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Línea 1: |
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| − | === Introducción, hipótesis inciciales ===
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| − | En el desarrollo de una epidemia, se distinguen dos tipos de individuos. Los que ya han contraído la enfermedad, que llamaremos I(t); y los que son susceptibles de contraerla, a los que llamaremos S(t). Donde t es el tiempo.
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| − | Se dan dos hipótesis para realizar este estudio:
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| − | 1. La población de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas.
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| − | 2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
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| − | Realizaremos el estudio gracias al siguiente sistema de ecuaciones en el que se muestran las variaciones de ambos individuos respecto al tiempo t:
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| − | \begin{matrix}
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| − | \frac{dS}{dt} = -aSI \\
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| − | \frac{dI}{dt} = aSI-bI-cI
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| − | \end{matrix}
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| − |
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| − | donde a,b y c son parámetros. Los interpretamos como:
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| − | \frac{dI}{dt} es la variacion de la población infectada. Esta población únicamente se ve alterada por:
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| − | * aSI ( con signo positivo), donde SI es la interacción entre ambas poblaciones.
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| − | * -bI (con signo negativo) que son los que fallecen. Por lo tanto, 'b' es la tasa de fallecimiento.
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| − | * -cI (con signo negativo) que son los que se han curado. Es decir, 'c' es la tasa de curación.
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| − | Para interpretar 'a' observamos el sistema y la segunda hipótesis:
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| − | \frac{dI}{dt} = (aS-b-c)I
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| − | aS serán los individuos susceptibles convertidos en infectados. Por tanto, a es la tasa de contagio en la población susceptible.
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| − | === Resolución del PVI mediante los métodos de Euler y Trapecio ===
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| − | Antes de pasar a la resolución completa del sistema, lo simplificaremos asignando el valor "cero" a la variable que representa a los susceptibles de contraer la enfermedad (S=0). Con ello, reducimos el sistema a una única ecuación:
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| − | ¡Germán!Mete ecuación!
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| − | Mediante sentencias Matlab y la asignación a los coeficientes a,b y c de los valores constantes requeridos, resolvemos la ecuación diferencial simplificada aplicando los métodos de Euler y Trapecio:
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | %I(t): Población de individuos infectados
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| − | %S(t: Población susceptible de ser infectada
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| − | %los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
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| − | %fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
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| − | clear all clc
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| − | format long
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| − | h=0.1;
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| − | %Inicializo los vectores t,i,z asignando a la primera posición los valores
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| − | %z0 ,t0
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| − | t0=0;
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| − | z0=2000;
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| − | t(1)=t0;
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| − | z(1)=z0;
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| − | i=1;
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| − | %Defino las ctes.b,c
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| − | b=0.3;
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| − | c=0.01;
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| − | %Bucle while: calculara valores de z(i) mientras z(i)>500
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| − | while z(i)>500
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| − | z(i+1)=(z(i)*(1-(h/2)*(b+c)))/(1+h/2*(b+c));%trapecio
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| − | t(i+1)=t(i)+h;
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| − | i=i+1;
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| − | end
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| − | [t',z']
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| − | disp('Tiempo final:')
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| − | disp(t(end));
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| − | plot(t,z,'r');
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| − | legend('Población infectada(Trapecio)','Location','best');%Optimizar
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| − | }}
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| − | === Resolución del modelo completo mediante Euler ===
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| − | En este apartado resolveremos el sistema completo y analizaremos las gráficas para diferentes valores de las variables. Los valores iniciales que tomamos son (S<sub>0</sub>, I<sub>0</sub>)=(800, 20) y (S<sub>0</sub>, I<sub>0</sub>)=(10000, 40); el tiempo estará en el intervalo [0,40] y como pasos de discretización temporal (h) 10<sup>-1</sup>, 10<sup>-2</sup>, 10<sup>-3</sup>, 10<sup>-4</sup>.
