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1 Introducción.

Matemáticamente, una clotoide es una curva que parte siendo tangente al eje de abscisas y cuya curvatura aumenta progresivamente, de modo que su radio de curvatura disminuye en proporción inversa a la longitud recorrida sobre la propia curva.
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide

clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 4;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;

3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide

% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:n  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;

4 Longitud de la curva

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

Cuyo módulo es:

Por tanto la longitud es:

5 Vectores tangente y normal

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;

6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

[math] k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t [/math]

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura

% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t);
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dada esta definición y dado P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
<center> [math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}[/math]

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva

% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Vector normal unitario en t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny =  cos(1.5^2/2);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;

% Parametrización de la circunferencia
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
plot(x,y,'r')      % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b')    % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off

8 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide representa un tipo de curva que permite una transición progresiva entre una trayectoria recta y una curva circular, debido a que su curvatura aumenta de manera lineal. Esto implica que, al comienzo de la curva, el radio de curvatura es infinito y, conforme se avanza sobre ella, dicho radio disminuye hasta alcanzar un valor finito, definiéndose así una curvatura más marcada.

En ingeniería, su uso más importante aparece en el diseño de carreteras y vías férreas, donde la clotoide se emplea para suavizar el paso entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es esencial, ya que evita cambios bruscos en la aceleración centrípeta y permite ajustarla de manera gradual. Si no existiera esta suavidad en el cambio, los vehículos y sus ocupantes podrían experimentar incrementos violentos en las fuerzas centrípetas, lo que generaría incomodidad e incluso riesgos para la estabilidad.

Además, las características de la clotoide permiten otras aplicaciones, como mantener un flujo de agua más uniforme, diseñar trayectorias de entrada y salida para barcos en puertos, o incluso crear recorridos más seguros y fluidos en montañas rusas.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Clotoide en carretera

Espiral de Euler en carretera

Autopista del Sol (México)

Clotoide en montaña rusa

10 Superficie Reglada.

Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector [math]\bar{e}_p [/math], se hace lo siguiente:
1) Se parametriza la curva segun v:

2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector [math]\vec{e_{\rho}} [/math] de cilíndricas a cartesianas:

Por lo tanto [math]\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} [/math]

3) Sustituir todos los valores en la formula [math] \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) [/math] :

Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica

clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;

A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Torre espiral (Dinamarca)

Helicoide de Caracas (Venezuela)

11 Masa de la superficie reglada.

Dada la función de densidad [math] f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })[/math], para calcular la masa usaremos la expresión

Primero calculamos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math]

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz

Cuyo módulo es:

A continuacion se calcula [math] f(\phi(u,v))[/math]

Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab: {{matlab|codigo=

% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n = 100;
h1 = (1 - 0) / n;             % paso en u
h2 = (6*pi - 2*pi) / n;       % paso en v

u = 0:h1:1;
v = 2*pi:h2:6*pi;

% Definimos el mallado
[uu, vv] = meshgrid(u, v);

% Área de cada subrectángulo
area = h1 * h2;

v_acumulado = 0;

for i = 1:n
    for j = 1:n

        % Altura del prisma evaluada en el punto (i,j)
        alt = ((uu(i,j)^2 + vv(i,j)^2) / vv(i,j)) * ...
              sqrt(1 + (uu(i,j) + vv(i,j))^2);

        % Volumen del prisma
        v_prisma = area * alt;

        % Suma acumulada
        v_acumulado = v_acumulado + v_prisma;
    end
end

int = v_acumulado;

fprintf('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n', n, int);