Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (Grupo GIXP)»
(→Modelización De La Ecuación del Calor Para Condiciones Dirichlet) |
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| + | La tasa de variación de la energía de un volumen <math> V </math> de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera <math> \partial V </math> junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas. | ||
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| + | <center><math> \frac{d}{dt} \left( \int_{V} \rho e(x,t) \, dV \right) = \int_{\partial V} \vec{q} \cdot \vec{n} \, ds + \int_{V} \rho f \, dV </math></center> | ||
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| + | == Modelización de la Ecuación del Calor == | ||
Revisión del 21:38 14 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
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| Título | Ecuación del calor. Grupo GIXP |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Gonzalo Garelly
Israel López Francisco Lavao
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción Y Enfoque
2 Ecuación Del Calor
Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:
[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]
donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y la capacidad calorífica ([math] Q [/math]).
Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:
[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]
Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]
[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]
3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet
La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.
3.1 Ley de Fourier
La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:
3.2 Corolario del Principio de Conservación de la Energía
La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.
