Diferencia entre revisiones de «El Vórtice de Rankine (grupo 64)»

Revisión del 17:56 4 dic 2025

1 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

Calcular \(\Gamma\):

[math] \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho = v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \Rightarrow v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{3}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{3}}{s} [/math]

[math] [\Gamma] = \left[\frac{m}{s}\cdot m^{2}\right] = \left[\frac{m^{3}}{s}\right] [/math]

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{22\,500\,\rho}{R^{2}}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

Campo velocidades

R = 250;           % Radio del núcleo (m)
vR = 90;           % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
rho_max = 1000;    % Límite máximo para la gráfica (m)
% Cálculo de la circulación Gamma a partir de v_theta(R)
Gamma = vR * 2 * pi * R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);
% Malla radial
rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));
% Fórmula del vórtice de Rankine
% Interior (rotación sólida): v = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho
% Exterior (vórtice potencial): v = Gamma/(2*pi*rho)
idx_core = (rho <= R);
idx_outer = ~idx_core;
vtheta(idx_core)  = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(idx_core);
vtheta(idx_outer) = (Gamma./(2*pi)) ./ rho(idx_outer);
figure('Color','w','Units','normalized','Position',[0.2 0.2 0.5 0.5]);
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;
% Línea vertical en R
yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k', 'LineWidth', 1.5);
% Marcar punto en (R, vR)
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor', 'r');
% Anotaciones
text(R + 10, 0.95*yL(2), sprintf('\\rho = R = %g m', R), 'FontSize', 10);
xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title('Vórtice de Rankine: velocidad tangencial v_\theta(\rho)', 'FontSize', 13);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)', 'Location', 'northeast');
grid on; box on;
xlim([0 rho_max]);

2 Comparativa entre la realidad física y el modelo

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidad

[math] \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \left( \frac{\partial \rho}{\partial (\rho v_\rho)} + \frac{\partial \theta}{\partial (v_\theta)} + \frac{\partial z}{\partial (r v_z)} \right) = \rho_1 \left( 0 + \frac{\partial \theta}{\partial (22500 R^2 \rho)} + 0 \right) = 0, \quad \rho \in [0\ltmath\gt \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \left( \frac{\partial (\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{\partial (v_\theta)}{\partial \theta} + \frac{\partial (r v_z)}{\partial z} \right) = \rho_1 \left( 0 + \frac{\partial (22500 R^2 \rho)}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, \quad \rho \in [0,250] \\[10pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{22500}{\rho}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \\[10pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \, \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \frac{22500}{\rho_1} \right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \end{aligned} [/math]

El flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin acercamiento ni alejamiento radial neto. No hay fuentes ni sumideros en el centro. No existe velocidad radial ni variación local de volumen.

Si ∇⋅v ≠ 0, el flujo colapsaría o se expandiría. ,250] \\[8pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{22500}{\rho}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \\[8pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \frac{\partial}{\partial \theta}\left(22500 \rho_1^{-1}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \end{aligned} </math>

Esto significa que el flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin que el fluido se acerque ni se aleje radialmente de forma neta. No aspira ni expulsa fluido; no hay fuentes ni sumideros en el centro. No hay velocidad radial, ni variación de volumen local.

Con \(\nabla \cdot \mathbf{v} \neq 0\), el flujo colapsaría o se expandiría.