Revisión del 21:33 11 feb 2025

1 Introducción

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base construida por funciones trigonométricas, aplicaciones discontinuas ampliando así el espectro de funciones aproximables por los desarrollos de Taylor. continuemos con una breve explicación de la obtención de la serie de Fourier de una determinada función: sea [math]f[/math] una función integrable en [math][0,T][/math], y además periódica de periodo [math]T[/math], su serie de Fourier viene dada por la expresión:

[math]\begin{equation*} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x + b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \right) \end{equation*}[/math]

cuyos coeficientes se obtienen a partir de:

[math]\begin{align*} a_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

Observando la posible simetría de los correspondientes integrandos, podemos distinguir dos casos, cuando [math]f[/math] es par o cuando [math]f[/math] es impar. Veamos qué ocurre en cada uno.

Si [math]f[/math] es par: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son pares ya que tanto [math]f[/math] como los cosenos lo son, sin embargo al calcular los [math]b_n[/math] las funciones a integrar son impares, resultando que el valor de la integral se anule:

[math]\begin{align*} a_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

Y por ende la serie de Fourier obtenida es de la forma [math]\begin{equation} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]

Si [math]f[/math] es impar: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son impares, en cambio, al calcular los [math]b_n[/math] son pares, obteniendo:

[math]\begin{align*} a_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots\\[8pt] b_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

y por ende la serie de Fourier resultante: [math]\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]

2 Aproximación de una función continua

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].

Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base [math](\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\})[/math] resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier [math]f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).[/math]