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Revisión actual del 21:34 7 dic 2023

Para este artículo, nos disponemos a analizar y a visualizar, los distintos efectos que fijan los campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular, centrado en el origen, comprendido entre los radios 1 y 2, estando en el plano y≥x. Supondremos que tenemos dos cantidades físicas. Una de ellas, la temperatura [math] T(x,y) = log ((x-2)^2 + y^2 + 1) [/math], y la otra serán los desplazamientos, definidos por: [math] \vec u(ρ,θ) = (log(ρ)/2) · sen(2θ- \Pi/2) [/math], siendo (x,y) la posición de cada punto, y [math] \vec r_0(ρ,θ) [/math], el vector de posición previo a la deformación.

1 MALLADO DE LOS PUNTOS INTERIORES DEL SÓLIDO

Para poder representar de forma correcta el mallado de la placa plana, vamos a proceder a parametrizar la superficie usando coordenadas cilíndricas. Nos apoyaremos en Matlab para este, y posteriores visualizaciones de gráficas. Elegimos un paso de muestreo de 2/10 o 0.2 para x e y, y representaremos la placa en un rectángulo de [-3,3]x[-1,3]. Insertamos también una imagen del mallado que resulta.

2 CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA

A continuación, veremos las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas, dado por la función T definida al inicio, que serán representadas, usando el comando "contour", y veremos sus máximos. Como vemos, usaremos una gama cromática de colores que nos indican las zonas cálidas (amarillos) y las zonas más frías (azules). Como podemos ver en la imagen, disponemos de dos gráficas. La situada a la izquierda representa el campo escalar, mientras que la situada a la derecha, representa las curvas del nivel del campo.

3 GRADIENTE DE LA TEMPERATURA

En este apartado, calcularemos el gradiente que representa la variación de temperatura. Derivaremos la temperatura T(x,y) respecto de cada variable Hemos de apreciar que el gradiente de T, ∇(T), es ortogonal a las curvas de nivel.

4 CAMPO DE VECTORES

Mostraremos, en este apartado, el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa. Aunque nos piden los resultados en t=0, nuestra función no depende de t. Mostraremos igualmente el campo de desplazamientos.

5 SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO

El desplazamiento del sólido dado por el campo de vectores [math] \vec u [/math] . Lo representamos antes y después de que se produzca, así como una comparación entre ambos usando el comando "subplot". Comparando las gráficas, podemos comprobar que la zona central superior de la placa es la que más se desplaza y por el contrario, en la parte inferior por los laterales de la placa el desplazamiento es mínimo.

6 DIVERGENCIA DEL CAMPO

Primero calculamos analíticamente la divergencia del campo ū (en t = 0), cuando es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento y lo podemos observar en esta gráfica:

Además, aportamos los datos que nos arroja Matlab en cuanto al máximo y mínimo de la divergencia, siendo el máximo = 0.3444 y el mínimo = -0.2984.

7 ROTACIONAL DEL CAMPO

Calculo del módulo del rotacional del campo ū (en t = 0). Aplicamos la fórmula y tenemos que el rotacional es [math] \mathbb{\nabla \times \vec u} = {1 \over ρ} \; \begin{vmatrix} {\vec e_ρ} & {ρ· \vec e_θ} & {\vec e_z}\\ {\partial \over \partial ρ} & {\partial \over \partial θ} & {\partial \over \partial z}\\ {-log(ρ)*cos(2θ) \over 2} & {0} & {0}\\ \end{vmatrix} [/math] = [math] -{1 \over ρ}·{\partial \over \partial θ}[{-log(ρ)*cos(2θ) \over 2}]·{\vec e_z} [/math]

Siendo el resultado final = [math] {-log(ρ)*sin(2θ) \over ρ}·{\vec e_z} [/math], y si hacemos el módulo, nos queda, [math] |{\nabla \times \vec u}| = {log(ρ)*sin(2θ) \over ρ} [/math]

8 ECUACIÓN DEL TENSOR DE TENSIONES σ CON LOS COEFICIENTES DE LAMÉ

Tras haber realizado los cálculos analíticos, y suponiendo que los coeficientes de Lamé, "λ" y "μ", son iguales a 1, hemos llegado a la matriz resultante:

