Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo PPAD)»
(→. Aproximación de una función por la base trigonométrica) |
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Bajo este cambio de variable, una función \( f(x) \) en \( L^2(a,b) \) se puede expresar como: | Bajo este cambio de variable, una función \( f(x) \) en \( L^2(a,b) \) se puede expresar como: | ||
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f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x)) | f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x)) | ||
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donde el coeficiente \( d_0 \) es: | donde el coeficiente \( d_0 \) es: | ||
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d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}} | d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}} | ||
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para que su norma sea 1, pues: | para que su norma sea 1, pues: | ||
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\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1. | \left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1. | ||
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De esta forma, obtenemos la base de Fourier de \( L^2(a,b) \): | De esta forma, obtenemos la base de Fourier de \( L^2(a,b) \): | ||
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\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}. | \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}. | ||
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Para preservar la ortonormalidad en \( L^2(a,b) \), los senos y cosenos han sido normalizados con el factor: | Para preservar la ortonormalidad en \( L^2(a,b) \), los senos y cosenos han sido normalizados con el factor: | ||
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\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} | \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} | ||
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para los términos trigonométricos. | para los términos trigonométricos. | ||
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Esto se puede reescribir como: | Esto se puede reescribir como: | ||
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\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}. | \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}. | ||
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Sea la función \( f(x) = x e^{-x} \). Se verifica que \( f(x) \in L^2(-2,3) \), pues: | Sea la función \( f(x) = x e^{-x} \). Se verifica que \( f(x) \in L^2(-2,3) \), pues: | ||
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\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}. | \int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}. | ||
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Dado que \( f(x) \) es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene: | Dado que \( f(x) \) es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene: | ||
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f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right). | f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right). | ||
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Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier | Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier | ||
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El coeficiente \( d_0 \) se obtiene como: | El coeficiente \( d_0 \) se obtiene como: | ||
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d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}. | d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}. | ||
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Para los coeficientes \( d_n \): | Para los coeficientes \( d_n \): | ||
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d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. | d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. | ||
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Para los coeficientes \( d_m \): | Para los coeficientes \( d_m \): | ||
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d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. | d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. | ||
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Revisión del 11:41 12 feb 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 . Introducción
Se define el espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math] como:
donde [math] a,b \in \mathbb{R} [/math] y [math] a \lt b [/math]. [math]L^2(a,b)[/math] es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
Esta construcción del espacio [math] L^{2} [/math] permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
2 . Base trigonométrica
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio [math]L^2(-\pi,\pi)[/math]. En éste se define la base numerable [math] \beta [/math] dada por los siguientes elementos:
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.
3 . Aproximación de una función por la base trigonométrica
Seadefinida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio [math]L^2(-2,3)[/math].
Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2(- \pi, \pi) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:
Si consideramos ahora el espacio \( L^2(a, b) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:
De esta manera, \( h(x) \in [-\pi, \pi] \), lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio \( L^2(- \pi, \pi) \) al nuevo intervalo \( [a, b] \).
Bajo este cambio de variable, una función \( f(x) \) en \( L^2(a,b) \) se puede expresar como:
donde el coeficiente \( d_0 \) es:
<center>[math] d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}} [/math]para que su norma sea 1, pues:
De esta forma, obtenemos la base de Fourier de \( L^2(a,b) \):
Para preservar la ortonormalidad en \( L^2(a,b) \), los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:
para los términos trigonométricos.
Esto se puede reescribir como:
Sea la función \( f(x) = x e^{-x} \). Se verifica que \( f(x) \in L^2(-2,3) \), pues:
Dado que \( f(x) \) es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:
Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier
El coeficiente \( d_0 \) se obtiene como:
Para los coeficientes \( d_n \):
Para los coeficientes \( d_m \):
