Revisión del 10:52 16 mar 2025

1 Introducción

El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente a Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra Théorie analytique de la chaleur. En este trabajo, Fourier formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. Su análisis no solo permitió comprender mejor este fenómeno físico, sino que también llevó al desarrollo de las Series de Fourier, que estudiamos en el trabajo anterior.

Desde un punto de vista físico, es natural estudiar este problema en un dominio acotado, como una barra metálica de longitud finita, dado que los sistemas reales suelen estar limitados en el espacio. Sin embargo, la tendencia de todo matemático es la abstracción y la generalización, lo que llevó a Fourier, que fue matemático y físico, a considerar también el caso de un dominio no acotado, es decir, una barra metálica de longitud infinita.

En este trabajo, exploramos las diferencias entre las soluciones de la ecuación del calor en dominios acotados y no acotados, analizando si estas presentan comportamientos distintos y qué implicaciones tienen en la modelización de procesos físicos reales.

2 To do list

1) (Problema acot y sol)Damos la sol. con frontera 0 --> para extender mejor a no acot 2) Dibujinchis 3) (Problema no acot) Dar el problema, sol, dibujinchi 4) Comparar ambas sol. error cuadrático, y el unif. y error numérico para intervalos crecientes [-a,a]

5) Pasar de Diric. a Neum. y dar la explicacion fis. de Neum. Dibujinchis comparación, solapadas 6) Ver cómo afecta la cte calorifica, densidad y k = relacion flujo gradiente (la D) en ambos casos.

7) Introducción con cosas reales y prácticas

3 Solución acotada vs Solución no acotada

Vamos a considerar el siguiente problema de calor con condiciones Dirichlet cero en la frontera con cierto [math] a \in \mathbb{R} [/math]

[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus \end{cases} [/math]

cuya solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por

[math]\quad u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t} \quad \text{ donde } A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}. [/math]

Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, de forma que el sistema quede aislado. Para cierto [math] a \in \mathbb{R}[/math] consideraremos la ecuación del calor

[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus. \end{cases} [/math]

De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, con [math] b \in \mathbb{R}[/math] y no necesariamente igual que con [math] a [/math]. Obteniendo

[math]\quad u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t}\quad \text{ donde } B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}. [/math]

Veamos si, para valores de [math] a \text{y} b [/math] grandes, las soluciones previamente halladas distan mucho entre sí, es decir, vamos a estudiar los errores y las diferencias que hay entre ambas soluciones.

4 Códigos