Diferencia entre revisiones de «Trabajo grupo 4»

Revisión actual del 20:11 25 nov 2025

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\geq 0[/math]. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura [math]T(x,y)[/math] y los desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (x,y)[/math].

1 Introducción

Durante este trabajo expondremos los cambios que sufre una placa cuando está sometida a distintas situaciones como temperaturas, desplazamientos o rotaciones.

2 Mallado de la placa

Con lo definido anteriormente, comenzaremos dibujando con ayuda del programa Matlab el mallado que representa los puntos interiores del sólido; consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como podemos observar en el mallado el aro no está completamente cerrado en la coordenada [math]\theta =\pi [/math]. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, éste será mayor que [math]\theta [/math], por lo que se omite.

Código Matlab

Mallado de la Placa

3 Temperatura

Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación es [math]T(x,y)=log(y+2)[/math]. Como ya conocemos la representación de la placa, ahora podremos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido debido a la temperatura que la afecta.

Código

Temperatura en la Placa

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma [math]\nabla T[/math]. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.

Recordamos la fórmula general del cálculo de [math]\nabla T[/math] en coordenadas cartesianas [math]\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } [/math].

Particularizándolo a nuestra temperatura [math]T(x,y)=log(y+2)[/math], obtenemos:
[math]\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow [/math] [math] \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } [/math]

Código

Gradiente de Temperatura en la Placa

4 Campo de Desplazamiento

Queremos considerar un campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] con las siguientes características:

• Los puntos situados en [math]\rho =1[/math] no sufren desplazamiento.
  
• El [math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].
  

Para poder calcular el campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } [/math] debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cilíndricas: [math]\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad [/math]

Particularizamos el cálculo del rotacional a nuestro campo. una vez calculado lo igualamos a [math]\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].
Nota: Como sabemos que nuestro rotacional solo depende de [math]{ \overrightarrow { g } }_{ z }[/math], no tenemos en cuenta [math]{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math].

[math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }+\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial z } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math][math]\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].

Calculamos nuestra función [math]f\left( \rho \right)[/math] .
[math]\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C[/math].

[math]{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } [/math].
[math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
Imponemos la primera condición la cual nos dice que los puntos situados en [math]\rho =1[/math] no tienen desplazamiento. Esto quiere decir que nuestro campo [math]\overrightarrow { u } [/math], en [math]\rho =1[/math], es cero.

[math]\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0[/math].
[math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].

Una vez obtenido el campo de desplazamientos, a continuación podemos ver el sólido antes y después de aplicar [math]\overrightarrow { u } [/math].

Código

Campo de vectores en la malla

Código

Sólido antes y después del desplazamiento

5 Divergencia

Al tener el vector [math]\overrightarrow { u } [/math] podremos aprovechar para calcular el cambio de densidad que afecta a nuestra placa en cada punto, es decir su divergencia. Ésta la calcularemos a continuación:
Nuestro campo anteriormente calculado: [math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
Recordamos la fórmula general:
[math]\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \left( \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \rho } +\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \theta } +\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial z } \right) [/math].

Ahora calculamos la divergencia particularizada a nuestro campo:

[math]\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial \rho } +\frac { \partial \left( \rho \cdot \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) }{ \partial \theta } +\frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial z } \right) =\frac { 1 }{ \rho } \cdot \left( 0 \right) [/math].

[math]\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0[/math]
Al realizar el cálculo de la divergencia podemos observas que nuestro resultado a dado cero, por lo que no afecta a nuestra placa.

Código

Divergencia en la Placa

6 Rotacional

Con una de las características que nos des daban para calcular en vector de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } [/math], nos dan el rotacional [math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math]. Recordamos que el rotacional que es el vector perpendicular al plano que gira sobre si mismo. Lo aplicaremos a nuestra placa para observar como lo afecta.
Tenemos:
[math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math] que ya nos lo daban

Y su módulo será: [math]\left| \nabla x\overrightarrow { u } \right| =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } [/math]

Código

Rotacional en la Placa

7 Tensiones

Definimos [math]\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } [/math]. Recordamos que el vector [math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
[math]\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad [/math][math]g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }[/math].

