Diferencia entre revisiones de «Coordenadas Cilindricas Parabolicas (Grupo27)»

Revisión actual del 22:08 8 dic 2025

1 Introduccion

En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

2.1 Linea coordenada \(\gamma_u\)

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.2 Linea coordenada \(\gamma_v\)

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.3 Linea coordenada \(\gamma_z\)

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

2.4 Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D

En la figura 1 y 2 podemos observar que las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

La Figura 3 representa las diferentes líneas coordenadas del sistema cilíndrico parabólico, dibujadas en el plano \( x_3 \). En esta figura, mejor que en las anteriores, se puede observar cómo la variación del parámetro t influye en la curvatura de las parábolas.

clear; clc; close all;

%DEFINICIÓN DE u y v
%Vectores de valores discretos para generar la malla
u_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 
v_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 

%figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_U (Variación de u)
%Se mantiene v constante (v_fixed) y se barre el parámetro u
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0, 3, 150);   %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
    x2_u = u .* v_fixed; 
    %Graficado: Tonalidades frías
    color_val = idx/length(v_vals);
    p1 = plot(x1_u, x2_u, 'Color', [0, 0.6*color_val, 0.8], 'LineWidth', 2); 
end

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_V (Variación de v)
%Se mantiene u constante (u_fixed) y se barre el parámetro v
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0, 3, 150);    %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
    x2_v = u_fixed .* v; 
    %Graficado: Tonalidades cálidas
    color_val = idx/length(u_vals);
    p2 = plot(x1_v, x2_v, 'Color', [0.9, 0.4*color_val, 0.1], 'LineWidth', 2); 
end

title('Red de Coordenadas Cilíndricas Parabólicas en el plano x_3=0)');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-4 4]); 
ylim([0 6]);

%Leyenda 
legend([p1, p2], {'Líneas \gamma_u (v=cte)', 'Líneas \gamma_v (u=cte)'}, ...
       'Location', 'best');

hold off;

3 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\) y \(\gamma'_z\)

3.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas \(\gamma'\)

En este apartado calcularemos la expresión de los campos velocidad de las líneas coordenadas. Estos son los vectores tangentes a \(\gamma\) y los obtenemos derivando las coordenadas.

Derivada respecto a \(u\):

[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

Derivada respecto a \(u\):

[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

Derivada respecto a \(z\):
[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

3.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad calculados previamente:

[math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

[math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

3.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes deben de ser unitarios y se obtienen normalizando los vectores, es decir, dividiendo entre el módulo de los vectores calculados previamente:

[math]\mathbf{e}_u =\frac{\gamma'_u}{|\gamma'_u|} = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{u \vec{i} + v \vec{j}}{\sqrt{u^2 + v^2}} [/math]

[math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_u}{|\gamma'_v|} =\frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{-v \vec{i} + u \vec{j}}{\sqrt{v^2 + u^2}} [/math]

[math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_u}{|\gamma'_z|} =\frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}[/math]

3.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación

1. Lo primero que haremos será comprobar que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios

2. Ahora comprobaremos la ortogonalidad de los vectores. Es decir:
Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Por último comprobaremos la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

3.5 Representacion Grafica

En la figura 4 podemos ver cómo efectivamente los vectores \( e_u \) y \( e_v \) son tangentes a las líneas coordenadas de \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\) y \(\gamma'_z\).

clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'c', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;

4 Matrices de cambio de base

La Matriz \( Q\) contienen los vectores unitarios \( (e_u, e_v, e_z) \) en columnas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

5 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la mencionada previamente:

En este apartado buscamos representar el vector posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico:

Partiendo de : \(\vec{r} = v_1 · \vec{i} + v_2 · \vec{j} + v_3 · \vec{k} \)

Buscamos : \(\vec{r} = v_u · \vec{e_u} + v_v · \vec{e_v} + v_z · \vec{e_z} \)

Usaremos la matriz de cambio de Base \(Q^{-1}\)

Por lo que concluimos que :

6 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

6.1 Cambio de coordenadas

Si \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) y sabemos que \(x_2 = uv\) entonces:

6.2 Derivadas parciales

[math] f_u=\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad f_v=\frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad f_z=\frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]

6.3 Cálculo del gradiente

Fórmula del gradiente en coordenadas curvilíneas ortogonales
Para coordenadas ortogonales con factores se sa la fórmula:

De manera que el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es : [math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u} + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} [/math]

Siendo \( h_u=h_v= \sqrt{v^2 + u^2}\) y \( h_z=1\) y teiendo en cuenta las derivadas parciales calculadas previamoente, entonces :

Cálculo de coordenadas \( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación. [math]x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z [/math]

Para el punto \( (0,1,1) \): [math] uv=1 [/math] ; [math] \frac{u^2-v^2}{2}=0 [/math]. Por lo que [math] u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1 [/math]

Sustitución en el gradiente en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \).

