Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (g.34)»

Revisión del 16:54 2 dic 2025

1 Introducción

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.

2 Circulación

Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]

Función circulación

R = 250;         % r del núcleo (m)
vR = 90;         % v tang en rho=R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR;
% Dom
[x, y] = meshgrid(-800:40:800, -800:40:800);
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);        % dist rad
theta = atan2(y, x);            % áng polar
% Campo de v_theta
vtheta = zeros(size(rho));
% Región interna flujo como sol
inside = rho <= R & rho ~= 0;
vtheta(inside) = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(inside);
% Región externa irrotacional
outside = rho > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
%%Componentes cartesianas de la velocidad
% Direcciones tangenciales
u = -vtheta .* sin(theta);   % componente en x
v =  vtheta .* cos(theta);   % componente en y
% Gráfica quiver
figure('Color','w','Position',[200 200 700 550])
hold on
% Parte interna del vórtice (color azul)
quiver(x(inside), y(inside), u(inside), v(inside), ...
    'Color',[0 0.3 1], 'LineWidth',1.2)
% Parte externa del vórtice (color rojo)
quiver(x(outside), y(outside), u(outside), v(outside), ...
    'Color',[1 0 0], 'LineWidth',1.2)
% Círculo marcando el ojo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k--', 'LineWidth',1.4)

axis equal
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine (plano horizontal)')
legend('Interior del ojo','Exterior del vórtice','Radio del núcleo')
grid on

3 Representación de [math]\vec{v}[/math]

Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math], la velocidad depende de la coordenada radial y no de [math]z[/math].. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:[math]v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R\end{cases}[/math]