Diferencia entre revisiones de «Circuitos Eléctricos RL (18B)»

Revisión del 22:55 4 mar 2014

1 Introducción

El circuito eléctrico RL más simple se compone de de una resistencia [math]R[/math], un inductor o bobina [math]L[/math] y una fuente de alimentación.

• En una resistencia [math]R[/math], la Ley de Ohm establece que:

[math]i(t)={v(t)\over R}[/math] siendo [math]i(t)[/math] la intensidad de corriente en amperios ([math]A[/math]), [math]v(t)[/math] el voltaje en voltios ([math]V[/math]) y [math]R[/math] el coeficiente de resistencia en ohmios ([math]Ω[/math]).

• En un inductor [math]L[/math], la Ley de Faraday indica que:

[math]v(t)=L {d\over dt} i(t)[/math] donde [math]L[/math] es el coeficiente de autoinducción en henrios ([math]H[/math]).

Por otro lado, las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado o malla, la suma de diferencias de potencial es nula.

2 Ley de Kirchoff de voltaje o tensiones

Circuito RL elemental

En el momento en el que tenemos un circuito resistencia-inductancia (R-L) cerrado (como se indica en la figura de la derecha), la ecuación diferencial, obtenida mediante la ley de Kirchoff de voltaje o tensiones, es la que sigue: [math]{d\over dt}i(t)+{R\over L}i(t)-{E(t)\over L}=0[/math]

2.1 Cálculo analítico y representación

Suponiendo la condición inicial de que en [math]t=0[/math] el circuito pasa de estar abierto a cerrado (lo cual significa que pasa de estar inactivo a tener una corriente circulante) o, lo que es lo mismo, que [math]i(0)=0[/math]; junto con las condiciones de voltaje [math]E(t)=20V[/math], inductancia [math]L=0.2H[/math] y resistencia [math]R=5Ω[/math], el cálculo analítico de la intensidad para [math]t\gt0[/math] quedará resuelto de la siguiente manera, mediante un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o de Cauchy: [math]\left\{\begin{matrix}{d\over dt}i(t)+{25}i(t)-{100}=0\\\ltbr /\gt\\i(0)=0\end{matrix}\right.[/math]

La resolución de la ecuación se corresponde con: [math]i \cdot e^{\int{\frac{R}{L}dt}} = \int{e^{\frac{R \cdot t}{L}}dt}[/math], seguido de: [math]i \cdot e^{\frac{R \cdot t}{L}} = \frac{E}{R}e^{\frac{R \cdot t}{E}}+cte[/math], de lo cual se obtiene como resultado: [math] i(t)=4-4e^{-25t} [/math] La gráfica de la función nos muestra la evolución de la intensidad. En ella se puede apreciar una rápida subida en los primeros instantes que se ralentiza hasta llegar a ser prácticamente constante con un valor de 4. Por lo que podemos afirmar que la intensidad se estabiliza en un corto periodo de tiempo.

Gráfica de la intensidad en un circuito RL simple

fplot('4-4*exp(-25*t)',[0,0.5,0,5]);
xlabel('Tiempo')
ylabel('Intensidad(t)')

2.2 Método de Euler

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=100;
h=(tN-t0)/100;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(50-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-g','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

• El paso de discretización temporal para que el método sea estable ha de ser pequeño, por estar usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente.En este caso lo hemos elegido del orden de h=1/100.

Ecuación: Método Euler

2.3 Método del trapecio

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=50;
h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Observamos que usando el método del trapecio, podemos coger un paso mayor (del orden de 1/50 por ejemplo) y obtener igualmente una buena aproximación.Esto es asi por ser el método del trapecio un método implícito.

Ecuación: Método Trapecio

3 Interpretación en términos de las leyes de Kirchoff

Circuito RL complejo

Éste es el sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la figura: [math]\left\{\begin{matrix}E(t)=R_1i_1(t)+L_2\frac{d}{dt}i_2(t)+R_2i_2(t)\\E(t)=R_1i_1(t)+L_1\frac{d}{dt}i_3(t)+R_3i_3(t)\\i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)\end{matrix}\right.[/math]

Como vemos se cumplen las leyes de Kirchoff que dicen:

• En cada malla, la suma de las tensiones es igual a la tensión total que se suministra al circuito.

