Diferencia entre revisiones de «El Vórtice de Rankine (Grupo47)»

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1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

2 Historia

La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

3 Representación del flujo

3.1 Velocidad tangencial

3.1.1 Representación

A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial \( v_\theta(\rho) \) correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores de la circulación calculada en la siguiente sección \( \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} \), el radio del núcleo \( R = 250 \ \text{m} \) y el dominio radial \( \rho \in [0, 1000] \ \text{m} \). Se comprueba que existe un comportamiento lineal dentro del núcleo \( \rho \le R \) y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él \( \rho > R \).

Finalmente, el código genera una gráfica de \( v_\theta(\rho) \) y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

Código MATLAB

Gráfica obtenida

clc, clear % Parámetros del vórtice de Rankine %corregido Gamma = 141371.67; R = 250; rho_max = 1000; rho = linspace(0, rho_max, 1000); v_theta = zeros(size(rho)); in = rho <= R & rho>0; out = rho > R; v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2)); v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out)); v_theta(rho==0) = 0; figure('Color','w') plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2) hold on plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5) xlabel('\rho (m)') ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]') title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine') legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast') grid on

3.2 Circulación

3.2.1 Definición

La circulación [math]Γ[/math] es una forma de medir la cantidad de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas): [math]\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad [/math] con [math]\quad v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases}\quad[/math] y [math]R[/math] como el radio del núcleo del vórtice.

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: [math]\rho = \text{R}[/math]

Al remplazarlo en la función se obtiene que: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Es decir, la circulación se define como: [math]{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R [/math]

3.2.2 Cálculos

Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

[math]R = 250m\quad[/math];[math]\quad v_{\theta} = 90m/s[/math]

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de [math]{\Gamma}[/math]: [math]\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 [/math]

Finalmente obtenemos la circulación:

[math]{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} [/math] o bien [math]{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} [/math]

3.2.3 Representación

El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano \( x, y \), con valores comprendidos entre \( [-800, 800] \). Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio \( R \) que marca el borde del ojo del vórtice.

Código MATLAB

Gráfica obtenida

% vórtice de Rankine Gamma = 141371.67; R = 250; rho_max = 800; rho_min=-800; % Malla N = 201; x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir [X,Y] = meshgrid(x,y); rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); theta = atan2(Y,X); % V_theta, definición de Rankine v_theta = zeros(size(rho)); inside = rho <= R & rho>0; outside = rho > R; v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2)); v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside)); v_theta(rho==0) = 0; % Conversión a cartesianas U = -v_theta .* sin(theta); V = v_theta .* cos(theta); % quiver step = 6; Xs = X(1:step:end,1:step:end); Ys = Y(1:step:end,1:step:end); Us = U(1:step:end,1:step:end); Vs = V(1:step:end,1:step:end); rhos = rho(1:step:end,1:step:end); % Separar vectores dentro y fuera mask_inside = rhos <= R & rhos > 0; mask_outside = rhos > R; Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside); Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside); Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside); Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside); % colorear fondo speed = sqrt(U.^2 + V.^2); % Figura figure('Color','w') hold on % Mapa de colores (magnitud) h = pcolor(X, Y, speed); set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35) colormap(parula) c = colorbar; c.Label.String = 'Velocidad (m/s)'; uistack(h,'bottom') % Vectores dentro del núcleo (rojo) q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2); q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo q1.LineWidth = 1.2; % Vectores fuera del núcleo (azul) q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2); q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul q2.LineWidth = 1.0; % Círculo del núcleo t = linspace(0,2*pi,400); plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3) text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10) axis equal xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir xlabel('x (m)') ylabel('y (m)') title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine') hold off

El vórtice de Rankine es un modelo bidimensional en el que la velocidad depende únicamente de la distancia radial 𝜌 y no de la coordenada vertical. Además, la velocidad tiene solo componentes horizontales y no existe componente vertical. Por tanto, toda la física del problema se describe completamente en un plano horizontal, y no es necesario representar un campo tridimensional.

