Revisión del 09:41 3 dic 2025

1 Mallado de los puntos interiores del sólido

2 APARTADO 2

3 APARTADO 3

4 Campo de vectores desplazamiento a través de la placa

A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

[math] \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}[/math]  y  [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math], el desplazamiento viene dado por la expresión: [math]\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}[/math]

Esto implica que la componente horizontal es: [math] u_x=0.1cos({Π}y)[/math]   mientras que la componente horizontal es nula: [math]u_y=0[/math]

A continuación se representa esta campo vectorial sobre el mallado del sólido:

Imagen del campo de desplazamientos

Apartado 4: mallado campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;

[X,Y] = meshgrid(x,y);      % mismo mallado que antes

% u(x,y) = (1/10) cos(pi*y) i
ux = 0.1 * cos(pi * Y);     % componente en x
uy = zeros(size(Y));        % componente en y
figure;

quiver(X, Y, ux, uy);       % dibuja el campo de vectores
axis equal;
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');

title('Campo de desplazamientos u(x,y) = (1/10) cos(\pi y) \bfi');
grid on;

5 Placa desplazada

En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).[/math]

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de y, cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.

Placa antes y después del desplazamiento.

Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

6 Divergencia del campo de desplazamiento

En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)[/math]

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como [math]u_x[/math] solo depende de [math]y[/math], su derivada respecto de [math]x[/math] es cero, y puesto que [math]u_y=0[/math], también lo es su derivada respecto de [math]y[/math]. Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

[math]\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0[/math]

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)

Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y);   % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y));      % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);

7 Rotacional

Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: [math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}[/math] Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en [math]t=0[/math]: [math]\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}; [/math] [math]∇ × \vec{u}[/math] = [math]\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; [/math]

Por lo tanto, el módulo es: [math]|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )[/math]

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux​(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);

8 Tensor de tensiones

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependes del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un solido, asigna a cada punto el tensor de tensiones. Se trata de un tensor T que dado un vector unitario [math]\vec{n}\ltmath\gt, devuelve un vector \ltmath\gtT·\vec{n}[/math]que representa la tracción sobre el plano ortogonal a [math]\vec{n}\ltmath\gt. La componente \ltmath\gtσ\lt/b\gt=\vec{n}T·\vec{n}[/math] de este vector en la dirección de [math] \vec{n} \ltmath\gt corresponde a la tensión normal en dicho plano. =apartado 9= =Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗= l campo de desplazamientos $\vec{u}$ se define en el dominio rectangular $R = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \times [0, 4]$ como: $$ \vec{u}(x, y) = \frac{\cos(\pi y)}{10} \vec{i} $$ El '''Tensor de Tensiones de Cauchy ($\sigma$)''' para un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo (con los coeficientes de Lamé $\lambda = 1$ y $\mu = 1$) se rige por la Ley de Hooke generalizada: $$ \sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \epsilon $$ donde $\epsilon$ es el '''Tensor de Deformaciones''' (simétrico) y $\mathbf{I}$ es el tensor identidad. Se busca la magnitud del vector de '''tensión tangencial''' ($\vec{\tau}_{\vec{j}}$) que actúa sobre el plano cuya normal es $\vec{j}$. El vector de tensión $\vec{t}_{\vec{j}}$ sobre este plano se descompone en una componente normal y una tangencial: $$ \vec{t}_{\vec{j}} = \sigma \cdot \vec{j} = (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j}) \vec{j} + \vec{\tau}_{\vec{j}} $$ === 2. Derivación del Tensor de Tensiones ($\sigma$) === ==== A. Divergencia y Tensor de Deformaciones ==== Calculamos la divergencia del campo de desplazamientos: $$ \nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\cos(\pi y)}{10} \right) + \frac{\partial}{\partial y} (0) = 0 $$ El Tensor de Deformaciones $\epsilon = \frac{1}{2}(\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^t)$ se obtiene a partir del gradiente de $\vec{u}$: $$ \nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \epsilon = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) & 0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\pi}{20} \sin(\pi y) \\ -\frac{\pi}{20} \sin(\pi y) & 0 \end{pmatrix} $$ ==== B. Tensor de Tensiones $\sigma$ ==== Sustituyendo $\nabla \cdot \vec{u} = 0$, $\lambda = 1$ y $\mu = 1$ en la Ley de Hooke: $$ \sigma = 1 \cdot (0) \mathbf{I} + 2 \cdot 1 \cdot \epsilon = 2\epsilon $$ $$ \sigma = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \\ -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) & 0 \end{pmatrix} $$ === 3. Determinación de la Tensión Tangencial ($\vec{\tau}_{\vec{j}}$) === El vector de tensión $\vec{t}_{\vec{j}} = \sigma \cdot \vec{j}$ es: $$ \vec{t}_{\vec{j}} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \\ -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \vec{i} $$ La componente normal en la dirección $\vec{j}$ es: $$ \sigma_{yy} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = 0 $$ Dado que la componente normal es nula, el vector de tensión es puramente tangencial: $$ \vec{\tau}_{\vec{j}} = \vec{t}_{\vec{j}} - \sigma_{yy} \vec{j} = \left( -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \vec{i} \right) - (0) \vec{j} $$ $$ \vec{\tau}_{\vec{j}} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi y) \vec{i} $$ La magnitud de la tensión tangencial es: =Masa de la placa=[/math]