Diferencia entre revisiones de «Placa Plana (J52)»

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==Tensiones tangenciales==
 
==Tensiones tangenciales==
 
Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗𝑖, es decir |𝜎 ⋅ ⃗𝑖− (⃗𝑖 ⋅ 𝜎 ⋅ ⃗𝑖)⃗𝑖|.Se dibujan solo las no nulas
 
Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗𝑖, es decir |𝜎 ⋅ ⃗𝑖− (⃗𝑖 ⋅ 𝜎 ⋅ ⃗𝑖)⃗𝑖|.Se dibujan solo las no nulas
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<source lang="matlab">
 
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% Definimos la tensión tangencial en el plano ortogonal al eje i (X), que es tau = [0, sigma_yx, 0].
 
% Definimos la tensión tangencial en el plano ortogonal al eje i (X), que es tau = [0, sigma_yx, 0].

Revisión del 12:13 28 nov 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Placa plana. Grupo 52
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Carlos Gallego García
Arantxa Gonzales Mori
Diego Pérez Fernández
Diego Peña Ruiz
Marco Moreno González
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introducción

Consideramos la sección longitudinal de una viga voladiza rectangular (en dimensión 2) que ocupa la región (Figura 1.) y que está fija en la pared vertical izquierda.

[math] (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 4] × [𝑓(𝑔), 𝑔(𝑥)],𝑓(𝑥) = \frac{x}{8},𝑔(𝑥) = 2 − \frac{x}{8} [/math]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) dada por

[math] 𝑇(𝑥, 𝑦) = (1 + (𝑦 − 1)^2)(4 - x) [/math],

y los desplazamientos 𝑢⃗(𝑥, 𝑦) producidos por la acción de una fuerza determinada que no conocemos. De esta forma, si definimos [math] 𝑟⃗0 (𝑥, 𝑦) = 𝑥⃗𝑖 + 𝑦𝑗⃗ [/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (𝑥, 𝑦) de la placa después de la deformación viene dada por

𝑟⃗ d[math](𝑥, 𝑦)[/math] = 𝑟⃗0[math] (𝑥, 𝑦) + 𝑢⃗(𝑥, 𝑦)[/math].

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector

[math]𝑢⃗(𝜌, 𝜃) = −\frac{1}{20} 𝜌2cos 𝜃𝑒⃗𝜃[/math].

2 Mallado del Solido

Para dibujar el mallado,habrá que parametrizar el sólido y tomar los ejes del el rectángulo [math](x, y) ∈ [−1, 5] × [-1, 3][/math] ,además,como paso de muestreo: [math]h = \frac{1}{10}[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

Figura 1
clc; clear; close all;
%Datos
h = 0.1;
u = 0:h:4;
% Para la coordenada vertical, la altura máxima de la placa es 2 por lo que 
% para mantener el paso h=0.1, necesitamos dividir esa altura en aprox 20 partes.
% y definimos un parámetro 's' que vaya de 0 a 1.
num_puntos_y=2/h; 
s=linspace(0,1,num_puntos_y + 1);
%rejilla de parámetros
[U,S]=meshgrid(u,s);

% fronteras (borde inferior y superior)
f_u=U./8;
g_u=2-U./8;

%Calcular las coordenadas físicas X e Y
% X es U
X=U;
% Y es una interpolación entre el borde inferior y superior
Y=f_u+S.*(g_u-f_u);

%Dibujar el mallado
figure(1);
clf; 
hold on;

%hacemos la rejilla y la configuramos
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor',[0, 0.7, 0.7],'FaceColor','none');

%Dibujamos un contorno parecido a la imagen dada
plot(X(1,:),Y(1,:),'k','LineWidth',2)% Borde inferior
plot(X(end,:),Y(end,:),'k','LineWidth',2)% Borde superior
plot(X(:,1),Y(:,1),'k','LineWidth',2)% Borde izquierdo (pared)
plot(X(:,end),Y(:,end),'k','LineWidth',2)% Borde derecho

% Configuramos los ejes y el visionado
axis([-1 5 -1 3]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado de la placa plana');
view(2);
box on;
grid off;
axis equal

3 Curvas de nivel

Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura y decidir en qué punto la temperatura es máxima. Se calcula el gradiente de la temperatura y se representa en la gráfica.
Como se puede observar, el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel.