3.3 Campo de velocidad

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

[math] \vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0 [/math]

donde

[math] v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.3.1 Divergencia

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas cuando [math]\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)[/math]:

[math] \nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} [/math]

En este caso

[math] v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho) [/math]

Por tanto, cada término de la divergencia es

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0 [/math]

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 [/math]

Asi que la divergencia total en cada punto es

[math] \nabla \cdot \vec{v} = 0 [/math]

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es incompresible y que no existen ni fuentes ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad constante.

3.3.2 Rotacional

La fórmula del rotacional en para un campo

[math] \vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z [/math]

es

[math] \nabla\times\vec{v} = \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right)\vec{e}_\rho + \left( \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} \right)\vec{e}_\theta + \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} \right)\vec{e}_z. [/math]

Teniendo en cuenta los valores del campo del vórtice:

- [math]v_\rho = 0[/math] - [math]v_z = 0[/math] - [math]v_\theta = v_\theta(\rho)[/math] (solo depende de ρ)

Entonces:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} = 0 - 0 = 0. [/math]

[math] (\nabla\times\vec{v})_\theta = \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} = 0 - 0 = 0. [/math]

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}. [/math]

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2}, [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta) = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho. [/math]

Entonces

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\, \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}. [/math]

Para ρ > R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi}, [/math]

y como es constante,

[math] \frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0, [/math]

por lo que

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = 0. [/math]

Dando como resultado final

[math] \nabla\times\vec{v} = \begin{cases} (0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt] (0,\,0,\,0), & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.3.3 Campo Escalar

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación del fluido equivalente a un giro de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial, en conclusión toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

3.3.3.1 Representación

% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);

3.3.3.2 Análisis

r < R (dentro del núcleo) : En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma velocidad angular.

Una barca situada en esta región:

• gira alrededor del centro del vórtice,
• rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación del fluido.

r > R (dentro del núcleo) : En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

• se desplaza en un círculo alrededor del centro,
• NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

4 Campo de presión

4.1 Definición

El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

[math] p(\rho,z) = \begin{cases} P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt] P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \gt R, \end{cases} [/math]

4.2 Cálculos

Este ejemplo se realizará para los valores: ρ=250 m, z=0 m

Como ρ≤R, se utiliza la ecuación con P₀.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1º. Se calcula la velocidad

2º. Se calcula el término dinámico

3º. Se calcula el término hidrostático

4º. Presión total

Datos:

Γ=141371,67m^2/s

P₀ = 92 000 Pa

P_∞ = 101 325 Pa

ρ aire = 1,225kg/m^3

g= 9,81m/s^2

[math]\quad v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases}\quad[/math]

\begin{align*} 1º:v_\theta(250) &= 90 \cdot \frac{250}{250} = 90 \ \text{m/s} \\[1mm] v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm] 2º: \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\ &= 0.6125 \cdot 8100 \\ &= 4961.25 \ \text{Pa} \\[1mm] 3º: \rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \ \text{Pa} \\[1mm] 4º: p &= 92000 + 4961.25 - 0 = 96961.25 \ \text{Pa} \\[1mm] \end{align*}

4.3 Representación

Código MATLAB

Gráfica obtenida

clc, clear % Datos P0 = 92000; % Pa Pinf = 101325; % Pa rho_air = 1.225; % kg/m^3 Gamma = 1.4137e5; % m^2/s R = 250; % m g = 9.81; % m/s^2 % Mallado rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m] z = linspace(0,2800,300); % altura [m] % Crear mallas 2D [RHO, Z] = meshgrid(rho, z); % Velocidad tangencial v_theta vtheta = zeros(size(RHO)); % Dentro del núcleo inside = RHO <= R; vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside); % Fuera del núcleo outside = RHO > R; vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside)); % Campo de presión p(rho,z) p = zeros(size(RHO)); % Dentro del núcleo p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside); % Fuera del núcleo p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside); % ---- Dibujo del campo de presiones ---- figure; contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K'); c = colorbar; c.Label.String = 'Presión (Pa)'; xlabel('\rho [m]'); ylabel('z [m]'); title('Campo de presión p(\rho,z)');

