Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 36)»

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t=linspace(0,4,70)
 
t=linspace(0,4,70)

Revisión del 12:57 3 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título La clotoide. Grupo 36
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción.

Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L) [/math]

Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]


La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;


3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");


4 Longitud de la curva


La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt [/math]


Como se ha plasmado en el apartado anterior:

[math] \vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


Cuyo módulo es:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]


Por tanto la longitud es:

[math] L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4 [/math]


5 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]



El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]



Curva vector tangente y normal 
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');


6 Curvatura k(t).

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:


[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] [/math]



Dibujo de la curvatura 


t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');



}}


7 Circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dada esta definición y dado P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
<center> [math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}[/math]

[math]Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)[/math]



Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

[math]R(1.5)=\frac{1}{1.5}[/math]

[math]Q(1.5) = \left\{\begin{matrix} Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\ Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2}) \end{matrix}\right.[/math]


Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Vector normal unitario en t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny =  cos(1.5^2/2);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;

% Parametrización de la circunferencia
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
plot(x,y,'r')      % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b')    % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off

8 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide representa un tipo de curva que permite una transición progresiva entre una trayectoria recta y una curva circular, debido a que su curvatura aumenta de manera lineal. Esto implica que, al comienzo de la curva, el radio de curvatura es infinito y, conforme se avanza sobre ella, dicho radio disminuye hasta alcanzar un valor finito, definiéndose así una curvatura más marcada.

En ingeniería, su uso más importante aparece en el diseño de carreteras y vías férreas, donde la clotoide se emplea para suavizar el paso entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es esencial, ya que evita cambios bruscos en la aceleración centrípeta y permite ajustarla de manera gradual. Si no existiera esta suavidad en el cambio, los vehículos y sus ocupantes podrían experimentar incrementos violentos en las fuerzas centrípetas, lo que generaría incomodidad e incluso riesgos para la estabilidad.

Además, las características de la clotoide permiten otras aplicaciones, como mantener un flujo de agua más uniforme, diseñar trayectorias de entrada y salida para barcos en puertos, o incluso crear recorridos más seguros y fluidos en montañas rusas.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Clotoide en carretera
Espiral de Euler en carretera


Autopista del Sol (México)
Clotoide en montaña rusa

10 Superficie Reglada.

Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

[math] \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) [/math]

Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector [math]\bar{e}_p [/math], se hace lo siguiente:
1) Se parametriza la curva segun v:

[math] \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) [/math]


2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector [math]\vec{e_{\rho}} [/math] de cilíndricas a cartesianas:

\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}



Por lo tanto [math]\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} [/math]

3) Sustituir todos los valores en la formula [math] \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) [/math] :

[math]\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} [/math]


Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;



A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Torre espiral (Dinamarca)
Helicoide de Caracas (Venezuela)


10.1 Masa de la superficie reglada.

Dada la función de densidad [math] f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })[/math], para calcular la masa usaremos la expresión

[math] Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv[/math]

Primero calculamos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math]

[math] \phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}[/math]
[math] \phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k} [/math]

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz

[math] \phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k} [/math]

Cuyo módulo es:

[math] |\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2} [/math]

A continuacion se calcula [math] f(\phi(u,v))[/math]

[math] f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v }) [/math]

Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa

[math] Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255 [/math]

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab: 

clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
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