Figura 2
clc; clear; close all;
% Definición del Mallado y Dominio
h=0.1;  %Muestreo                  
x=0:h:4;                  
y=0:h:2;           
[X,Y] = meshgrid(x, y);

% Funciones que definen la placa 
f=@(x)x./8;  % Límite inferior
g=@(x)2-x./8;  % Límite superior

% Máscara para puntos dentro de la placa
EnPlaca=Y>=f(X)&Y< g(X);

% Definición de la Temperatura y el Gradiente
% Función T(x,y) 
T=(1+(Y-1).^2).*(4-X);

% Aplicar máscara
T_plot=T;
T_plot(~EnPlaca)=NaN;

% Cálculo numérico del gradiente para los vectores (o usar fórmula exacta)
% Usamos la fórmula exacta derivada arriba para mayor precisión
U=-(1+(Y-1).^2);          % Componente x del gradiente
V=2.*(Y-1).*(4-X);    % Componente y del gradiente

% Solo mostramos vectores dentro de la placa
U(~EnPlaca)=NaN;
V(~EnPlaca)=NaN;

% Generación de la Gráfica
figure(1);
clf; % Limpiar figura
hold on;
axis equal; 
axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]);
grid on;
title({'Isotermas y Gradiente \nabla T', 'T(x,y) = (1+(y-1)^2)(4-x)'});
xlabel('x'); ylabel('y');

% Mapa de calor de fondo
[C_fill, h_fill] = contourf(X, Y, T_plot, 20, 'LineStyle', 'none');
colormap(jet); % Mapa de colores tipo jet
cb=colorbar;
ylabel(cb,'Temperatura T');

% Curvas de nivel
[C, h_cont]=contour(X,Y,T_plot,10,'k','LineWidth',1.5);
clabel(C,h_cont,'FontSize',9,'Color','k','FontWeight','bold');

% Campo Vectorial (Gradiente)
% Submuestreamos cada 3 puntos para que no se vea una mancha de flechas
step=3; 
quiver(X(1:step:end,1:step:end),Y(1:step:end, 1:step:end), ...
U(1:step:end,1:step:end),V(1:step:end,1:step:end), ...
1.2,'k','LineWidth',1); % '1.2' es el factor de escala de las flechas

% Dibujar bordes de la placa
plot(x,f(x),'k-','LineWidth',2); % Borde inferior
plot(x,g(x),'k-','LineWidth',2); % Borde superior
plot([0 0],[f(0) g(0)],'k-','LineWidth',2); % Pared izquierda
plot([4 4],[f(4) g(4)],'k-','LineWidth',2); % Pared derecha

% Señalar Máximo
plot(0,0,'rp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','r');
plot(0,2,'rp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','r');
text(0.1,0,'Max T','Color','white','FontWeight','bold');

hold off;

4 Energía calorífica(LEY DE FOURIER)

De acuerdo con la ley de Fourier, la energía calorífica 𝑄⃗ se describe mediante la fórmula

[math] 𝑄⃗ = −𝜅∇T [/math]

donde 𝜅 es la constante de conductividad térmica de la placa; supondremos 𝜅 = 1. Calcular 𝑄⃗ y representarlo como campo vectorial.

Figura 3: Flujo de Calor(Ley de Fourier)
clc; clear; close all;

% Definición del Escenario
h=0.1; 
[X,Y]=meshgrid(0:h:4,0:h:2);
f=X./8; 
g=2-X./8;
EnPlaca=Y>=f&Y<=g; % Máscara

% Cálculos y Gradiente de T
Grad_x=-(1+(Y-1).^2); 
Grad_y=2.*(Y-1).*(4-X);

% Flujo de Calor Q (Ley de Fourier)
k=1; % Constante de conductividad
Qx=-k.*Grad_x;
Qy=-k.*Grad_y;

% Borrar vectores fuera de la placa
Qx(~EnPlaca)=NaN;
Qy(~EnPlaca)=NaN;

% Visualización
figure('Name','Flujo de Calor (Ley de Fourier)');
hold on;
axis equal;axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]);grid on;
title({'Flujo de Calor', 'El calor viaja desde lo caliente a lo frío'});
xlabel('X'); ylabel('Y');

% Temperatura de fondo
T=(1+(Y-1).^2).*(4-X);
T(~EnPlaca)=NaN;
contourf(X,Y,T,15,'LineStyle','none','FaceAlpha',0.5);
colormap(jet);c=colorbar;ylabel(c,'Temperatura');