5 Diferencia de presión

5.1 Cálculo de diferencia de presión

Asumiendo que la presión es una función continua que depende de la densidad del aire, de R y de Γ. La diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (P∞) y el centro del ojo (P0) puede expresarse como:

[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rho\, \Gamma^{2}}{4\pi^{2} R^{2}} [/math]

Con los siguientes datos se procede a calcular la diferencia de presión:

Sustituyendo los valores:

[math] P_{\infty} - P_0 = \frac{1.223 \cdot (141371.67)^2}{4 \pi^2 \cdot (250)^2} \approx 9906.30\ \mathrm{Pa} [/math]

Resultado:

[math] P_{\infty} - P_0 \approx 9906.30\ \mathrm{Pa} \approx 99.06\ \mathrm{mbar} [/math]

5.2 Comparación con la presión real

Se procede a calcular la presión real que se calcula con los datos proporcionados:

La diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la presión en el ojo del ciclón se calcula como:

[math] \Delta P = P_\infty - P_0 [/math]

Sustituyendo los valores:

[math] \Delta P = 1013 - 920 = 93\ \mathrm{mbar} [/math]

5.3 Reflexiones sobre las limitaciones del método

Calculado el error relativo: [math] \text{Error relativo (\%)} = \frac{|\Delta P_\text{modelo} - \Delta P_\text{real}|}{\Delta P_\text{real}} \times 100 [/math]

Sustituyendo los valores:

[math] \text{Error relativo (\%)} = \frac{|99.06 - 93|}{93} \times 100 [/math]

[math] \text{Error relativo (\%)} \approx \frac{6.06}{93} \times 100 \approx 6.5\% [/math]

El modelo proporciona un estimado cercano al valor real, aunque tiende a sobrestimar la diferencia de presión. La discrepancia observada, del 6,5 %, puede considerarse aceptable para fines de predicción o análisis preliminar.

6 Campo gradiente de presiones

6.1 Definición

El gradiente de presión es una magnitud vectorial que indica cómo cambia la presión en el espacio. La dirección del vector apunta hacia la dirección de mayor aumento de presión y su módulo indica la rapidez con la que la presión varía en esa dirección.

Su fórmula es: [math] \vec{\nabla} P = \left( \frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial P}{\partial z} \right) [/math]

Además: [math] \frac{\partial P}{\partial r} = \frac{d}{dr} \left( P_\infty - \frac{\rho \, \Gamma^2}{4 \pi^2 r^2} \right) [/math] [math] \frac{\partial P}{\partial r} = \frac{\rho \, \Gamma^2}{2 \pi^2 r^3} [/math]

6.2 Cálculos

Se procede a al cálculo del gradiente:

[math] \frac{\partial P}{\partial r} = \frac{\rho \Gamma^2}{2 \pi^2 r^3} [/math]

Sustituyendo los valores:

[math] \frac{\partial P}{\partial r} = \frac{\rho \, \Gamma^2}{2 \pi^2 r^3} [/math]

Sustituyendo los valores:

[math] \frac{\partial P}{\partial r} = \frac{1.223 \cdot (141371.67)^2}{2 \cdot \pi^2 \cdot 250^3} [/math]

Cálculo paso a paso:

[math] (141371.67)^2 \approx 19986757089.39 [/math]

[math] 1.223 \cdot 19986757089.39 \approx 24444107093.84 [/math]

[math] 2 \cdot \pi^2 \cdot 250^3 = 2 \cdot 9.8696 \cdot 15625000 \approx 308423500 [/math]

[math] \frac{\partial P}{\partial r} \approx \frac{24444107093.84}{308423500} \approx 79.3\ \mathrm{Pa/m} [/math]

6.3 Representación

%% Gradiente de presión en sección vertical clear; clc; close all; % Datos R_nucleo = 250; % radio núcleo [m] v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s] z_max = 2800; % altura máx [m] P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa] P_ambiente = 1013e2; % presión ambiente [Pa] rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3] g = 9.81; % gravedad [m/s^2] % Vórtice de Rankine (velocidad tangencial) Gamma = 2*pi*R_nucleo*v_max; v_theta = @(r) (r<=R_nucleo).* (Gamma/(2*pi*R_nucleo^2).*r) + ... (r> R_nucleo).* (Gamma./(2*pi*r)); % Mallado (rho,z) rho_vec = linspace(0,1000,200); z_vec = linspace(0,z_max,120); [RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec); V = v_theta(RH); % Presión p(rho,z) p = (RH<=R_nucleo).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ... (RH> R_nucleo).*( P_ambiente - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ); p_mbar = p/100; % Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas dr = rho_vec(2) - rho_vec(1); dz = z_vec(2) - z_vec(1); dp_drho = zeros(size(p)); dp_dz = zeros(size(p)); dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr); dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr; dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr; dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz); dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz; dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz; % Campo de fuerza ~ -∇p U = -dp_drho; % radial W = -dp_dz; % vertical % Datos para quiver step_r = 10; step_z = 6; RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end); Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end); U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end); W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end); % Normalización modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1; U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF; % Representación figure; contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none'); colormap turbo; cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)'; hold on; % Campo -∇p quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1); % Frontera del núcleo plot([R_nucleo R_nucleo],[0 z_max],'w--','LineWidth',1.8); set(gca,'YDir','normal'); xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)'); title('Gradiente de presión'); axis([0 1000 0 z_max]);

Gradiente de presión

6.4 Superficies isobáricas

6.4.1 Definición

Las superficies isobáricas son superficies imaginarias en el espacio en las que la presión es constante en todos sus puntos. Es decir, cualquier punto que se encuentre sobre la misma superficie isobárica presenta la misma presión atmosférica.

6.4.2 Representación

%% Superficies isobáricas de un tornado clc; clear; close all; % Parámetros del tornado rho = 1.223; % densidad del aire (kg/m^3) Gamma = 141371.67; % circulación (m^2/s) R0 = 250; % radio crítico (m) P_inf = 101325; % presión atmosférica estándar (Pa) z_max = 1000; % altura máxima (m) n = 100; % resolución del grid % Crear grid 3D x = linspace(-600, 600, n); y = x; z = linspace(0, z_max, n); [X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z); % Distancia radial desde el eje del tornado R = sqrt(X.^2 + Y.^2 + 1e-3); % evitar división por cero % Calcular presión P = zeros(size(R)); for i = 1:n for j = 1:n for k = 1:n if R(i,j,k) <= R0 P(i,j,k) = P_inf - 0.5*rho*(Gamma*R(i,j,k)/(2*pi*R0^2))^2 - rho*9.81*Z(i,j,k); else P(i,j,k) = P_inf - 0.5*rho*(Gamma/(2*pi*R(i,j,k)))^2 - rho*9.81*Z(i,j,k); end end end end % Valores de presión para isobaras (Pa) P_vals = [950 970 990 1000]*100; % convertir mbar a Pa colors = ['r','g','b','c']; % Representación figure('Color','w'); hold on for i = 1:length(P_vals) fv = isosurface(X,Y,Z,P,P_vals(i)); p = patch(fv); isonormals(X,Y,Z,P,p) p.FaceColor = colors(i); p.EdgeColor = 'none'; p.FaceAlpha = 0.6; end xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)'); title('Superficies isobáricas de un tornado'); axis equal; grid on; view(3); camlight; lighting gouraud; legend('950 mbar','970 mbar','990 mbar','1000 mbar');

