Diferencia entre revisiones de «Enunciado del trabajo 1»
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'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.''' | '''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.''' | ||
| − | Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por | + | [[Archivo:Mallado1.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa rectangular]] |
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| + | Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por: | ||
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\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). | \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). | ||
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| − | Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda | + | Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: |
<math> | <math> | ||
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), | \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), | ||
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Se pide: | Se pide: | ||
| − | # Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura | + | # Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo <math>h=1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>. |
# La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>. Dibujarla. | # La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>. Dibujarla. | ||
# Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas. | # Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas. | ||
| − | # Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(y)}{10}\vec i</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. | + | # Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. |
# Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot. | # Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot. | ||
# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. | # Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. | ||
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional? | # Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional? | ||
| − | # Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula | + | # Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula: |
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\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, | \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, | ||
</math> | </math> | ||
| − | donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math>. | + | donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math>. |
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla. | # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla. | ||
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla. | # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla. | ||
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| + | [[Categoría:Teoría de Campos]] | ||
Revisión actual del 12:54 4 dic 2013
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math].
Se pide:
- Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo [math]h=1/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].
- La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por [math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math]. Dibujarla.
- Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.
- Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
- Si [math]\vec u[/math] determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
- Calcular la [math]\nabla \cdot \vec u[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
- Calcular [math]|\nabla \times \vec u|[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
- Definamos [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula:
[math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec i[/math], es decir [math]\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i[/math] y las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec j[/math], es decir [math]\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j[/math].
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec i[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec j[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.