Sustituyendo en el gradiante: [math] \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v} [/math]

Conclusión: el Gradiente en el punto de interés es

7 Cálculo de la divergencia

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente expresión:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Para calcular la divergencia del campo vectorial \(\vec{r}\) sustituimos las componentes:

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Tras devivar obtenemos la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

De esta manera concluimos que: [math] div(\vec{r})=3 [/math]

8 Cálculo del rotacional

El rotacional es un operador que indica la tendencia de un campo vectorial a producir giro o rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, su expresión es:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u \vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(h_u F_u) \\ h_v \vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(h_v F_v) \\ h_z \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(h_z F_z) \end{vmatrix} [/math]

Los factores de escala son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

De modo que:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2 [/math]

Sustituyendo estos valores, la expresión del rotacional queda:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2} F_u) \\ \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2} F_v) \\ \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(F_z) \end{vmatrix} [/math]

8.1 Cálculo del rotacional del campo posición [math]\vec{r}[/math]

Las componentes del campo posición son:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_z = z [/math]

Componente en [math]\vec{e}_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

Como:

[math]\frac{\partial}{\partial v}(z)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v)=0[/math]

Entonces:

[math] e_u = 0 [/math]

Componente en [math]\vec{e}_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

Como ni [math]F_u[/math] ni [math]F_z[/math] dependen de [math]z[/math], ambos términos se anulan:

[math] e_v = 0 [/math]

Componente en [math]\vec{e}_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Cálculos:

[math] h_v F_v = \frac{v(u^2+v^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu [/math]

[math] h_u F_u = \frac{u(v^2+u^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv [/math]

Entonces:

[math] e_z = vu - uv = 0 [/math]

Resultado final

[math] \nabla \times \vec{r} = 0 [/math]

El campo vectorial es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial; es conservativo y no presenta rotación.

9 Superficies de nivel

Las coordenadas cilíndricas parabólicas se relacionan con las cartesianas mediante:

9.1 Interpretación geométrica

Dado el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas (u,v,z), los campos escalares son:

[math] f_1(u,v,z)=u,\qquad f_2(u,v,z)=v,\qquad f_3(u,v,z)=z [/math]

Una superficie de nivel se define como el conjunto de puntos:

[math] S_c = \{ (u,v,z) : f(u,v,z)=c \} [/math]

Por tanto:

• Para [math]f_1[/math]: [math]u=c[/math] → cilindro parabólico abierto hacia -x₁.

• Para [math]f_2[/math]: [math]v=c[/math] → cilindro parabólico abierto hacia +x₁.

• Para [math]f_3[/math]: [math]z=c[/math] → plano paralelo al plano (x₁,x₂).

9.2 Código MATLAB para dibujar las superficies

% Coordenadas cilíndricas parabólicas

% x = (u^2 - v^2)/2

% y = u*v

% z = z



% Rango de parámetros

u = linspace(0, 2, 50);

v = linspace(0, 2, 50);

z = linspace(0, 2, 50);



%% SUPERFICIE 1: u = constante

u_const = 1;

[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;

Y1 = u_const .* V1;



figure(1);

surf(X1, Y1, Z1, X1, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.85);

shading interp;

colormap(turbo);  % Cambiado

colorbar;

xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');

title('Nivel: u constante');

axis equal; grid on;

view(30, 35); % Cambiado



%% SUPERFICIE 2: v = constante

v_const = 1;

[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;

Y2 = U2 .* v_const;



figure(2);

surf(X2, Y2, Z2, X2, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.85);

shading interp;

colormap(turbo);  % Cambiado

colorbar;

xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');

title('Nivel: v constante');

axis equal; grid on;

view(60, 25); % Cambiado



%% SUPERFICIE 3: z = constante

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 50);

y_vals = linspace(-5, 5, 50);

[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

Z3 = z_const * ones(size(X3));



figure(3);

surf(X3, Y3, Z3, X3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.85);

shading interp;

colormap(turbo);  % Cambiado

colorbar;

xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');

title('Nivel: z constante');

axis equal; grid on;

view(45, 15);

Figura 1: Figura 2: Figura 3:

9.3 ¿Son superficies regladas?

Una superficie reglada es aquella que puede generarse mediante el movimiento de una recta en el espacio, es decir, cada punto de la superficie pertenece a una recta que forma parte de una familia de rectas.

En nuestro caso, las superficies de nivel definidas por:

[math] f_1(u,v,z)=u ,\qquad f_2(u,v,z)=v ,\qquad f_3(u,v,z)=z [/math]

son:

• Para [math]u=\text{cte}[/math] y [math]v=\text{cte}[/math]: cilindros parabólicos.
• Para [math]z=\text{cte}[/math]: planos paralelos al plano (x_1 O x_2).

Los planos son superficies regladas porque se pueden generar desplazando una recta en una dirección fija.

Los cilindros parabólicos también son superficies regladas, ya que se pueden formar moviendo una recta paralela al eje [math]x_3[/math] sobre una parábola.

Por tanto, todas estas superficies son regladas.

