Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»

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{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Alberto Fidalgo<br>Alberto Barca<br>Andrea Carrera<br>Carmen Contreras<br>Enrique Echevarría}}
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{{ TrabajoED | coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | MARTA CUEVAS GARCÍA <br> ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA <br>       CLAUDIA GÁMEZ CASADO  <br>     CARLOTA SÁNCHEZ VARAS  <br>   Pablo Fernández Arce |}}
  
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'''Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas'''
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===Introduccion===
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En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por  \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:  
  
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'''<big>Introducción</big>'''
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<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
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x_2 = uv \\
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En este trabajo vamos a estudiar....
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x_3 = z  
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\end{cases}
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== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
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=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===
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'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
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* ''\(\gamma_u\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}, wv, z \right)</math>, con ''v, z'' fijas y ''w'' libre.
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* ''\(\gamma_v\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}, uw, z \right)</math>, con ''u, z'' fijas y ''w'' libre.
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* ''\(\gamma_z\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, w \right)</math>, con ''u, v'' fijas y ''w'' libre.
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=== Código MATLAB y gráfica ===
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[[Archivo:Graficac.png|650px|thumb|right ]]
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{{matlab|codigo=
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clear,clc
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%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
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u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
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v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
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%Dibujo de las lineas coordenadas
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figure;
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hold on;
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% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
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v_fixed = 1;
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x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
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x2_u = u .* v_fixed;
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plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
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% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
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u_fixed = 1;
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x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
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x2_v = (u_fixed) .* v;
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plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
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% Estilo del gráfico
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title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
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xlabel('x_1');
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ylabel('x_2');
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legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
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grid on;
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axis equal;
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hold off;
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}}
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== Cálculos Teóricos \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)  ==
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===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
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⇒γu <br>
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<math>\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)</math><br>
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⇒γ_v <br>
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<math>\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)</math><br>
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⇒γ_z <br>
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<math>\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)</math>
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===Factores de Escala ===
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−
Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:
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<math>
+
−
h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2} \quad<br>
+
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h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2} \quad<br>
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h_z = |\gamma_z'(z)| = 1
+
 
</math>
 
</math>
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</center>
  
  
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===Vectores Tangentes ===
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Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).
  
−
⇒<math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math><br>
+
Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.
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⇒<math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math><br>
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⇒<math>\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)</math><br>
+
  
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===Código MATLAB y representación: ===
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== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
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[[Archivo:VectoresEuEv.PNG|500px|thumb|right|"Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev."]]
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(matlab|codigo=
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clear,cic,clf
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% Punto de interés
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u = 1;
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v = 1;
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% Vectores unitarios en ese punto
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h = sqrt(u°2 + v°2);
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eu = (u/h, v/h, 0); % Vector e_u
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ev = [-v/h, u/h, 0]: % Vector e_v
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===Comprobación de Ortonormalidad ===
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===Linea coordenada \(\gamma_u\) ===
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h = sqrt(u^2 + v^2)
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eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
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ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v
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−
 
+
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===Representación Gráfica ===
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== Matrices de cambio de base ==
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== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
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Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:
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 +
Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
  
 
<math>
 
<math>
−
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
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\gamma_u(t): \begin{cases}
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x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = tv \\
 +
x_3 = z
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\end{cases}
 
</math>
 
</math>
  
 +
===Linea coordenada \(\gamma_v\) ===
  
−
''' Factores de escala '''
+
Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
−
 
+
−
Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:
+
  
 
<math>
 
<math>
−
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
+
\gamma_v(t): \begin{cases}
 +
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = ut \\
 +
x_3 = z
 +
\end{cases}
 
</math>
 
</math>
  
 +
===Linea coordenada \(\gamma_z\) ===
  
−
''' Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas '''
+
Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
−
 
+
−
Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:
+
  
 
<math>
 
<math>
−
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
+
\gamma_z(t): \begin{cases}
 +
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
 +
x_2 = uv \\
 +
x_3 = t
 +
\end{cases}
 
</math>
 
</math>
  
−
<math>
+
===Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D ===
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\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
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</math>
+
  
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<math>
+
Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).
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\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
+
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</math>
+
  
 +
[[Archivo:Campos2.jpg|700px|sinmarco|centro|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
  
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{{matlab|codigo=
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%Líneas coordenadas de u y v en 2D
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clear;clc
  
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''' Matriz de cambio de base '''
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figure;
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hold on;
  
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La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:
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%Vectores interés
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u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
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v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
  
 +
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
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v_fixed = 1;
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x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
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x2_u = u .* v_fixed;
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plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
  
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<math>
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%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
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Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
+
u_fixed = 1;
−
</math>
+
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
 +
x2_v = (u_fixed) .* v;
 +
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
  
−
Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.
+
%EditGráfico
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title('Líneas coordenadas');
 +
xlabel('Eje x_1');
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ylabel('Eje x_2');
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legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
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grid on;
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axis equal;
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hold off;
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}}
  
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[[Archivo:Cuevas1.jpg|700px|sinmarco|centro|líneas coordenadas en 3 dimensiones]]
  
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'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''
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{{matlab|codigo=
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% Rango de variables
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u = linspace(0, 2, 10);
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v = linspace(0, 2, 10);
  
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La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:
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% Creación de mallas
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[U, V] = meshgrid(u, v);
  
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% Línea coordenada de u
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u_const = 1; % Fijamos u
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x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
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x2_f1 = u_const .* V;
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x3_f1 = 0;
  
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<math>
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% Línea coordenada de v
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\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
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v_const = 1; % Fijamos v
−
</math>
+
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
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x2_f2 = U .* v_const;
 +
x3_f2 = 0;
  
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produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:
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% Crear una figura combinada
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figure;
  
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<math>
+
% Superficie de línea coordenada de u
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r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
+
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
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</math>
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hold on;
  
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% Superficie de línea coordenada de v
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surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);
  
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''' Conclusión '''
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% Configuración de la figura combinada
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xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
−
Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.
+
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
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== Gradiente de un campo escalar==
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axis equal;
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== Divergencia de un campo vectorial ==
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grid on;
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== Rotacional de un campo vectorial ==
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legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
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== Superficies de nivel==
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hold off;
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== Curvatura de una parábola==
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}}
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== Uso de la parábola en ingeniería==
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=== Puentes ===
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=== Elementos arquitectónicos===
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=== Presas ===
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=== Carreteras ===
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=== Ventajas generales de la parábola ===
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[[Categoría:Teoría de Campos]]
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[[Categoría:TC24/25]]
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Revisión actual del 14:06 3 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores MARTA CUEVAS GARCÍA
ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA
CLAUDIA GÁMEZ CASADO
CARLOTA SÁNCHEZ VARAS
Pablo Fernández Arce
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introduccion

En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]


Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

2.1 Linea coordenada \(\gamma_u\)

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.2 Linea coordenada \(\gamma_v\)

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.3 Linea coordenada \(\gamma_z\)

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

2.4 Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D

Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones 

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;


líneas coordenadas en 3 dimensiones 

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
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