Revisión del 23:03 26 nov 2025

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica. Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 MATLAB: Códigos y gráficas

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas: 1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor. 2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

1.2.1 Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor

Lineas coordenadas en 2D

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D 

clear;clc 
figure; 
hold on; 

%Vectores 
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u 
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v 

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)  
v_fixed = 1; 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
x2_u = u .* v_fixed; 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2); 

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)  
u_fixed = 1; 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
x2_v = (u_fixed) .* v; 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2); 

%Edición de la gráfica 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
xlabel('Eje X'); 
ylabel('Eje Y'); 
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'}); 
grid on;

1.2.2 Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores

Lineas coordenadas en 3D

% Rango de variables 
u = linspace(0, 2, 10); 
v = linspace(0, 2, 10); 

% Creación de mallas  
[U, V] = meshgrid(u, v); 

% Ajuste del origen común 
u_const = 0;  
v_const = 0;  

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común) 
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo 
x2_f1 = u .* V; 
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3 

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común) 
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo 
x2_f2 = U .* v; 
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3 

% Crear una figura combinada 
figure; 

% Superficie de línea coordenada de u 
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2); 
hold on; 

% Superficie de línea coordenada de v 
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2); 

% figura combinada 
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
axis equal; 
grid on; 
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v'); 
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad [math] g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} [/math]

[math]h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math]h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}[/math]

[math]h_z = |\vec{g_z}| = 1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

[math] e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}[/math]

Se comprueba que [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Como se cumple que [math] e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0[/math]; [math] e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0[/math] y que [math] |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1[/math] se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

2.4 Representación Gráfica

Para la representación gráfica de los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas. Los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

Representación gráfica

%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);


%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

4 Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\) Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} [/math]

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix} [/math]

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

[math] \vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene: [math]\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 5.

6 6.

7 7.

8 8.

9 9.

Código MATLAB y representación gráfica

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')

10 10.

11 Uso de la parábola en ingeniería

La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio: > Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz. > Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.