Revisión del 12:43 4 dic 2025

La presa de El Atazar, situada en el valle del río Lozoya al norte de la Comunidad de Madrid, es la infraestructura hidráulica más relevante del sistema de abastecimiento regional. Construida entre 1968 y 1972, es una presa de arco-gravedad que combina la acción del peso propio con el trabajo de la doble curvatura, aprovechando al máximo la geometría del valle. Con sus 134 m de altura y aproximadamente 484 m de coronación, genera un embalse de más de 425 hm³, fundamental para garantizar el suministro de agua a Madrid. Además de su capacidad, destaca por su diseño estructural y por el papel clave que desempeña dentro del conjunto de presas gestionadas en la cuenca del Lozoya.

El objetivo de este trabajo es estudiar la geometría y el comportamiento hidrostático de la presa mediante herramientas de modelado y visualización en MATLAB. Para ello se representará la superficie del paramento de aguas arriba, se analizará el campo de presiones y se compararán dos configuraciones geométricas en términos de la fuerza que soportan. Además, se realizará una breve revisión de los principales tipos de presas y de algunos ejemplos destacados en España.

1 Introducción

1.1 Modelo geométrico de la presa

Se analiza la superficie de la presa en su paramento de aguas arriba, es decir, la zona en contacto directo con el embalse. Dado que la presa presenta doble curvatura, su trazado adopta una forma de arco circular en planta y un arco de tipo parabólico en la sección vertical. Utilizando un sistema de coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜃,𝑧), cuyo origen se sitúa en el centro del valle y con el eje 𝑧 dirigido hacia arriba, la geometría se describe mediante la siguiente superficie:

Donde:

• 𝐻 = 134 m: altura de la presa.
• [math]\rho_{0}[/math]= 150 m: radio en la coronación (altura máxima).
• 𝑏 = 40 m: parámetro de curvatura parabólica.

1.2 Campo de presión hidrostática

Cuando el embalse está lleno hasta la altura [math]H_{agua}[/math] medida desde la base de la presa, la presión que ejerce el agua sobre el paramento de aguas arriba viene dada por:

Donde P₀ es la presión representa la presión atmosférica, [math]\varrho_{agua}[/math] es la densidad del agua y g la aceleración de la gravedad. En este estudio se toma [math]H_{agua}=125m[/math].

El campo de fuerzas asociado a dicha presión sobre la superficie puede expresarse como:

Siendo [math]\overrightarrow{n}[/math] el vector normal a la superficie, orientado hacia el interior del embalse.

2 Superficie parametrizada

A la derecha nos encontramos con la superficie parametrizada de la presa en su cara aguas arriba.
La presa se modela mediante una parametrización en coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜃,𝑧), donde:
1. Curvatura Horizontal (Arco Circular):El ángulo 𝜃 define la forma de arco circular del plano horizontal, que permite que la presa resista la presión del agua por compresión
2. Curvatura Vertical (Arco Parabólico):El radio 𝜌 se hace dependiente de la altura 𝑧 mediante una función parabólica

Esto provoca que el radio sea máximo en la base (𝑧=0) y mínimo en la coronación (𝑧=H).Esta variación optimiza la distribución de tensiones, ya que las presas son más gruesas y necesitan un radio mayor en la base donde la presión del agua es máxima.

Superficie parametrizada de la presa realizada con el programa matlab

% Parámetros
H = 134;           % Altura de la presa
rho0 = 150;        % Radio en la coronación
b = 40;            % Parámetro de curvatura parabólica

% Rango de parámetros
theta = linspace(2*pi/3, 4*pi/3, 200);    % Ángulo (cara aguas arriba)
z = linspace(0, H, 200);                  % Altura

% Crear malla
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Expresión del radio en función de z
Rho = rho0 + b*(1 - (Z.^2)/(H^2));

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure
surf(X, Y, Z)
shading interp
colormap('turbo')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Cara aguas arriba de la presa (parámetro cilíndrico)')
axis equal
grid on

3 Presiones sobre la presa

4 Curvatura

5 Tipos de presas

6 Sedimentación en el embalse

Los sedimentos transportados por el agua del río se depositan en el fondo del embalse, reduciendo el volumen, y por lo tanto, reduciendo su capacidad. Modelamos la concentración de sedimentos depositados en el fondo del embalse (en kg/m²) como:

Donde [math]S_{0}=50kg/m^2[/math] es la sedimentación base, [math]\alpha = 3[/math] modela la mayor acumulación cerca de la entrada del río, y [math]L=500m[/math] es una escala característica. Para simplificar, considera el fondo del embalse como aproximadamente plano en [math]z=0[/math] y con forma de sector circular centrado en el valle, delimitado por el arco de la presa en su base.

6.1 Representación

6.2 Gradiente de sedimentación

Gracias al gradiente, sabremos hacia qué dirección aumenta más rápido la sedimentación y qué tan rápido cambia.

Dado:

La derivada en función de x: [math] \frac{\partial S}{\partial x}=S_{0}\alpha e^{(-\frac{x^2+y^2}{L^2})}\left ( -\frac{2x}{L^2} \right )[/math]

La derivada en función de y: [math] \frac{\partial S}{\partial y}=S_{0}\alpha e^{(-\frac{x^2+y^2}{L^2})}\left ( -\frac{2y}{L^2} \right )[/math]

Por lo tanto, el resultado de mi gradiente es:

Veamos de una forma sencilla ahora hacia qué lado apunta. Para ello, simplificaremos el gradiente de la siguiente manera:

Vamos a centrarnos en lo que no es positivo.

Supongamos que [math]x\gt0[/math], entonces [math]-\frac{2x}{L^2}\lt0[/math]. Por lo tanto, la flecha apunta hacia la izquierda, porque los valores negativos de x están a la izquierda.

Ahora supongamos [math]x\lt0[/math], entonces [math]-\frac{2x}{L^2}\gt0[/math]. Por lo tanto, la flecha apunta hacia la derecha, porque los valores positivos de x están a la derecha.

Como vemos, sin importar que x tomemos, apuntará al origen.

Ocurre lo mismo si suponemos [math]y\gt0, y\lt0[/math].

Por lo tanto, el gradiente apunta al dentro de la presa, [math](0,0)[/math]

%% Parámetros
S0 = 50;       
alpha = 3;
L = 500;

%% Dominio
x = linspace(-100,100,40);
y = linspace(-100,100,40);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

%% Gradiente analítico
dSdx = S0 * alpha .* exp(-(X.^2 + Y.^2)/L^2) .* (-2 .* X / L^2);
dSdy = S0 * alpha .* exp(-(X.^2 + Y.^2)/L^2) .* (-2 .* Y / L^2);

%% Representación del campo vectorial
figure;
quiver(X, Y, dSdx, dSdy, 'k');
title('Gradiente de sedimentación \nabla S(x,y)');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;

6.3 Masa sedimentos

6.4 Curvas de isoconcentración