9.4 Uso de superficies regladas en ingeniería

Las superficies regladas tienen múltiples aplicaciones en ingeniería debido a su facilidad de construcción y propiedades geométricas. Algunos ejemplos son:

1. Diseño estructural: Se emplean en cubiertas y techos de edificios, como las superficies hiperbólicas en arquitectura moderna (por ejemplo, cubiertas de hormigón del arquitecto Félix Candela).

2. Ingeniería civil: Se utilizan en puentes y estructuras ligeras, donde las superficies regladas permiten distribuir cargas de manera eficiente y reducir el peso.

3. Ingeniería mecánica: En el diseño de piezas y componentes que requieren formas complejas pero fáciles de fabricar, como conductos y carcasas.

4. Aeronáutica y automoción: Para optimizar la aerodinámica mediante superficies curvas generadas por rectas, reduciendo la resistencia al avance.

En general, las superficies regladas son apreciadas porque permiten generar geometrías complejas con métodos constructivos simples, lo que reduce costos y mejora la eficiencia en diseño y fabricación.

10 Curva de la parábola

Dada la parábola [math] y = -A x^{2} + B [/math], con [math]A = 3[/math] y [math]B = 1[/math], la fórmula general de la curvatura es:

[math] \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{\left(1 + (y'(x))^{2}\right)^{3/2}} [/math]

Para nuestra función:

[math] y(x) = -3x^{2} + 1 [/math]

[math] y'(x) = -6x [/math]

[math] y''(x) = -6 [/math]

Por lo tanto, la curvatura queda:

[math] \kappa(x) = \frac{6}{\left(1 + 36x^{2}\right)^{3/2}} [/math]

10.1 Puntos de mayor y menor curvatura

• Máxima curvatura en x = 0: κ(0) = 6
• Mínima curvatura en x = ±1: κ(±1) ≈ 0.0267

10.2 Código MATLAB para calcular y graficar la curvatura

% Curvatura de la parábola y = -A*x^2 + B con x ∈ [-1, 1]

A = 3; B = 1;



% Dominio

x = linspace(-1, 1, 400);

y = -A*x.^2 + B;



% Derivadas

y1 = -2*A*x;

y2 = -2*A*ones(size(x));



% Curvatura

kappa = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);



% Máximo y mínimo

[Kmax, idx_max] = max(kappa);

x_max = x(idx_max); y_max = y(idx_max);

[Kmin, idx_min] = min(kappa);

x_min = x(idx_min); y_min = y(idx_min);



%% FIGURA 1: Parábola con normales

figure(1); hold on; grid on; axis equal;

plot(x, y, 'Color', [0 0.6 0], 'LineWidth', 2.5); % Parábola en verde

title('Parábola y campo de normales');

xlabel('x'); ylabel('y');



% Puntos donde dibujar las normales

pts = linspace(-1, 1, 8);

y_pts = -A*pts.^2 + B;

slope = -2*A*pts;

arrow_scale = 0.8;



for i = 1:length(pts)

    % Vector normal unitario

    nx = -slope(i); ny = 1;

    nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);

    nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

    quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...

        'Color', [0.5 0 0.8], 'LineWidth', 1.6, 'MaxHeadSize', 1); % Flechas moradas

end



[[Archivo:IMG 6043.jpeg|300px|left|texto alternativo]]



%% FIGURA 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;

area(x, kappa, 'FaceColor', [1 0.8 0.6], 'EdgeColor', 'none'); % Relleno naranja claro

plot(x, kappa, 'Color', [1 0.4 0], 'LineWidth', 2.5); % Curvatura en naranja

title('Curvatura \kappa(x)');

xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');



% Texto para máximo y mínimo

text(x_max, Kmax*0.82, sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, Kmax), ...

    'HorizontalAlignment','center','FontSize',10, 'Color', [0.3 0.3 0.3]);

text(x_min, Kmin*0.75, sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, Kmin), ...

    'HorizontalAlignment','center','FontSize',10, 'Color', [0.3 0.3 0.3]);



set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

Curvatura:

Parábola:

Se concluye que la curvatura es máxima en el vértice y decrece rápidamente hacia los extremos, lo que se refleja en la gráfica de κ(x).

11 Uso de la parábola en ingeniería

11.1 ¿Qué es la parabola?

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

11.2 Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

Puentes colgantes y arcos

Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

Puente Golden Gate

Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

Puente de la Barqueta

Techos y cúpulas

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

Estadio Olímpico de Munich

Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

Diseño de fachadas y estructuras ornamentales

Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

Museo de Arte de Milwaukee

Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

Acueductos y canalizaciones

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

Estructuras antisísmicas

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

11.3 Otras apliacaciones en ingeniería

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

Antenas parabólicas y radiotelescopios

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

Faros y linternas

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

Concentradores de energía solar

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

Micrófonos parabólicos

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

12 Bibliografía

Se ha consultado Trabajos de MateWiki así como los apuntes de clase Capítulo 8.2 del libro de D.A. Danielson páginas de Wikipedia: • https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales, • https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinat

13 Póster

Archivo:Poster CoordenadasCilindricasParabolicas Grupo27.pdf