[math] \mathbb{σ} = \; \begin{pmatrix} {-cos(2θ)*(ln(ρ)+3) \over 2ρ} & {ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ} & {0}\\ {ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ} & {-cos(2θ)*(3*ln(ρ)+2) \over 2ρ} & {0}\\ {0} & {0} & {-cos(2θ)*(ln(ρ)+1) \over 2ρ} \\ \end{pmatrix} [/math]

Una vez obtenida dicha matriz σ, hemos de calcular las tensiones normales en la dirección [math] \vec i, \vec j, \vec k, [/math], coincidiendo los resultados de elementos de la diagonal principal con los calculados. Es decir, [math] \vec i · σ · \vec i [/math] coincide con el elemento σ(1,1) de la matriz; así como [math] \vec j · σ · \vec j [/math] coincide con el elemento σ(2,2) de la matriz y [math] \vec k · σ · \vec k [/math] coincide con el elemento σ(3,3) de la matriz. Mostramos a continuación el código de Matlab, así como las 3 gráficas, habiendo usado el comando subplot. Hemos añadido, como apartado extra, la dirección de las tensiones según los ejes, pudiendo apreciarse en la 3 imagen de este apartado.

9 TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL

Esta vez, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal [math] \vec i [/math], siendo la fórmula a aplicar: [math] \ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| [/math]. Aunque nos piden mostrar el valor de t=0, como ya hemos comentado anteriormente, nuestra función no depende de t. Vemos primero las fórmulas, y después, la codificicación en Matlab, seguido de las gráficas.

[math] \ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| [/math] = [math] \mathbb\; \begin{pmatrix} {-cos(2θ)*(ln(ρ)+3) \over 2ρ} & {ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ} & {0}\\ {ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ} & {-cos(2θ)*(3*ln(ρ)+2) \over 2ρ} & {0}\\ {0} & {0} & {-cos(2θ)*(ln(ρ)+1) \over 2ρ} \\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} - (\frac{-cos(2θ)*(ln(ρ)+3)}{2ρ}) · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ln(ρ)*sin(2θ) \over ρ \\ 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

10 TENSIÓN DE VON MISES

La tensión de Von Mises se define por la siguiente formula:

Fórmula de Von Mises

donde \(\ σ_{1}\), \(\ σ_{2}\), \(\ σ_{3}\) son los autovalores de σ, también conocidos como tensores principales. La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que es un indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

Vamos a proceder a representar dicha tensión con la ayuda del software MatLab. Podremos observar gracias a la imagen que se adjunta a continuación que en el punto (0,2) se alcanza el mayor valor de la tensión de Von Mises.

11 CAMPO DE FUERZAS QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA

Vamos a proceder a calcular [math] \vec F [/math] usando la ecuación de Lamé equivalente:

Ecuación de Lamé

Donde [math] λ [/math] y [math] μ [/math] son conocidos como los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades del material. En este caso vamos a considerar como 1 ambas constantes. En la grafica siguiente podemos apreciar como actúa la fuerza sobre el solido.

12 CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD - PLACA RECTANGULAR PLANA

Para este artículo, vamos a ver las distintas aplicaciones matemáticas que simbolizan fenómenos físicos, sobre una placa rectangular plana en dimensión 2, comprendida entre los intervalos [-1,1] x [0,12] para las variables x e y. Procedemos a definir dos cantidades físicas que van a ayudar a su modelización:

• Por un lado la temperatura T: [math] T(x,y) = log(1+x^2) + log(1+(y-4)^2) [/math];
• Por otro lado, la posición de cada punto tras la deformación, definida como [math] \vec r_d(x,y) [/math] = [math] \vec r_0(x,y) [/math] + [math] \vec u(x,y) [/math], siendo [math] \vec r_0(x,y) [/math] el vector de posición antes de la deformación, y [math] \vec u(x,y) [/math] el desplazamiento por la acción de una fuerza externa.

Adicionalmente, vamos a suponer que esa fuerza externa aplicada ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos representados por el vector: [math] \vec u(x,y,t) [/math] = [math] \vec a [/math]·sin(Π·k·([math] \vec d [/math]·[math] \vec r_0(x,y) [/math] - v·t), donde [math] \vec a [/math] es la amplitud, k > 0 es el nº de onda y [math] \vec d [/math] es un vector unitario que marca a dirección de propagación y v es la velocidad de propagación. La variable t es usada para definitir el tiempo, pero usaremos t=0 en la apartados iniciales, luego la fuerza aplicada es [math] \vec u(x,y,t) [/math] = [math] \vec a [/math]·sin(Π·k·([math] \vec d [/math]·[math] \vec r_0(x,y) [/math] ). Como supondremos que es una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud, [math] \vec a [/math] tomará el valor de [math] \frac{1}{3} \vec i [/math], k tendrá valor unitario (k=1) y [math] \vec d [/math] será igual a [math] \frac{1}{3} \vec j [/math]