% Dibujar el Campo Vectorial Q
% Usamos 'step' para no pintar todas las flechas y que se vea limpio
step=3; 
idx=1:step:size(X, 1);
idy=1:step:size(X, 2);

quiver(X(idx,idy),Y(idx,idy),Qx(idx,idy),Qy(idx,idy),1.5,'k','LineWidth',0.75); 
 
% Bordes
x_b=linspace(0,4, 200);
plot(x_b,f(x_b),'k','LineWidth',2);
plot(x_b,g(x_b),'k','LineWidth',2);
plot([0 0],[0 2],'k','LineWidth',2);
plot([4 4],[0.5 1.5],'k','LineWidth',2);

% Origen del flujo
plot(0,0,'ko','MarkerFaceColor','w');
plot(0,2,'ko','MarkerFaceColor','w'); 

hold off;

5 Gradiente Térmico

El punto de máxima variación térmica corresponde al punto donde el gradiente es máximo'. Mientras que la variación térmica sigue la dirección de dicho gradiente, el flujo de calor más intenso lo hace en sentido contrario,es decir,hacia donde baja la temperatura En la gráfica se puede apreciar que la variación máxima es 8.25

Ocurre en los puntos:

P(1): x=0.00, y=0.00. Dirección del vector: [-2.00, -8.00]

P(2): x=0.00, y=2.00. Dirección del vector: [-2.00, 8.00]

Figura 4:Máxima Variación de T
clc; clear; close all;

h=0.05;
[X,Y]=meshgrid(0:h:4,0:h:2);
f=X./8;g=2-X./8;
EnPlaca=Y>=f&Y<=g;

% Cálculos de Gradiente y Norma
Tx=-(1+(Y-1).^2); 
Ty=2.*(Y-1).*(4-X);

% Norma del Gradiente
NormaGrad=sqrt(Tx.^2+Ty.^2);
NormaGrad(~EnPlaca)=0; 

% Buscar el Máximo
max_val=max(NormaGrad(:));
[filas,cols]=find(NormaGrad==max_val);

% Coordenadas de los puntos máximos
x_max=X(filas,cols);
y_max=Y(filas,cols);

% Componentes del vector dirección en esos puntos
u_dir=Tx(filas,cols);
v_dir=Ty(filas,cols);

% Visualización
figure('Name','Máxima Variación de T');
hold on;axis equal;axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]);grid on;
title({'Puntos de Máxima Variación de Temperatura', '(Color = Magnitud del Gradiente T)'});
xlabel('x'); ylabel('y');

% Mapa de calor
NormaGrad(~EnPlaca)=NaN;
contourf(X,Y,NormaGrad,20,'LineStyle','none');
colormap(jet);colorbar;

% Contorno
plot([0 4 4 0 0],[0 0.5 1.5 2 0],'k','LineWidth',1.5);

% Puntos rojos y dirección
plot(x_max, y_max,'ro','MarkerSize',7.5,'MarkerFaceColor','r');

% Flechas de dirección
quiver(x_max,y_max,u_dir,v_dir,0.5,'k','LineWidth',2,'MaxHeadSize',0.5);

% Resultados
fprintf('La variación máxima es %.2f\n', max_val);
fprintf('Ocurre en los puntos:\n');
for i=1:length(x_max)
    fprintf('P(%d): x=%.2f, y=%.2f. Dirección del vector: [%.2f, %.2f]\n',i,x_max(i),y_max(i),u_dir(i),v_dir(i));
end

6 Campo de desplazamiento

Se dibuja el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
Como se puede observar en la imagen, si que hay puntos que se mantienen fijos.

Figura 5: Campo de Desplazamientos
clc; clear; close all;

% Definición del Dominio y Mallado
h = 0.1; % Muestreo
x = 0:h:4; 
y= 0:h:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

% Definición de la Placa
f=@(x)x./8;     % Límite inferior
g=@(x)2-x./8;   % Límite superior

% Máscara lógica
EnPlaca=Y>=f(X)&Y<=g(X); 

% Cálculo del Campo de Desplazamientos u
U=(1/20).*X.*Y;   % Componente horizontal
V=-(1/20).*X.^2;  % Componente vertical

% Filtrar
U(~EnPlaca)=NaN;
V(~EnPlaca)=NaN;

