Diferencia entre revisiones de «Circuitos Eléctricos RL (18B)»

Revisión del 11:10 4 mar 2014

1 Introducción

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia,un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i '(t)[/math] Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

2 Ecuacion diferencial

Un circuito RL cerrado, mediante las leyes de Kirchoff nos da la siguiente ecuacion diferencial:

[math] i '(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

El hecho de que en t=0 el circuito esté abierto, significa que no circula corriente, es decir que [math] i_0(t)=0 [/math]. Con estas condiciones: [math] V(t)=20V, L=0.2  y  R=5Ω [/math] y la anterior nos sale como solucion de la ecuacion diferencial:

    [math] i(t)=2-2e^{-25t} [/math]

con la gráfica:

Ecuación

Observamos que la variación de la intensidad sigue una ley exponencial , que crece con el tiempo de forma muy rápida. Esto es así porque la corriente comienza a circular por la malla de forma prácticamente instantánea, una vez que conectamos el generador y cerramos el circuito. Observamos que, corroborando lo dicho, el lapso de tiempo en el que la intensidad pasa de 0 a 2 amperios es muy corto.

3 Método de Euler

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=100;
h=(tN-t0)/100;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(50-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-g','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

• El paso de discretización temporal para que el método sea estable ha de ser pequeño, por estar usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente.En este caso lo hemos elegido del orden de h=1/100.

Ecuación: Método Euler

4 Método del trapecio

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=50;
h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Observamos que usando el método del trapecio, podemos coger un paso mayor (del orden de 1/50 por ejemplo) y obtener igualmente una buena aproximación.Esto es asi por ser el método del trapecio un método implícito.

Ecuación: Método Trapecio

5 Euler con condiciones iniciales distintas

En el caso anterior analizábamos la variación de intensidad en la malla al conectar el circuito al generador (para el instante inicial i(0)=0). Ahora tenemos un circuito por el que circula una corriente de 2A y desconectamos el generador del circuito, entonces la intensidad disminuirá progresivamente en el tiempo siguiendo una ley exponencial.

t0=0;
tN=0.5;
y0=2;
N=500;
h=(tN-t0)/500;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Ecuación: Método Euler 2

6 Interpretación en términos de las leyes de Kirchoff

Sistema: Circuito RL

Éste es el sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la figura: \[ E(t)=R_1i_1(t)+L_2\frac{\partial }{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_1(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]\[ i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)\] Como vemos se cumplen las leyes de Kirchoff que dicen:

·En cada malla, la suma de las tensiones es igual a la tensión total que se suministra al circuito.

·La intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Vemos que en la primera ecuación, la tensión total esta igualada a la tensión de la malla grande, formada por R1,L2 y R2. A su vez la tensión total también está igualada a la malla pequeña formada por R1,L1 y R3. La tercera ecuacion se refiere a la segunda ley de Kirchoff que dice que la intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Escribiendo el sistema anterior en términos de \(i_2 (t)\) y de \(i_3 (t)\) el sistema nos queda de la forma: \[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3 (t)+L_2\frac{\partial}{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]

Para unas condiciones iniciales de \(i_2 (0)\)=\(i_3 (0)\)=\(0\), las intensidades que salen del nodo son iguales a cero, con lo cual la intensidad que entra en dicho nodo, que será la intensidad total en el circuito, dará cero también. Esto significa que no entra corriente en el circuito, lo que afecta a las tensiones. Tensiones = 0 por lo que la tensión total es igual a 0.

7 Resolución del sistema con datos

Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior con los datos \(R_1 = R_2 = 6, R_3 = 3, L_1 = 0,3H, L_2 = 0,11H\) y la fuente de alimentación \(E(t) = 20V\).

Vamos a resolverlo utilizando el método de Euler explícito y el método implícito del trapecio. El intervalo de tiempo considerado paqra el estuido es de [0, 0.4].

7.1 Método de Euler

%Introducimos los datos del sistema de ecuaciones diferenciales
E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
%Introducimos el intervalo de tiempo en el que vamos a evaluar nuestra ecuación
t0=0; tN=0.4;
%Creamos un vector columna que tendrá como datos la intensidad en el instante inicial 
i0=[0 0]';
%Dividimos nuestro intervalo de tiempo en N subintervalos separados un paso h
N=10000; h=(tN-t0)/N;
%Reescribimos el sistema en forma matricial
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
%creamos un bucle para el calculo de las intensidades a lo largo del tiempo
%definido
for n=1:N
    i=i+h*((X*i)+Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
%creamos el vector de abcisas
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');

Podemos observar que a partir de t=0.15 tienden a estabilizarse.

7.2 Método del trapecio

E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; tN=0.4;
i0=[0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(eye(2)-(h/2)*X)*((eye(2)+(h/2)*A)*i+h*Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');

8 Modificación del circuito RL

Sistema: Circuito RL

Para el circuito de la figura, el sistema obtenido aplicando las leyes de kirchhoff es el siguiente:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)+R_3i_3(t)[/math]:

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

Vamos a resolverlo de nuevo para un valor de $R_{3}$ = 9Ω y posteriormente se comentaran los resultados comparándolos con los del circuito anterior. Sustituimos los valores $R_{1}$ = 6Ω, $R_{2}$ = 6Ω, $R_{3}$ = 9Ω, $L_{1}$ = 0,3H, $L_{2}$= 0,11H y $E(t)$ = 20V,

8.1 Sistema de ecuaciones: Euler

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 = 0.11;
t0=0; 
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(2,1,1)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');
    subplot(2,1,2)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');

Sistema: Método Euler para R₃=9Ω

8.2 Sistema de Ecuaciones. Método del trapecio

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 = 0.11;
t0=0; 
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B);
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(2,1,1)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad');
    subplot(2,1,2)
    plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
    xlabel('Tiempo');
    ylabel('Intensidad')
    print('-dpng','trapecio6.png')

Sistema: Método del trapecio para R₃=9Ω

8.3 Conclusiones sobre las modificaciones del circuito

Comparacion de los valores de las intensidades del circuito para diferentes valores de R₃

Si comparamos la gráficas para diferentes valores de la resistencia R₃ podemos observar:

1. La intensidad i₁ que recorre el circuito disminuye según la ley proporcional de ohm.
2. El valor de i₃ crece mas rápidamente aumentando R₃ estabilizándose rápidamente
3. La intensidad i₂ aumenta mas despacio.

9 Valores iniciales de las intensidades

E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 =0.11;
t0=0; 
tN=-0.02;
%Se considera tN negativo como artificio de cálculo 
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
    end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i33=1-i3;
i22=1-i2;
i11=i22+i33;
plot(x,i11,'.;i1(t);r',x,i22,'.;i2(t);b',x,i33,'.;i3(t);g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
print('-dpng','trapecio6.png')

Observando la evolución de las intensidades a un tiempo tan pequeño, comprobamos la gran variación inicial que éstas sufren. Esto es debido al carácter exponencial de la función intensidad.

Sistema: Valores iniciales de las intensidades