Revisión del 16:58 11 feb 2025

1 Introducción

2 Aproximación de una función continua

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]

Expresando [math]f[/math] de como función por partes, tenemos

[math] f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|= \left\{\begin{array}{cc} 1-2\left(\frac{1}{2}-x\right), & x\lt\frac{1}{2} \\ 1+2\left(\frac{1}{2}-x\right), & x\geq\frac{1}{2} \end{array}\right.= \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & x\geq\frac{1}{2} \end{array}\right.,[/math]

[math]f(-x)=1-2\left|\frac{1}{2}+x\right|= \left\{\begin{array}{cc} 1+2\left(\frac{1}{2}+x\right), & x\lt-\frac{1}{2} \\ 1-2\left(\frac{1}{2}+x\right), & x\geq-\frac{1}{2} \end{array}\right.= \left\{\begin{array}{cc} 2+2x, & x\lt-\frac{1}{2} \\ -2x, & x\geq-\frac{1}{2} \end{array}\right..[/math] Y finalmente, su extensión impar dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].