Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (ADMR)»
(→To do list) |
(→Solución acotada vs Solución no acotada) |
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=Solución acotada vs Solución no acotada= | =Solución acotada vs Solución no acotada= | ||
| − | Vamos a considerar el siguiente problema de calor | + | Vamos a considerar el siguiente problema de calor bidimensional sobre una barra metálica de longitud <math>2a, a>0</math> con condiciones Dirichlet en la frontera: |
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| − | cuya solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por | + | cuya solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por: |
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Revisión del 11:48 16 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo ADMR). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra Théorie analytique de la chaleur. En este trabajo, formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. Su análisis no solo permitió comprender mejor este fenómeno físico, sino que también llevó al desarrollo de las Series de Fourier, que fueron objeto de estudio en nuestro trabajo anterior.
Desde un punto de vista físico, es natural abordar este problema en un dominio acotado, como una barra metálica de longitud finita, dado que los sistemas reales suelen estar limitados en el espacio. Sin embargo, el afán de abstracción y generalización característico de la matemática llevó a Fourier a considerar también el caso de un dominio no acotado, es decir, una barra metálica de longitud infinita.
En este trabajo, analizamos cómo varían las soluciones de la ecuación del calor en dominios acotados y no acotados, identificando sus diferencias y explorando sus implicaciones en la modelización de procesos físicos reales.
2 To do list
1) (Problema acot y sol)Damos la sol. con frontera 0 --> para extender mejor a no acot 2) Dibujinchis 3) (Problema no acot) Dar el problema, sol, dibujinchi 4) Comparar ambas sol. error cuadrático, y el unif. y error numérico para intervalos crecientes [-a,a]
5) Pasar de Diric. a Neum. y dar la explicacion fis. de Neum. Dibujinchis comparación, solapadas 6) Ver cómo afecta la cte calorifica, densidad y k = relacion flujo gradiente (la D) en ambos casos.
3 Solución acotada vs Solución no acotada
Vamos a considerar el siguiente problema de calor bidimensional sobre una barra metálica de longitud [math]2a, a\gt0[/math] con condiciones Dirichlet en la frontera:
[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus \end{cases} [/math]
cuya solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por:
[math]\quad u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t} \quad \text{ donde } A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}. [/math]
Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, de forma que el sistema quede aislado. Para cierto [math] a \in \mathbb{R}[/math] consideraremos la ecuación del calor
[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus. \end{cases} [/math]
De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, con [math] b \in \mathbb{R}[/math] y no necesariamente igual que con [math] a [/math]. Obteniendo
[math]\quad u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t}\quad \text{ donde } B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}. [/math]
Veamos si, para valores de [math] a \text{y} b [/math] grandes, las soluciones previamente halladas distan mucho entre sí, es decir, vamos a estudiar los errores y las diferencias que hay entre ambas soluciones.