% Gráfica y ajuste
figure('Name', 'Campo de Desplazamientos'); 
set(gcf,'Position',[100 100 800 500]); 
hold on;
axis equal;
axis([-0.5 4.5 -1 2.5]);
grid on;
title('Campo de Desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Dibujar el campo vectorial u 
quiver(X,Y,U,V,0,'r', 'LineWidth',1,'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar contorno de la placa como referencia
x_borde = linspace(0,4,200);
plot(x_borde,f(x_borde),'k','LineWidth',1);
plot(x_borde,g(x_borde),'k','LineWidth',1);
plot([0 0],[f(0) g(0)],'k','LineWidth',1); % Pared izquierda
plot([4 4],[f(4) g(4)],'k','LineWidth',1); % Pared derecha

% Puntos fijos
% Buscamos puntos donde el desplazamiento sea (0,0)
% Si x=0, entonces U=0 y V=0.Por lo que toda la pared izquierda (x=0) está fija.

plot(zeros(size(y)),y,'b.','MarkerSize',15); % Puntos azules
text(0.1,1,'\leftarrow Puntos Fijos (x=0)','Color','b','FontWeight','bold');

hold off;

7 Desplazamientos

Se dibuja el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores 𝑢⃗.

Figura 6:Comparación Antes/Después
clc; clear; close all;

% Generación de la Malla
h=0.2; 
u=0:h:4; 
s=linspace(0,1,11);
[U,S]=meshgrid(u,s);

% Coordenadas Originales
f_x=U./8;
g_x=2-U./8;
X0=U;
Y0=f_x+S.*(g_x-f_x);
Z0=zeros(size(X0));

% Cálculo de la Deformación y Campo de desplazamientos u(x,y)
Ux=(X0.*Y0)./20;
Uy=-(X0.^2)./20;

% Coordenadas Deformadas
Xd=X0+Ux;
Yd=Y0+Uy;

% Visualización
figure('Name','Comparación Antes/Después','Color','w');

% ANTES
subplot(1,2,1);
mesh(X0,Y0,Z0,'EdgeColor',[0 0.7 0.9],'FaceColor','none');
hold on;
plot([0 0],[0 2],'k','LineWidth',3); % Pared fija
title('Antes del desplazamiento');
xlabel('X'); ylabel('Y');
axis equal; axis([-0.5 4.5 -1.5 2.5]); grid on;
view(2);

% DESPUÉS
subplot(1,2,2);
mesh(Xd,Yd,Z0,'EdgeColor',[0 0.7 0.9],'FaceColor','none');
hold on;
plot([0 0], [0 2],'k','LineWidth',3);
title('Después del desplazamiento');
xlabel('X'); ylabel('Y');
axis equal; axis([-0.5 4.5 -1.5 2.5]); grid on;
view(2);

8 Divergencia

La divergencia mide la variación de volumen local. El resultado del cálculo (y/20) ,indica que la placa sufre una expansión positiva que aumenta linealmente con la altura debido al estiramiento de las fibras superiores.

En la gráfica,se puede apreciar en las franjas de color: En azul esta la base,donde el volumen no cambia,degradándose progresivamente hacia el rojo intenso del borde superior donde se encuentra el punto de máxima expansión, independientemente de la posición horizontal x.

Figura 7
clc; clear; close all;
% Definir Malla y Placa
h=0.05;
[X,Y]=meshgrid(0:h:4, 0:h:2);
f=X./8;g=2-X./8; % Límites
EnPlaca=Y>=f&Y<=g; % Máscara lógica

% Cálculo de la Divergencia (div=y/20)
Div=Y./20; 
Div(~EnPlaca)=NaN;

% Visualización
figure('Name','Divergencia');clf;hold on;
axis equal; axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]);box on;
title('Divergencia: Cambio de Volumen');
xlabel('X'); ylabel('Y');
[C, h_cont]=contourf(X, Y, Div, 20,'LineStyle','none');
colormap(jet);
c=colorbar;ylabel(c,'Valor de Divergencia');

% Dibujar bordes negros
x_b = linspace(0, 4, 200);
plot(x_b, x_b./8,'k','LineWidth',1);
plot(x_b, 2 - x_b./8,'k','LineWidth',1);
plot([0 0],[0 2],'k','LineWidth',1);
plot([4 4],[0.5 1.5],'k','LineWidth',1);

% Señalar puntos clave
% Máxima: Ocurre en y=2 y x=0 
plot(0,2,'kp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','r');
text(0.1, 2.1,'Max Expansión','FontWeight','bold');

% Nula: Ocurre en y=0 y x=0
plot(0,0,'kp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','b');
text(0.1,-0.1,'Divergencia Nula','FontWeight','bold');
hold off;