Aplicado a nuestro campo tendríamos: [math]\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) [/math].

[math]\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z)
[math]\frac { \partial { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } ={ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].

[math]\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta }=\frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \left( -\rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math]
[math]\frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } ={ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=-\rho { \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math].

Para poder resolver la divergencia nos apoyamos en los símbolos de Christoffel, donde han establecido una matrices para las coordenadas cilíndricas que son las siguientes:
[math]{ \Gamma }^{ \rho }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ \theta }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \rho } & 0 \\ \frac { 1 }{ \rho } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ z }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) [/math].

Donde podemos ahora sustituir en la gráfica y finalmente tenemos: [math]\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10{ \rho }^{ 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) [/math].

Siguiendo definiendo [math]\epsilon ({ \overrightarrow { u } })[/math], teniendo [math]\nabla \overrightarrow { u } [/math]. Ahora encontramos tu traspuesta [math]\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }[/math]:
[math]\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 \\ \frac { -\rho ^{ 2 }+\rho }{ 10\rho ^{ 2 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) [/math].

[math]\epsilon \left( \overrightarrow { u } \right) =\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla \overrightarrow { u } }^{ t } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 20 } \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) [/math]

Tenemos la tensión definida por [math]\sigma =\lambda \nabla \cdot \overrightarrow { u } 1+2\mu \epsilon [/math], donde sabemos que [math]\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0[/math] y [math]\mu =\lambda =1[/math]

Por lo que finalmente la tensión será [math]\sigma =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) [/math].

[math]\sigma =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math].
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje [math]{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math],[math]{ \overrightarrow { g } }_{ \theta },{ \overrightarrow { g } }_{ z }[/math]
[math]{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0\quad\quad,\quad \quad { \overrightarrow { g } }_{ z }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ z }=0\quad \quad y\quad \quad \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } \cdot \sigma \cdot \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } =0[/math].

A partir de la tensión obtenida anteriormente, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math], es decir [math]\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }-\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| [/math].

Tenemos la tensión [math]\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].

Por lo calculado anteriormente sabemos que [math]\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0[/math].
Entonces nos quedaría [math]\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\quad \frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }[/math].

Desarollándolo: [math]\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].

[math]\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
[math]\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta } } =\frac { 1 }{ 10 } \rho [/math].
Nota: Recordamos que [math]{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }[/math]

En la siguiente gráfica observamos la tensión de Von Mises, la cual viene dada por la siguiente fórmula: [math]{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } [/math], donde sabemos que [math]{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }y { \sigma }_{ 3 }[/math] son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de [math]\sigma[/math] .

Código Matlab

Código Matlab

Tensiones de Von Mises

Tensiones de Von Mises

8 Masa

Al tener la densidad de la placa, que es: [math]d(x,y,z)=1+{ e }^{ -\left| x \right| /{ \left( y+1 \right) }^{ 2 } }[/math]. Podemos calcular la masa total mediante la siguiente integral:
[math]\int _{ S }^{ }{ f\cdot dS\quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| \frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial u } \left( u,v \right) x\frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial v } \left( u,v \right) \right| dudv } } \quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| dudv } [/math].

Con la parametrización de nuestra placa: [math]\begin{cases} \rho =u \\ \theta =v \\ z=0 \end{cases}\qquad \begin{matrix} u\quad \epsilon \left( 1,3 \right) \\ v\quad \epsilon \left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \end{matrix}[/math].
Cambiando nuestra densidad de cartesianas a cilíndrica: [math]d\left( \rho ,\theta \right) =-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } }[/math].
Y sabiendo que [math]\left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| =\rho =u[/math].
Finalmente tenemos nuestra integral:
[math]\int _{ 1 }^{ 3 }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( (-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } })\rho \right) dudv } } [/math]
Al ser una integral complicada para realizarla a mano, nos apoyaremos de los métodos numéricos para aproximar la integral.

Código Matlab

Que nos da como resultado m=0.094601