Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»
(→Cálculo de la solución estacionaria) |
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<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center> | <center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center> | ||
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| + | <math> w_t - w_{xx} = 0 </math> | ||
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| + | <math> w(x,0) = -9x + 9 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) </math> | ||
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Revisión del 13:53 15 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Problema
Se tiene la ecuación de difusión:
con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:
2 Cálculo de la solución estacionaria
Para encontrar la solución estacionaria [math] v(x) [/math], se asume que cuando [math] t \to \infty [/math], la solución [math] u(x,t) [/math] se estabiliza y tiende a una función [math] v(x) [/math] que satisface:
[math] \begin{aligned} v''(x) &= 0 \end{aligned} [/math]
con las condiciones de frontera:
[math] \begin{aligned} v(0) &= 1 \\ v(1) &= 10 \end{aligned} [/math]
Por lo tanto, la solución estacionaria es:
3 Resolviendo la ecuación homogénea
Se introduce el cambio de variable:
De esta manera, [math] w(x,t) [/math] satisface la ecuación de calor homogénea:
Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:
4 Resolviendo por separación de variables
Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para [math] w(x,t) [/math]:
Donde los coeficientes de Fourier son:
Finalmente, la solución general para [math] u(x,t) [/math] es:
5 Nota sobre la función inicial
Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:
Dado que [math] \tilde{g}(x) [/math] es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en [math] x=0 [/math], asegurando la convergencia de la solución.
Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:
5.1
[math] u_t - u_{xx} = 0 [/math]
[math] u(0,t) = 1 [/math], [math] u(1,t) = 10 [/math]
[math] u(x,0) = 10 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) [/math]
[math] w = u - v [/math]
[math] v''(x) = 0 [/math]
[math] v(0) = 1 [/math] [math] v(1) = 10 [/math]
[math] v(x) = 9x + 1 [/math]
[math] w_t - w_{xx} = 0 [/math]
[math] w(0,t) = 0 [/math], [math] w(1,t) = 0 [/math]
[math] w(x,0) = -9x + 9 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) [/math]