9 Rotacional

clc; clear; close all;

%% Definir Malla y Placa h = 0.05;  % paso de la malla [X,Y] = meshgrid(0:h:4,0:h:2);  % malla 2D

f = X./8;  % borde inferior g = 2 - X./8;  % borde superior

EnPlaca = (Y >= f) & (Y <= g);  % máscara lógica para la placa

%% Cálculo de la Divergencia (∇·u = y/20) Div = Y./20;  % divergencia Div(~EnPlaca) = NaN;  % fuera de la placa no dibujar

%% Visualización figure('Name','Divergencia'); clf; hold on; set(gcf,'Color','w')  % fondo blanco axis equal; axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]); box on; title('Divergencia ∇·u: Cambio de Volumen'); xlabel('X'); ylabel('Y');

% Dibujar contornos rellenos [C, h_cont] = contourf(X,Y,Div,20,'LineStyle','none'); colormap(jet); c = colorbar; ylabel(c,'Valor de Divergencia');

%% Dibujar bordes de la placa en negro x_b = linspace(0,4,200); plot(x_b, x_b./8,'k','LineWidth',1);  % borde inferior plot(x_b, 2 - x_b./8,'k','LineWidth',1);  % borde superior plot([0 0],[0 2],'k','LineWidth',1);  % borde izquierdo plot([4 4],[0.5 1.5],'k','LineWidth',1);  % borde derecho aproximado

%% Señalar puntos clave % Máxima divergencia: borde superior y_max = g(1); x_max = 0; plot(x_max,y_max,'kp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','r'); text(x_max+0.1,y_max+0.1,'Máx. Expansión','FontWeight','bold');

% Divergencia nula: aproximado en esquina inferior izquierda x_nula = 0; y_nula = 0; plot(x_nula,y_nula,'kp','MarkerSize',12,'MarkerFaceColor','b'); text(x_nula+0.1,y_nula-0.1,'Divergencia Nula','FontWeight','bold');

hold off;

10 Tensor deformaciones

Se define [math]𝜖(𝑢⃗) = \frac{1}{2}(∇𝑢⃗ + ∇𝑢⃗𝑡)[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de 𝑢⃗, conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones 𝜎 a través de la fórmula

[math]𝜎 = 𝜆∇ ⋅ 𝑢⃗ I + 2𝜇𝜖[/math],

donde I es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math]ℝ^3[/math], y 𝜆, 𝜇 son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Tomando 𝜆 = 𝜇 = 1, se dibujan las tensiones normales en la dirección que marca el eje ⃗𝑖, es decir ⃗𝑖 ⋅ 𝜎 ⋅ ⃗𝑖, las tensiones normales en la dirección que marca el eje 𝑗⃗, es decir 𝑗⃗⋅ 𝜎 ⋅𝑗⃗, y las correspondientes al eje 𝑘⃗, es decir 𝑘⃗ ⋅ 𝜎 ⋅ 𝑘⃗(se dibujan las que no son nulas).

Figura 9
clc; clear; close all;

%% ======================= Geometría de la placa ==========================
% Región: (x,y) in [0,4] x [f(x), g(x)], con f(x)=x/8, g(x)=2-x/8
h = 0.1;                         % paso horizontal
x = 0:h:4;
num_puntos_y = round(2/h);       % número de divisiones verticales
s = linspace(0,1,num_puntos_y+1);% parámetro vertical [0,1]

[U,S] = meshgrid(x,s);
f = U./8;                        % borde inferior
g = 2 - U./8;                    % borde superior

X = U;                           % coordenada física X
Y = f + S.*(g - f);              % coordenada física Y (interpolación)

%% =================== Campo de desplazamientos aplicado =================
% Desplazamiento dado en polares: u~(rho,theta) = -(1/20) rho^2 cos(theta) e_theta
% Convertido a cartesianas: u = [xy/20,  -x^2/20]
u = (X.*Y)/20;                   % componente en x
v = -(X.^2)/20;                  % componente en y
% w = 0 (desplazamientos planos)

%% ========================= Derivadas analíticas =========================
ux_x = Y/20;                     % du/dx
ux_y = X/20;                     % du/dy
vy_x = -(X/10);                  % dv/dx
vy_y = zeros(size(X));           % dv/dy

div_u = ux_x + vy_y;             % divergencia = y/20

%% ====================== Tensor de deformaciones (eps) ===================
eps_xx = ux_x;                   % eps_xx
eps_yy = vy_y;                   % eps_yy = 0
eps_xy = 0.5*(ux_y + vy_x);      % eps_xy = -x/40

