Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo PPAD)»
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Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center> | Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center> | ||
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>. | definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>. | ||
| + | Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2([- \pi, \pi]) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica: | ||
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| + | \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\pi} \cos n x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin n x \mid n \in \mathbb{N} \right\} | ||
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| + | Si consideramos ahora el espacio \( L^2([a, b]) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable: | ||
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| + | R(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] | ||
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| + | De esta manera, \( R(x) \in [-\pi, \pi] \), lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio \( L^2([- \pi, \pi]) \) al nuevo intervalo \( [a, b] \). | ||
Revisión del 22:00 11 feb 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 . Introducción
Se define el espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math] como:
donde [math] a,b \in \mathbb{R} [/math] y [math] a \lt b [/math]. [math]L^2(a,b)[/math] es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
Esta construcción del espacio [math] L^{2} [/math] permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
2 . Base trigonométrica
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio [math]L^2(-\pi,\pi)[/math]. En éste se define la base numerable [math] \beta [/math] dada por los siguientes elementos:
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.
3 . Aproximación de una función por la base trigonométrica
Seadefinida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio [math]L^2(-2,3)[/math]. Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2([- \pi, \pi]) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:
\[ \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\pi} \cos n x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin n x \mid n \in \mathbb{N} \right\} \]
Si consideramos ahora el espacio \( L^2([a, b]) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:
\[ R(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] \]
De esta manera, \( R(x) \in [-\pi, \pi] \), lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio \( L^2([- \pi, \pi]) \) al nuevo intervalo \( [a, b] \).