• La intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Vemos que en la primera ecuación, la tensión total esta igualada a la tensión de la malla grande, formada por \(R1, L2\) y \(R2\). A su vez la tensión total también está igualada a la malla pequeña formada por \(R1, L1\) y \(R3\). La tercera ecuación se refiere a la segunda ley de Kirchoff que dice que la intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Escribiendo el sistema anterior en términos de \(i_2 (t)\) y de \(i_3 (t)\) el sistema nos queda de la forma: [math]\left\{\begin{matrix}E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3 (t)+L_2\frac{d}{dt}i_2(t)+R_2i_2(t)\\E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3(t)+L_1\frac{d}{dt}i_3(t)+R_3i_3(t)\end{matrix}\right.[/math]

Para unas condiciones iniciales de \(i_2(0)=i_3(0)=0\), las intensidades que salen del nodo son iguales a cero, con lo cual la intensidad que entra en dicho nodo, que será la intensidad total en el circuito, dará cero también. Esto significa que no entra corriente en el circuito, lo que afecta a las tensiones. Dado que las tensiones son igual a \(0\), la tensión total es igual a \(0\).

4 Resolución del sistema con datos

Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior con los datos \(R_1 = R_2 = 6, R_3 = 3, L_1 = 0.3H, L_2 = 0.11H\) y la fuente de alimentación \(E(t) = 20V\).

Vamos a resolverlo utilizando el método de Euler explícito y el método implícito del trapecio. El intervalo de tiempo considerado paqra el estuido es de [0, 0.4].

4.1 Método de Euler

%Introducimos los datos del sistema de ecuaciones diferenciales
E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
%Introducimos el intervalo de tiempo en el que vamos a evaluar nuestra ecuación
t0=0; tN=0.4;
%Creamos un vector columna que tendrá como datos la intensidad en el instante inicial 
i0=[0 0]';
%Dividimos nuestro intervalo de tiempo en N subintervalos separados un paso h
N=10000; h=(tN-t0)/N;
%Reescribimos el sistema en forma matricial
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
%creamos un bucle para el calculo de las intensidades a lo largo del tiempo
%definido
for n=1:N
    i=i+h*((X*i)+Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
%creamos el vector de abcisas
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');

Euler

Podemos observar que a partir de \(t=0.15\) tienden a estabilizarse.

4.2 Método del trapecio

E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; tN=0.4;
i0=[0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(eye(2)-(h/2)*X)*((eye(2)+(h/2)*A)*i+h*Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');

Trapecio

5 Modificación del circuito R-L

Circuito RL complejo

Para el circuito de la figura, el sistema obtenido aplicando las leyes de Kirchoff es el siguiente:

[math]\left\{\begin{matrix}E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)\\E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)+R_3i_3(t)\\i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)\end{matrix}\right.[/math]

Vamos a resolverlo de nuevo para un valor de \(R_3 = 9Ω\) y, posteriormente, se comentarán los resultados, comparándolos con los del circuito anterior. Sustituimos los valores \(R_1 = 6Ω, R_2 = 6Ω, R_3 = 9Ω, L_1 = 0.3H, L_2= 0.11H\) y \(E(t) = 20V\).

5.1 Sistema de ecuaciones mediante Euler

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; 
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0=[0 0]';
A=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(2,1,1)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');
    subplot(2,1,2)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');

Método Euler para \(R_3=9Ω\)

5.2 Sistema de Ecuaciones. Método del trapecio

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; 
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0=[0 0]';
A=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(2,1,1)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');
    subplot(2,1,2)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad')
    print('-dpng','trapecio6.png')

Método del trapecio para \(R_3=9Ω\)

5.3 Conclusiones sobre las modificaciones del circuito

Comparacion de los valores de las intensidades del circuito para diferentes valores de R_3

Si comparamos la gráficas para diferentes valores de la resistencia \(R_3\) podemos observar:

1. La intensidad \(i_1\) que recorre el circuito disminuye según la ley proporcional de Ohm.
2. El valor de \(i_3\) crece mas rápidamente aumentando R₃ estabilizándose rápidamente.
3. La intensidad \(i_2\) aumenta mas despacio.

6 Valores iniciales de las intensidades

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; 
tN=-0.02;
%Se considera tN negativo como artificio de cálculo 
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0=[0 0]';
A=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i33=1-i3;
i22=1-i2;
i11=i22+i33;
    plot(x,i11,'.;i1(t);r',x,i22,'.;i2(t);b',x,i33,'.;i3(t);g')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');
    print('-dpng','trapecio6.png')

Observando la evolución de las intensidades en un tiempo tan pequeño, comprobamos la gran variación inicial que éstas sufren. Esto es debido al carácter exponencial de la función intensidad \(i(t)\).

Valores iniciales de las intensidades