%% ========================= Tensiones (lambda=mu=1) =====================
lambda = 1; mu = 1;
sigma_xx = lambda*div_u + 2*mu*eps_xx;   % = 3y/20
sigma_yy = lambda*div_u + 2*mu*eps_yy;   % = y/20
sigma_zz = lambda*div_u;                 % = y/20 (eps_zz=0)
sigma_xy = 2*mu*eps_xy;                  % = -x/20
sigma_yx = sigma_xy;                     % simétrico
sigma_xz = zeros(size(X));               % no hay variación en z
sigma_zx = zeros(size(X));               % idem

%% ======= Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i ============
% tau_i = |sigma*i - (i·sigma·i) i| = sqrt( sigma_yx^2 + sigma_zx^2 )
tau_i = abs(sigma_yx);                   % = | -x/20 |

%% ============================== Gráficos ===============================
% Configuración general de visualización
cm = turbo; % o 'jet'
lw = 1.2;

% Dibujo del mallado y contornos de la placa
figure('Name','Mallado de la placa','Color','w');
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor',[0,0.6,0.7],'FaceColor','none'); hold on;
plot(X(1,:),Y(1,:),'k','LineWidth',2);       % borde inferior
plot(X(end,:),Y(end,:),'k','LineWidth',2);    % borde superior
plot(X(:,1),Y(:,1),'k','LineWidth',2);        % borde izquierdo (pared)
plot(X(:,end),Y(:,end),'k','LineWidth',2);    % borde derecho
axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]); axis equal; grid on; box on;
xlabel('x'); ylabel('y'); title('Mallado y contorno de la placa');

% Tensiones normales (solo no nulas): sigma_xx, sigma_yy, sigma_zz
figure('Name','Tensiones normales','Color','w');
tiledlayout(1,3,'Padding','compact','TileSpacing','compact');

nexttile;
surf(X,Y,sigma_xx); shading interp; colormap(cm); colorbar;
title('\sigma_{xx}'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{xx}');
axis tight; daspect([1 1 0.35]); view(45,30);

nexttile;
surf(X,Y,sigma_yy); shading interp; colormap(cm); colorbar;
title('\sigma_{yy}'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{yy}');
axis tight; daspect([1 1 0.35]); view(45,30);

nexttile;
surf(X,Y,sigma_zz); shading interp; colormap(cm); colorbar;
title('\sigma_{zz}'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{zz}');
axis tight; daspect([1 1 0.35]); view(45,30);
sgtitle('Distribución de tensiones normales (\lambda=\mu=1)','FontWeight','bold');

% Tensión tangencial respecto a i (solo no nula): tau_i = |sigma_xy|
figure('Name','Tension tangencial respecto a i','Color','w');
surf(X,Y,tau_i); shading interp; colormap(cm); colorbar;
title('\tau_{i} = |\sigma_{xy}|'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\tau_{i}');
axis tight; daspect([1 1 0.35]); view(45,30); grid on;

% (Opcional) mapas en planta tipo contorno para ver mejor la distribución
figure('Name','Contornos 2D de tensiones','Color','w');
tiledlayout(1,4,'Padding','compact','TileSpacing','compact');

nexttile; contourf(X,Y,sigma_xx,20,'LineColor','none'); axis equal tight; colorbar;
title('\sigma_{xx} (contorno)'); xlabel('x'); ylabel('y');

nexttile; contourf(X,Y,sigma_yy,20,'LineColor','none'); axis equal tight; colorbar;
title('\sigma_{yy} (contorno)'); xlabel('x'); ylabel('y');

nexttile; contourf(X,Y,sigma_zz,20,'LineColor','none'); axis equal tight; colorbar;
title('\sigma_{zz} (contorno)'); xlabel('x'); ylabel('y');

nexttile; contourf(X,Y,tau_i,20,'LineColor','none'); axis equal tight; colorbar;
title('\tau_{i} (contorno)'); xlabel('x'); ylabel('y');

11 Tensiones tangenciales

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗𝑖, es decir |𝜎 ⋅ ⃗𝑖− (⃗𝑖 ⋅ 𝜎 ⋅ ⃗𝑖)⃗𝑖|.Se dibujan solo las no nulas

Figura 10
% Definimos la tensión tangencial en el plano ortogonal al eje i (X), que es tau = [0, sigma_yx, 0].
Tau_x = zeros(size(sigma_xy)); % Componente X del vector tau (debe ser nula).
Tau_y = sigma_yx;              % Componente Y del vector tau (es sigma_yx o sigma_xy).