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| − | === Resolución del modelo completo mediante Runge-Kutta de orden 4 ===
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | %Trabajo Ecuaciones diferenciales
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| − | % Considerando:
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| − | %I(t): Población de individuos infectados
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| − | %S(t: Población susceptible de ser infectada
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| − | %los parámetros a=Tasa de contagio entre S e I,b=Tasa de
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| − | %fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
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| − | clear all clc
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| − | format long
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| − | S0=input('introduce un valor inicial S0:');
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| − | I0=input('introduce un valor inicial I0:');
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| − | h=input('introduce tamano de paso:');
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| − | a=0.003;
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| − | b=0.3;
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| − | c=0.01;
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| − | %Intervalo de tiempos
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| − | t0=0;
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| − | tN=40;
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| − | %Calculamos número de subintervalos
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| − | N=(tN-t0)/h;
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| − | %Creo un vector t
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| − | t=t0:h:tN;
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| − | %preparo vectores S,I para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
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| − | S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
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| − | I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
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| − | S(1)=S0;
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| − | I(1)=I0;
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| − | for i=1:N
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| − | K1=-a*S(i)*I(i);
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| − | K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
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| − | K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
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| − | K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
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| − | S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);%Runge-Kutta orden 4 para S
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| − | K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
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| − | K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
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| − | K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
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| − | K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
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| − | I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);%Runge-Kutta orden 4 para I
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| − | end
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| − | [t',S',I']
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| − | hold on
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| − | plot (t,S)
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| − | plot(t,I,'r')
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| − | legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
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| − | hold off
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| − |
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| − | }}
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| − | ===Resolución del modelo completo mediante Heun con a(t) una función dependiente del tiempo===
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | %Trabajo Ecuaciones diferenciales
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| − | % Considerando:
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| − | %I(t): Población de individuos infectados
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| − | %S(t: Población susceptible de ser infectada
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| − | %los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
| |
| − | %fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
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| − | clear all clc
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| − | format long
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| − | S0=1600;
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| − | I0=40;
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| − | h=input('introduce tamano de paso:');
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| − | b=0.3;
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| − | c=0.01;
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| − | %Intervalo de tiempos
| |
| − | t0=0;
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| − | tN=40;
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| − | %Calculamos número de subintervalos
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| − | N=(tN-t0)/h;
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| − | %Creo un vector t
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| − | t=t0:h:tN;
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| − | %preparo vector y para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
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| − | S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
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| − | I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
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| − | S(1)=S0;
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| − | I(1)=I0;
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| − | for i=1:N
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| − | K1=-(0.003./(1+t(i)))*(S(i)*I(i));
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| − | K2=-(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h);
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| − | K3=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));
| |
| − | K4=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h);
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| − | S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2);
| |
| − | I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4);
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| − | end
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| − | [t',S',I']
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| − | hold on
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| − | plot(t,S);
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| − | plot(t,I,'r');
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| − | legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
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| − | hold off
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| − | }}
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| − | === Calibración del parámetro 'a' en base a una experiencia previa===
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| − | {{matlab|codigo=
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| − |
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| − | clear clc
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| − | format long
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| − | %Defino valores iniciales
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| − | S0=1600;
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| − | I0=40;
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| − | h1=0.0001;%tamaño de paso para intervalo de a
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| − | a=0.0005:h1:0.002;
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| − | b=0.3;
| |
| − | c=0.01;
| |
| − | h=0.1;%tamaño de paso para t
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| − | %Intervalo de tiempos
| |
| − | t0=0;
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| − | tN=40;
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| − | %Calculamos número de subintervalos
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| − | N=(tN-t0)/h;
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| − | %Creo un vector t
| |
| − | t=t0:h:tN;
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| − | %preparo vector S e I para guardar las soluciones
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| − | S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
| |
| − | I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
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| − | S(1)=S0;
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| − | I(1)=I0;
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| − | %preparo vectores m1(máximos de I) m2(tiempos de los máximos)
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| − | m1=zeros(1,length(a));
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| − | m2=zeros(1,length(a));
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| − | %Bucle for: calcula valores maximos de I para cada valor 'a' del intervalo y los almacena
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| − | %junto con su tiempo correspondiente en los vectores m1 y m2
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| − | %respectivamente.Metodo numérico de Heun
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| − | for j=1:length(a)
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| − | for i=1:N
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| − | K1=-(a(j))*(S(i)*I(i));
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| − | K2=-(a(j)).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h);
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| − | K3=(a(j)).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));
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| − | K4=(a(j)).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h);
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| − | S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2);
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| − | I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4);
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| − | m1(j)=max(I);
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| − | m2(j)=t(max(I)==I);
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| − | end
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| − | %Bucle if: si la diferencia entre el valor de tiempo para el máximo y 5 es
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| − | %menor o igual que 0.1 muestra el valor de a, maximo de I y tiempo
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| − | %correspondiente para los que esto sucede
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| − | if abs(m2(j)-5)<=0.1
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| − | disp('Valor de a para el cual el máximo está mas próximo a 5:');
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| − | disp(a(j));
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| − | disp('Valor máximo de I correspondiente:');
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| − | disp((m1(j)));
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| − | disp('Valor de tiempo correspondiente:');
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| − | disp((m2(j)));
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| − | end
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| − | end
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| − | %Grafica con los máximos de I y los tiempos correspondientes
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| − | plot(m2,m1,'*');
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| − | legend('Máximos de infectados','Location','best');%Optimizar
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| − | }}
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