Superficies isobáricas

7 Otros Vórtices

7.1 Diferentes tipos de vórtices atmosféricos

7.1.1 Tornados

Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

7.1.1.1 Fuerzas generadas por la depresión del tornado

7.1.1.1.1 Cálculo de la presión

La velocidad tangencial en el punto donde se encuentra la fachada es

[math] \rho = \tfrac{3}{4}R = \tfrac{3}{4}(250\ \text{m}) = 187.5\ \text{m}. [/math]

Como [math]\rho \lt R[/math], estamos dentro del núcleo de rotación sólida, para el cual

[math] v_\theta(\rho) = v_\theta(R)\frac{\rho}{R} [/math]

Sustituyendo:

[math] v_\theta( \tfrac{3}{4}R ) = 90\left(\tfrac{3}{4}\right) = 67.5\ \text{m/s}. [/math]

La caída de presión entre el exterior del tornado y el punto considerado viene dada por

[math] \Delta p = \frac{1}{2}\rho_{\text{air}}v_\theta^2, [/math]

con [math]\rho_{\text{air}} = 1.225\ \text{kg/m}^3[/math]. Así,

[math] \Delta p = \frac{1}{2}(1.225)(67.5)^2 = 2790.7\ \text{Pa}. [/math]

7.1.1.1.2 Fuerza sobre una fachada

La fachada tiene un área de

[math] A = 50\ \text{m}^2. [/math]

La fuerza ejercida por la depresión es

[math] F = \Delta p \cdot A = 2790.7 \times 50 = 139535\ \text{N}. [/math]

Conversión a toneladas-fuerza, Recordando que

[math] 1\ \text{tf} = 10\,000\ \text{N}, [/math]

obtenemos

[math] F_{\text{tf}} = \frac{139535}{10000} \approx 13.95\ \text{tf}. [/math]

7.1.1.1.3 Interpretación

El tornado genera una fuerte depresión en la región interior del núcleo debido a la elevada velocidad tangencial del aire. A una distancia [math]\rho = \tfrac{3}{4}R[/math], la velocidad sigue siendo muy alta y provoca una caída de presión significativa.

El resultado muestra que una fachada de solo 50 m² recibe una fuerza equivalente a **aprox. 14 toneladas-fuerza**, suficiente para causar daños estructurales severos o arrancar paredes enteras en edificaciones ligeras.

Este efecto ilustra por qué los tornados intensos pueden colapsar viviendas y arrancar techos incluso sin impacto directo de objetos proyectados.

7.1.2 Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales

Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

7.1.3 Dust Devil

Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

7.1.4 Vórtice de estela

Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

7.2 Diferencias

7.2.1 Escala

7.2.2 Intensidad

7.2.3 Formación

7.3 Modelo de Burgers-Rott

El modelo de Burgers-Rott es una solución para las ecuaciones de Navier-Strokes para un fluido viscoso. Se puede considerar una alternativa más realista que el vórtice de Rankine ya que en este último hay un cambio demasiado brusco entre el núcleo y el exterior, el núcleo del vórtice es considerado un sólido, no hay una distribución gradual de las velocidades tangentes... Además el modelo de Burgers-Rott al considerar la viscosidad se obtiene ciertas ventajas cuando se trata de realismo: el núcleo se difunde con el tiempo, la velocidad máxima se desplaza hacia el exterior del vórtice y su evolución es más realista. En adición, el agua y el aire son fluidos viscosos por lo que se debería estudiar como tal para obtener resultados más precisos.

Es por todo esto que el modelo usado para aerodinámica, mecánica de fluidos turbulentos, estudio de ciclones y tornados, y para la modelización de vórtices en ingenieria se suele usar el modelo de Burgers-Rott y no el vórtice de Rankine.

8 Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%B3rtice_de_Rankine

https://en.wikipedia.org/wiki/Burgers_vortex

https://es.wikipedia.org/wiki/Tornado

https://es.wikipedia.org/wiki/William_John_Macquorn_Rankine

MATLAB Documentation

8.1 Póster

https://drive.google.com/file/d/1DmkRL87QE4sP0_hGW8Mf0uiGkLM0A1ym/view?usp=sharing