% La magnitud (tau_i_magnitude) se mantiene aquí, pero no se utiliza en el gráfico final.
tau_i_magnitude = abs(sigma_yx);

% Creamos la figura y configuración inicial
figure('Name','Tensión Tangencial ','Color','w');
hold on; 
axis equal; 
box on; 
grid on;
axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]);
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
xlabel('x'); 
ylabel('y');

% El vector tau es vertical: (0, -x/20), según los cálculos del Ejercicio 9.
step = 3; 
idx_x = 1:step:size(X,2);
idx_y = 1:step:size(X,1);

% Usar el comando quiver para dibujar las flechas de tensión.
quiver(X(idx_y, idx_x), Y(idx_y, idx_x), ...
       Tau_x(idx_y, idx_x), ...  % (Componente horizontal U, que es 0)
       Tau_y(idx_y, idx_x), ...  % (Componente vertical V, que es sigma_yx)
       1.5, ...                  % Escala de visualización de las flechas
       'r', 'LineWidth', 1.2);   % Color 'r' (rojo) y grosor de línea.

%Dibujamos el cortorno de la placa 
plot(x, x/8, 'k-', 'LineWidth', 2);     % Borde inferior
plot(x, 2 - x/8, 'k-', 'LineWidth', 2); % Borde superior
plot([0 0], [0 2], 'k-', 'LineWidth', 2);     % Borde izquierdo (empotramiento)
plot([4 4], [0.5 1.5], 'k-', 'LineWidth', 2); % Borde derecho

hold off;

12 Tensión de Von Mises

Figura 11
%% Ejercicio: Tensión de Von Mises a partir de los desplazamientos dados
clc; clear; close all;

% --- Malla y geometría (h = 1/10)
h = 0.1;
[x, y] = meshgrid(0:h:4, 0:h:2);   % ojo: x -> columnas, y -> filas
X = x; Y = y;

% Bordes de la placa
f = X./8;
g = 2 - X./8;
EnPlaca = (Y >= f) & (Y <= g);

% --- Definición del campo de desplazamientos en cartesianas
% (derivado anteriormente)
% u_x =  (1/20) * x * y
% u_y = -(1/20) * x^2
ux = (1/20) .* X .* Y;
uy = -(1/20) .* X.^2;

% --- Derivadas necesarias (componentes del grad u)
% Calculamos derivadas analíticas:
% ux_x = d(u_x)/dx = y/20
% ux_y = d(u_x)/dy = x/20
% uy_x = d(u_y)/dx = -x/10
% uy_y = d(u_y)/dy = 0
ux_x = Y./20;
ux_y = X./20;
uy_x = -X./10;
uy_y = zeros(size(X));

% --- Divergencia (útil para sigma)
divU = ux_x + uy_y;   % = y/20

% --- Tensor de deformaciones simétrico epsilon = 1/2(grad u + grad u^T)
% epsilon_xx = ux_x
% epsilon_yy = uy_y
% epsilon_xy = 1/2*(ux_y + uy_x)
eps_xx = ux_x;
eps_yy = uy_y;
eps_xy = 0.5*(ux_y + uy_x);

% Para el caso 3D consideramos eps_zz = 0 (desplazamientos planos)
eps_zz = zeros(size(X));

% --- Coeficientes de Lamé
lambda = 1;
mu = 1;

% --- Construcción del tensor de tensiones sigma = lambda*div(u)*I + 2*mu*eps
% Componentes (3x3), pero como eps_xz=eps_yz=0, muchas componentes son cero.
% sigma_xx = lambda*div + 2*mu*eps_xx
% sigma_yy = lambda*div + 2*mu*eps_yy
% sigma_zz = lambda*div + 2*mu*eps_zz
% sigma_xy = 2*mu*eps_xy (simétrica)
sigma_xx = lambda.*divU + 2*mu.*eps_xx;
sigma_yy = lambda.*divU + 2*mu.*eps_yy;
sigma_zz = lambda.*divU + 2*mu.*eps_zz;
sigma_xy = 2*mu.*eps_xy;    % = sigma_yx

% --- Inicializar Von Mises y matriz para autovalores
VM = NaN(size(X));
S1 = NaN(size(X)); S2 = NaN(size(X)); S3 = NaN(size(X));

