Diferencia entre revisiones de «Onda Longitudinal plana (Grupo 60)»

Revisión del 19:20 1 dic 2025

1 Introducción

Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular [math][0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math], cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos. Una onda plana está definida por la expresión general: [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

Donde [math]\vec{r_0}(x,y)[/math] es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, [math]\vec{a}[/math] es la amplitud de la onda,[math]\vec{b}[/math] es el vector de propagación y [math]c[/math] es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa ya comenzado el movimiento ondulatorio: [math]\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)[/math]

Particularizando para los valores: [math]\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0[/math] , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

Además, se considera el campo de temperatura definido por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal. Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

2 Mallado del sólido

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es [math][- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \times [0, 4][/math] , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones.

Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

%Parámetros del dominio
xmin=-0.5;
xmax=0.5;
ymin=0;
ymax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos 
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

3 Campo de Temperatura

El campo de temperatura está definido por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]

%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2); 
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura'); 
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');

4 Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel

5 Campo de Desplazamiento

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado (Representado en el Apartado 2) de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

Plantilla:Columna A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

6 Desplazamiento del sólido

7 Divergencia del campo de desplazamiento

8 Rotacional del campo de desplazamiento

9 Tensor de deformaciones

10 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i

11 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j

12 Masa de la placa

13 Aplicaciones en la Ingenieria