Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 49)»

De MateWiki
Saltar a: navegación, buscar
Línea 4: Línea 4:
  
 
== Introducción ==
 
== Introducción ==
−
Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: <br />
+
Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado: <br />
−
Vector posición: <br />
+
<math> γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))</math>,      <math> t ∈ (0,2π)</math>
−
<math> γ(t) = (x(t), y(t)) = (3(t-sint),3(1-cost))</math> <br />
+
<br />
 
== Representación de la curva ==
 
== Representación de la curva ==
 
[[Archivo:Cicloide.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
[[Archivo:Cicloide.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
Línea 32: Línea 32:
 
<math> γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) </math> <br />
 
<math> γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) </math> <br />
 
=== Representación de los vectores velocidad y aceleración ===
 
=== Representación de los vectores velocidad y aceleración ===
−
Representado de la velocidad en MATLAB:<br />
+
Representación de la velocidad en MATLAB:<br />
 
{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
R=3;
 
R=3;
−
t=linspace(0,2*pi,100); % dominio
+
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
−
% Ecuaciones parametricas
+
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
−
X=R*(t-sin(t));
+
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
−
Y=R*(1-cos(t));
+
vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
−
% Vectores de la velocidad
+
vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
−
vx=R*(1-cos(t));
+
−
vy=R*(sin(t));
+
 
% Dibujo
 
% Dibujo
 
figure;
 
figure;
Línea 61: Línea 59:
 
[[Archivo:Cicloidevelocidad.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
[[Archivo:Cicloidevelocidad.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
<br />
 
<br />
 +
 
Representación de la aceleración en MATLAB:<br />
 
Representación de la aceleración en MATLAB:<br />
−
[[Archivo:Cicloideaceleracion.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
+
{{matlab|codigo=
 +
R=3;
 +
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
 +
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
 +
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
 +
ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
 +
ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración
 +
 
 +
% Dibujo
 +
figure;
 +
hold on
 +
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
 +
axis equal;
 +
grid on;
 +
title('La Cicloide');
 +
xlabel('x(t)');
 +
ylabel('y(t)');
 +
% Dibujo vector aceleración
 +
for j=1:3:100
 +
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
 +
end
 +
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
 +
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
 +
hold off
 +
}}
 +
[[Archivo:Cicloideaceleracion2.jpeg|600px|Figura 1. Representación del cicloide]]
 +
 
 
==Longitud de la curva==
 
==Longitud de la curva==
 
===Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica===
 
===Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica===
Línea 69: Línea 94:
 
===Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB===
 
===Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB===
 
<br />
 
<br />
 +
 
== Cálculo de los vectores tangentes y normales de la curva y su representación==
 
== Cálculo de los vectores tangentes y normales de la curva y su representación==
 
Módulo de la velocidad: <br />
 
Módulo de la velocidad: <br />
Línea 74: Línea 100:
 
Vector tangente: <br />
 
Vector tangente: <br />
 
<math>  \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}</math> <br />
 
<math>  \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}</math> <br />
 +
Producto vectorial <math>\vec v × \vec a  </math> :<br />
 +
<math>\vec v × \vec a=\begin{bmatrix}
 +
\vec i& \vec j& \vec k\\
 +
1-cost& sent &0\\
 +
sent & cost & 0
 +
\end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost) </math> <br />
 +
Módulo de <math>\vec v × \vec a  </math> :<br />
 +
<math> |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) </math> <br />
 +
Vector binormal:<br />
 +
<math>\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k </math> <br />
 
Vector normal: <br />  
 
Vector normal: <br />  
−
<math> \vec n(t) = \vec b × \vec t=(matriz)= \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}  </math> <br />
+
<math> \vec n(t) = \vec b×  \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix}
 +
\vec i& \vec j& \vec k\\
 +
0& 0 &-1\\
 +
1-cost& sent & 0
 +
\end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}   
 +
</math> <br />
 +
 
 +
== Curvatura==
 +
<math>  \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} </math> <br />
 +
 
 
==La Cicloide en la ingeniería civil==
 
==La Cicloide en la ingeniería civil==
−
Cicloidemuseo.jpg
+
===Museo del Arte Kimbell===
 +
Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.<br />
 
[[Archivo:Cicloidemuseo.jpg|600px|Figura 1. Museo]]
 
[[Archivo:Cicloidemuseo.jpg|600px|Figura 1. Museo]]
 
== Bibliografía ==
 
== Bibliografía ==
 +
https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0

Revisión del 13:40 28 nov 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título La Cicloide. Grupo 49.
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Bruno Goméz Vergara
Irene Yuan González Laruas
Elisa Amelia Lincango Sarango
Belén Mena Velasco
Adrián Menéndez Alonso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]

2 Representación de la curva

Figura 1. Representación del cicloide 

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
 % Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Figura 1. Representación del cicloide

Representación de la aceleración en MATLAB:

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración

% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off

Figura 1. Representación del cicloide

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

4.2 Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB


5 Cálculo de los vectores tangentes y normales de la curva y su representación

Módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Vector tangente:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]
Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost) [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

7 La Cicloide en la ingeniería civil

7.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.
Figura 1. Museo

8 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0

Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Cicloide_(Grupo_49)&oldid=90517»