% --- Loop sobre puntos dentro de la placa para calcular autovalores (eig)
[idx_i, idx_j] = find(EnPlaca);   % coordenadas lineales de puntos en la placa
npts = numel(idx_i);

for k = 1:npts
    i = idx_i(k); j = idx_j(k);   % i: fila (y index), j: columna (x index)
    % construir sigma 3x3 en ese punto
    S = [ sigma_xx(i,j), sigma_xy(i,j), 0;
          sigma_xy(i,j), sigma_yy(i,j), 0;
          0            , 0            , sigma_zz(i,j) ];
    e = eig(S);          % autovalores (columna vector)
    % ordenar autovalores (no estrictamente necesario, pero ordeno descendente)
    e = sort(e,'descend');
    s1 = e(1); s2 = e(2); s3 = e(3);
    % tensión de Von Mises (fórmula)
    sigmaVM = sqrt( ((s1-s2).^2 + (s2-s3).^2 + (s3-s1).^2) / 2 );
    VM(i,j) = sigmaVM;
    S1(i,j) = s1; S2(i,j) = s2; S3(i,j) = s3;
end

% Fuera de la placa dejamos NaN para que no aparezcan
VM(~EnPlaca) = NaN;

% --- Buscar máximo de Von Mises dentro de la placa
[maxVM, indMax] = max(VM(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(VM), indMax);
xMax = X(rowMax, colMax);
yMax = Y(rowMax, colMax);

% --- Visualización: mapa de Von Mises con contornos rellenos y bordes
figure('Name','Tensión de Von Mises','Color','w'); clf; hold on;
axis equal; axis([-0.5 4.5 -0.5 2.5]); box on;
title('Tensión de Von Mises \sigma_{VM}');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Contourf del campo VM
numLevels = 30;
[C, hC] = contourf(X, Y, VM, numLevels, 'LineStyle','none');
colormap(jet);
c = colorbar; ylabel(c, '\sigma_{VM}');
% dibujar bordes de la placa
xb = linspace(0,4,200);
plot(xb, xb./8, 'k-', 'LineWidth', 1.5);         % borde inferior
plot(xb, 2 - xb./8, 'k-', 'LineWidth', 1.5);     % borde superior
plot([0 0], [0 2], 'k-', 'LineWidth', 1.5);      % borde izquierdo
plot([4 4], [0.5 1.5], 'k-', 'LineWidth', 1.5);  % borde derecho (aprox)

% Marcar el punto de máxima tensión de Von Mises
plot(xMax, yMax, 'rp', 'MarkerSize', 14, 'MarkerFaceColor', 'r');
text(xMax+0.08, yMax+0.08, sprintf('Máx VM = %.3g', maxVM), 'FontWeight','bold','Color','r');

% Mejora estética
set(gcf,'Color','w');    % fondo blanco
shading interp;

hold off;

% --- Información por consola
fprintf('Máximo Von Mises = %.6g en (x,y) = (%.4g, %.4g)\n', maxVM, xMax, yMax);

13 Campo de Fuerzas

14 Densidad

15 Ejemplos de uso en la ingeniería

TEMPORAL CORREGIR LO QUE QUERAIS -CARLOS

Una viga en voladizo tiene grandes uso debido a su forma, además de ser muy útil por su funcionalidad. Estas vigas tienen un gran abanico de usos. Para usos arquitectónicos son usadas para balcones y terrazas, cubiertas de entradas y marquesinas, ya que se necesitan vigas que no tengan ningún apoyo vertical por debajo de esta., lo que permite hacer construcciones en el exterior sin la necesidad de columnas que puedan interferir en el diseño. Por otro lado es muy usada en maquinarias como en los brazos de grúas(tanto grúa de torre como grúas pórtico) o en palas de aerogeneradores. Para los brazos de grúa estas vigas son necesarias ya que por uno de sus extremos estará anclado a una carga y por el otro estará libre. De la misma forma se usara para las palas de un aerogenerador ya que estas estarán unidas a el buje por un extremo ( donde trasmite momentos y fuerzas al eje) y libre por el otro (donde actúa el viento y ejerce máxima deflexión). Estas vigas también tienen usos mas específicos para la ingeniería civil. La ingeniería civil ha usado en numerosas ocasiones estas vigas para puentes en voladizo donde no que no tendrán pilas de puente ni tampoco algún apoyo vertical durante el puente mas allá de los estribos y las vigas de voladura

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