13 MALLADO DE LOS PUNTOS INTERIORES DEL SÓLIDO

El primer paso que hemos de hacer es condicionar un paso de muestreo, en este caso h=[math] \frac{2}{10} [/math]. Una vez decidido el valor, procedemos a representar nuestro sólido (la placa rectangular plana). Definimos los ejes [-1,1] x [0,12]. El paso de muestro es el nº de divisiones por eje que se hacen, luego el sólido queda dividido en 5 partes. Finalmente, diseñamos una malla que contiene una superficie con todas las combinaciones de los vectores x e y, similar una matriz con las dimensiones las de los vectores de las variables.

%Definimos el paso de muestreo y las variables
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Se realiza el mallado.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%figure(1)
% Se representa el mallado con tres ejes, de ellos uno nulo.
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Mallado de la placa');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
% Se cambia a vista cenital
view(2)

14 CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA. GRADIENTE DE T ∇(T).

En este apartado, primeramente, vamos a calcular y representar las curvas de nivel de la temperatura (usando el comando contour entre otros). Veremos en que punto o puntos es máxima, y a continuación, vamos a representar el gradiente de T ∇(T). En la imagen de la izquierda, hemos situado las curvas de nivel de la Temperatura, y en la parte derecha, el gradiente de T.

%Definimos las variables 
h = 2/10;
x=(-1:h:1);
y=(0:h:12);
% Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T= log(1 + X.^2) + log(1 + (Y - 4).^2);
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura');
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Establecemos el límite de los ejes
axis([-1,1,0,12]); 
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,T);
subplot(1,2,2); 
contour(X,Y,T,50);
%añadimos la barra de colores
colorbar
axis equal

15 CAMPO DE FUERZAS [math] \vec F [/math] CAUSANTES DEL DESPLAZAMIENTO USANDO LA ECUACIÓN DE LA ELASTICIDAD LINEAL

Definimos la función [math]\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}·sen(\frac{Π}{3}-v·t)·\vec{i}[/math]. Lo primero que hemos de hacer, es calcular la segunda derivada, luego:

• Primera derivada: [math]\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=\frac{1}{3}·v·cos(\frac{Π}{3}·y - v·t)[/math]
• Segunda derivada: [math]\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=\frac{-v^2}{3}·sen(\frac{Π}{3}·y - v·t)[/math]

Ahora que tenemos calculado la segunda derivada, tenemos que calcular el ∇·σ, que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ. Luego, tenemos que calcular el tensor de tensiones del apartado 8. Para ello:

• Calculo el gradiente de [math]\vec u [/math] (∇ [math]\vec u [/math]) = [math] \mathbb{∇ \ltmath\gt\vec u [/math]} = \; \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x} & {\partial u_1 \over \partial y} & {\partial u_1 \over \partial z}\\ \end{pmatrix} </math>

16 MÓDULO DE DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL VARIABLE SEGÚN EL TIEMPO

Para este apartado, con los cálculos realizados del apartado 11, vamos a calcular el módulo de desplazamiento transversal, (en este caso, según la dirección [math] \vec i [/math] ), según el intervalo de tiempo t ∈ [0,10]. Vamos también a representarlo gráficamente en Matlab, viendo los distintos valores numéricos (así como también analíticamente). Hemos adjuntado 3 imágenes, ya que hemos dado 3 valores distintos al vector linspace: 5, 10 y 100 puntos; y en cada una de las imágenes, podemos ver como a medida que aumentan los puntos, tenemos una gráfica totalmente distinta, más nítida y más similar a una función senoidal.

%Defino la velocidad=1, para tener solo una variable que es el tiempo t
v = 1;
%Definir la función en función del tiempo
t = linspace(0, 10, 100); %Hemos usado también 5 y 10 puntos, así como 100 puntos
u = (1/3) * sin(pi/3 - v * t); % Nuestra función u
%Creamos el gráfico
figure;
%Trazar la función en función del tiempo
plot(t,u); 
title('Función u en función del tiempo');
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Valor de la función');
grid on; % Mostrar la cuadrícula