Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo PPAD)»
(→. Aproximación de una función por la base trigonométrica) |
(→. Aproximación de una función por la base trigonométrica) |
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| − | <center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math | + | <center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math> |
Revisión del 22:05 11 feb 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 . Introducción
Se define el espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math] como:
donde [math] a,b \in \mathbb{R} [/math] y [math] a \lt b [/math]. [math]L^2(a,b)[/math] es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
Esta construcción del espacio [math] L^{2} [/math] permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
2 . Base trigonométrica
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio [math]L^2(-\pi,\pi)[/math]. En éste se define la base numerable [math] \beta [/math] dada por los siguientes elementos:
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.
3 . Aproximación de una función por la base trigonométrica
Seadefinida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio [math]L^2(-2,3)[/math].
Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2([- \pi, \pi]) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:
Si consideramos ahora el espacio \( L^2([a, b]) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:
