>
+<br />
+<br />
-== Bibliografía==
+La masa será igual a: <math> \int_{\phi }f=\int\int f(\phi (u,v))\left |\phi _{u} \times \phi _{v}   \right |dvdu </math>
+<br />
+<br />
+*La parametrización <math> \phi (u,v) </math> de la superficie es igual a:
+<br />
+<math> x=cosv+u\cdot cosv </math>
+<br />
+<math> y=sinv+u\cdot sinv </math>
+<br />
+<math> z=v </math>
+<br />
+<br />
+Para <math> u \epsilon [0,1] </math> y <math> v \epsilon [0,4 \pi] </math>
+<br />
+<br />
+*Módulo de los vectores velocidad:
+<br />
+Obtenemos los vectores velocidad a partir de la siguiente parametrización:
+<br />
+<br />
+<math> \phi _{u}=cosv\vec i+ senv\vec j </math>  y  <math> \phi _{v}=(-senv-u\cdot senv)\vec i + (cosv+u\cdot cosv)\vec j + \vec k </math>
+<br />
+<br />
+Calcularemos el producto vectorial, y posteriormente el módulo:
+<br />
+<br />
+<center> <math> \phi _{u} \times \phi _{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ cosv & senv & 0 \\ -senv-u\cdot senv & cosv+u\cdot cosv & 1 \end{vmatrix}=senv \vec i -cosv \vec j + (1+u) \vec k </math>
+<br />
+<math> \left |\phi _{u} \times \phi _{v}   \right |= \sqrt{1+(1+u)^{2}} </math> </center>
+<br />
+<br />
+*Distribución de la densidad a lo largo de la superficie:
+<br />
+La densidad de este ejercicio viene dada por: <math> f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} </math> . Cambiando de coordenadas cartesianas a cilíndricas podremos ver con mayor claridad cómo esta se distribuye a lo largo de la superficie. El cambio quedaría de la siguiente forma: <math> f(\rho,\theta,z)=10-\rho^{2} </math>. Dando valores a <math> \rho </math> podemos ver cómo a medida que nos alejamos de la superficie ( y en consecuencia, del eje) la densidad disminuye. Sabiendo esto, podemos afirmar que a mayor radio (mayor <math> \rho </math>), menor densidad tendrá la superficie reglada.
+<br />
+<br />
+*Densidad en función de la parametrización:
+<br />
+<math> f(\phi (u,v))= 10- (cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9 </math>
+<br />
+<br />
+*Cálculo de la masa:
+<br />
+<math> masa = \int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=4 \pi} (9-u^{2}-2u)\cdot \sqrt{1+(1+u)^{2}} dvdu=171.787 </math>
+<br />
+<br />
+Para calcular la masa de forma exacta utilizamos el método del trapecio. Este programa lo hemos obtenido de Matewiki.
+{{matlab|codigo=
+% Método del trapecio
+% Número de puntos
+N1=200;
+N2=100;
+% Límites de integración
+a=0;
+b=1;
+c=0;
+d=(4*pi);
+h1=(b-a)/N1;
+h2=(d-c)/N2;
+% Coordenadas partición
+u=a:h1:b;
+v=c:h2:d;
+% Coordenadas del rectángulo
+[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
+% Función
+f=(9-(Mu.^2)-2.*Mu).*(sqrt(1+(1+Mu).^2));
+% Vectores
+w1=ones(N1+1,1);
+w1(1)=1/2;
+w1(N1+1)=1/2;
+w2=ones(N2+1,1);
+w2(1)=1/2;
+w2(N2+1)=1/2;
+% Resultados
+resul=h1*h2*w2'*f*w1;
+fprintf('La masa de la supercicie reglada es igual a %.3f \n',resul);
+}}
+== '''''Bibliografía''''' ==
+La Documentación utilizada para la realización de este trabajo es la siguiente:
+<br />
+https://www.abc.es/ciencia/abci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html?ref=https%3A%2F%2Fwww.abc.es%2Fciencia%2Fabci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html
+<br />
+https://trazoide.com/clotoide/
+<br />
+https://www.ingenieros-civiles.es/actualidad/actualidad/1/1192/ingenieria-civil-para-dummies-que-son-las-clotoides
+<br />
+https://www.microsiervos.com/archivo/ingenieria/loopings-montanas-rusas-circulares-clotoides-fuerzas-g.html
 [[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
 [[Categoría:Teoría de Campos]]
 [[Categoría:TC23/24]]