Diferencia entre revisiones de «La catenaria (grupo 13)»
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title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');}} | title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');}} | ||
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n=20; | n=20; | ||
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=Longitud de la curva= | =Longitud de la curva= | ||
La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in [a,b]</math>''' es: | La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in [a,b]</math>''' es: | ||
| − | '''<math> L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=</math>''', donde '''<math> |γ′(t)| | + | '''<math> L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=</math>''', donde '''<math> |γ′(t)|</math>''' es el módulo del vector velocidad. |
Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: | Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: | ||
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'''<math> L=\int_{-1}^{1}|γ′(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= | '''<math> L=\int_{-1}^{1}|γ′(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= | ||
| − | \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3})= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733 | + | \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733 |
</math>''' <br/> | </math>''' <br/> | ||
| − | Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo '''<math> t\in [ | + | Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo '''<math> t\in [-1,1]</math>''' es de 2.075733 unidades. |
[[Archivo:3LongCurvaG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|<font color="1564FF">'''Longitud de la curva en el intervalo [-1,1]'''</font> <br />]] | [[Archivo:3LongCurvaG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|<font color="1564FF">'''Longitud de la curva en el intervalo [-1,1]'''</font> <br />]] | ||
Revisión del 12:22 26 nov 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La catenaria. Grupo 13 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Dibujo de la curva
1.1 Código de Matlab
clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');
2 Vectores velocidad y aceleración
2.1 Código de Matlab
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')
3 Longitud de la curva
La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo [math] t\in [a,b][/math] es: [math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=[/math], donde [math] |γ′(t)|[/math] es el módulo del vector velocidad.
Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A})), t\in [-1,1][/math] Sabiendo que [math] A=3[/math] y [math] L [/math] es la longitud de la curva:
[math] L=\int_{-1}^{1}|γ′(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt=
\int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733
[/math]
Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo [math] t\in [-1,1][/math] es de 2.075733 unidades.
3.1 Código de Matlab
clear,clc;
%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) (cosh(t/A)).^2;
suma=0;
%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);
%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;
%dibujo de los rectángulos
x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end
hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')
%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)
4 Fenómenos que describe
5 Ejemplos en la ingeniería civil
6 Comparación con la parábola
Una vez representada la gráfica de la catenaria es normal preguntarse por las similitudes que puede llegar a tener con la parábola, puesto que a simple vista se asemejan. Ahora bien, visualizar las diferencias es sencillo si se representan en una misma gráfica. Por ejemplo, dada la parábola de ecuación [math]y = A+\frac{x^2}{A}[/math] y la catenaria de parametrización [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))[/math], para A=3 y t∈(-1,1) se puede observar en la imagen que ambas tienen forma de U, pero tienen distintas curvaturas, siendo la parábola más cerrada que la catenaria.
clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);
%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);
%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );
title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');
7 El catenoide
clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
phi=linspace(0, 2*pi, 100);
%Mallado
[Mt,Mphi]=meshgrid(t, phi);
%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mphi);
Y=R.*sin(Mphi);
Z=Mt;
%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');
