Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (ADMR)»
(→Solución acotada vs Solución no acotada) |
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\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ | \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ | ||
| − | u_x(- | + | u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad \forall t > 0 \\ |
u(x,0) = Gaus. | u(x,0) = Gaus. | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
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| − | u(x,t) = \sum_{ | + | u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{a^2} t}\quad \text{ donde } |
| − | + | B_m = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{m\pi}{a}x\right)dx}. | |
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Revisión del 19:50 15 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo ADMR). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores |
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
2 To do list
1) (Problema acot y sol)Damos la sol. con frontera 0 --> para extender mejor a no acot 2) Dibujinchis 3) (Problema no acot) Dar el problema, sol, dibujinchi 4) Comparar ambas sol. error cuadrático, y el unif. y error numérico para intervalos crecientes [-a,a]
5) Pasar de Diric. a Neum. y dar la explicacion fis. de Neum. Dibujinchis comparación, solapadas 6) Ver cómo afecta la cte calorifica, densidad y k = relacion flujo gradiente (la D) en ambos casos.
7) Introducción con cosas reales y prácticas
3 Solución acotada vs Solución no acotada
Vamos a considerar el siguiente problema de calor con condiciones Dirichlet cero en la frontera con cierto [math] a \in \mathbb{R} [/math]
[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus \end{cases} [/math]
cuya solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por
[math]\quad u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t} \quad \text{ donde } A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}. [/math]
Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, de forma que el sistema quede aislado. Para cierto [math] a \in \mathbb{R}[/math] consideraremos la ecuación del calor
[math]\quad \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \\ u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad \forall t \gt 0 \\ u(x,0) = Gaus. \end{cases} [/math]
De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables. Obteniendo
[math]\quad u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{a^2} t}\quad \text{ donde } B_m = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{m\pi}{a}x\right)dx}. [/math]
Veamos si, para valores de [math] a [/math] grandes, las soluciones previamente halladas distan mucho entre sí, es decir, vamos a estudiar los errores que hay entre ambas soluciones.
