Diferencia entre revisiones de «Vortice de Rankine (Grupo 38)»
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=== Cálculo de la divergencia === | === Cálculo de la divergencia === | ||
Para calcular analíticamente la divergencia del campo <math>\overrightarrow{v}</math> usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles. <br/> | Para calcular analíticamente la divergencia del campo <math>\overrightarrow{v}</math> usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles. <br/> | ||
| − | En el caso de que <math>\rho \le 250</math> tenemos que <math>\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math> | + | En el caso de que <math>\rho \le 250</math> tenemos que <math>\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math> y aplicando la fórmula de la divergencia obtenemos <math>\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{9}{25}\rho) }{\partial \theta})=0</math> |
Revisión del 23:25 2 dic 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Vortice de Rankine (Grupo 38) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Jaime Granda Malé Alberto Hernández Sánchez Javier Martínez Otero |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
El vórtice de Rankine es un modelo simplificado de rotación de fluidos. Es muy útil para la modelización de tornados y huracanes, con centros
2 Campo de velocidades
2.1 Cálculo de la circulación
Empezamos calculando la circulación del vórtice proveído, un tornado intenso de categoria EF4. Sabiendo que [math] R=250m [/math] y [math] v_{\theta}(R)=90m/s=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho [/math] podemos calcular que [math] \Gamma=\frac{90*2\pi*250^{2}}{250}=45000\pi [/math]
2.2 Módulo de la velocidad
Después, tras obtener este dato, podemos graficar en matlab la tabla que relaciona el módulo de la velocidad respecto a la distancia al centro, usando el código aquí debajo:
x=linspace(0,1000,2000);
y=[];
for i=x;
if i>250;
y=[y,(45000*pi)/(2*pi*i)];
else
y=[y,(45000*pi*i)/(2*pi*250*250)];
end
end
plot(x,y);
axis([0,1000,0,100])
xlabel('Distancia al centro')
ylabel('Velocidad')Sabemos que el módulo de la velocidad es [math]v(r)=v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix}[/math] y por tanto, debemos separar el gráfico en dos partes: uno para el caso [math]r\le R[/math] y otro para el caso [math]r\gt R[/math]
2.3 Campo de velocidades
Para representar el campo de velocidades podemos representarlo en un plano 2D en vez de una figura 3D debido a que la velocidad se nos da en coordenadas polares y la coordenada z es siempre 0 y por tanto podemos obviar su existencia y operar como si fueran coordenadas polares en el plano z=0. Para representarlo, usamos el código aquí enseñado para poder representar el campo vectorial, con colores distintos para interior y exterior del vórtice
rho = linspace(0.1, 800, 100);
tht = linspace(0, 2*pi, 100);
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht);
x = Mrho .* cos(Mtht);
y = Mrho .* sin(Mtht);
Vtheta = 45000*pi ./ (2 * pi * 250^2) .* Mrho;
Vtheta(Mrho > 250) = 45000*pi ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > 250));
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= 250), y(Mrho <= 250), Vx(Mrho <= 250), Vy(Mrho <= 250), 1, 'r');
quiver(x(Mrho > 250), y(Mrho > 250), Vx(Mrho > 250), Vy(Mrho > 250), 1, 'b');
hold off;
axis equal
axis([-800,800,-800,800]);
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq 250)', 'Exterior del vórtice (r > 250)');3 Divergencia y rotacional
3.1 Cálculo de la divergencia
Para calcular analíticamente la divergencia del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles.
En el caso de que [math]\rho \le 250[/math] tenemos que [math]\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}[/math] y aplicando la fórmula de la divergencia obtenemos [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{9}{25}\rho) }{\partial \theta})=0[/math]
